Lời giải Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 9 Chân trời sáng tạo có đáp án - Tự luận

Câu 1

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) $9{x^2}\left( {2x - 3} \right) = 0$

$9{x^2} = 0$ hoặc $2x - 3 = 0$

${x^2} = 0$ hoặc $2x = 3$

$x = 0$ hoặc $x = \frac{3}{2}$ .

Vậy phương trình đã cho có hai nghệm là $x = 0;$ $x = \frac{3}{2}$ .

c) $\left( {x + 2} \right)\left( {3 - 3x} \right) = 0$

$x + 2 = 0$ hoặc $3 - 3x = 0$

$x = - 2$ hoặc $3x = 3$

$x = - 2$ hoặc $x = 1$

Vậy phương trình đã cho có hai nghệm là $x = - 2;$ $x = 1$ .

e) $\left( {4x + 2} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = 0$

$4x + 2 = 0$ (vì ${x^2} + 1 > 0$ với $x \in \mathbb{R}$ tùy ý)

$4x = - 2$

$x = \frac{{ - 1}}{2}$

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là $x = \frac{{ - 1}}{2}$ .

g) ${\left( {3x - 2} \right)^2}\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0$

${\left( {3x - 2} \right)^2} = 0$ hoặc $x + 1 = 0$ hoặc $x - 2 = 0$

$3x - 2 = 0$ hoặc $x + 1 = 0$ hoặc $x - 2 = 0$

$3x = 2$ hoặc $x = - 1$ hoặc $x = 2$

$x = \frac{2}{3}$ hoặc $x = - 1$ hoặc $x = 2$

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là $x = \frac{2}{3}$ ; $x = - 1$ và $x = 2$ .

i) $\left( {6x - 7} \right)\left( {3x + 4} \right) = \left( {7 - 6x} \right)\left( {x - 1} \right)$

$\left( {6x - 7} \right)\left( {3x + 4} \right) - \left( {7 - 6x} \right)\left( {x - 1} \right) = 0$

$\left( {6x - 7} \right)\left( {3x + 4} \right) + \left( {6x - 7} \right)\left( {x - 1} \right) = 0$

$\left( {6x - 7} \right)\left[ {\left( {3x + 4} \right) + \left( {x - 1} \right)} \right] = 0$

$\left( {6x - 7} \right)\left( {4x + 3} \right) = 0$

$6x - 7 = 0$ hoặc $4x + 3 = 0$

$x = \frac{7}{6}$ hoặc $x = \frac{{ - 3}}{4}$ .

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = \frac{7}{6};$ $x = \frac{{ - 3}}{4}$ .

k) $- 5\left( {4x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 2{\left( {4x - 1} \right)^2}$

$- 5\left( {4x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) - 2{\left( {4x - 1} \right)^2} = 0$

$\left( {4x - 1} \right)\left[ { - 5\left( {x - 2} \right) - 2\left( {4x - 1} \right)} \right] = 0$

$\left( {4x - 1} \right)\left[ { - 5x + 10 - 8x + 2} \right] = 0$

$\left( {4x - 1} \right)\left( { - 13x + 12} \right) = 0$

$4x - 1 = 0$ hoặc $- 13x + 12 = 0$

$x = \frac{1}{4}$ hoặc $x = \frac{{12}}{{13}}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = \frac{1}{4};$ $x = \frac{{12}}{{13}}$ .

b) $\left( {x - 1} \right)\left( {3x - 6} \right) = 0$

$x - 1 = 0$ hoặc $3x - 6 = 0$

$x = 1$ hoặc $3x = 6$

$x = 1$ hoặc $x = 2$

Vậy phương trình đã cho có hai nghệm là $x = 1;$ $x = 2$ .

d) $\left( {\frac{2}{3}x + 6} \right)\left( {8 - 2x} \right) = 0$

$\frac{2}{3}x + 6 = 0$ hoặc $8 - 2x = 0$

$\frac{2}{3}x = - 6$ hoặc $2x = 8$

$x = - 9$ hoặc $x = 4$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = - 9;$ $x = 4$ .

f) $\left( {3x - 4} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {2x - 1} \right) = 0$

$3x - 4 = 0$ hoặc $x + 1 = 0$ hoặc $2x - 1 = 0$

$3x = 4$ hoặc $x = - 1$ hoặc $2x = 1$

$x = \frac{4}{3}$ hoặc $x = - 1$ hoặc $x = \frac{1}{2}$

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là $x = \frac{4}{3}$ ; $x = - 1$ và $x = \frac{1}{2}$ .

h) ${\left( {2x + 3} \right)^2} = {\left( {x - 5} \right)^2}$

${\left( {2x + 3} \right)^2} - {\left( {x - 5} \right)^2} = 0$

$\left( {2x + 3 - x + 5} \right){\left( {2x + 3 + x - 5} \right)^2} = 0$

$\left( {x + 8} \right)\left( {3x - 2} \right) = 0$

$x + 8 = 0$ hoặc $3x - 2 = 0$

$x = - 8$ hoặc $x = \frac{2}{3}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = - 8;\;x = \frac{2}{3}.$

j) $\left( {3x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) = {x^2} - 1$

$\left( {3x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 0$

$\left( {x + 1} \right)\left[ {\left( {3x - 2} \right) - \left( {x - 1} \right)} \right] = 0$

$\left( {x + 1} \right)\left( {2x - 1} \right) = 0$

$x + 1 = 0$ hoặc $2x - 1 = 0$

$x = - 1$ hoặc $x = \frac{1}{2}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = - 1;$ $x = \frac{1}{2}$ .

l) ${x^2} - 8x + 12 = 0$

${x^2} - 2x - 6x + 12 = 0$

$x\left( {x - 2} \right) - 6\left( {x - 2} \right) = 0$

$\left( {x - 2} \right)\left( {x - 6} \right) = 0$

$x - 2 = 0$ hoặc $x - 6 = 0$

$x = 2$ hoặc $x = 6$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = 2;\,\,x = 6.$

Câu 2

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Điều kiện xác định: $x \ne 0$ . $\frac{1}{x} + \frac{1}{{2x}} = \frac{3}{2}$ $\left( {1 + \frac{1}{2}} \right)\frac{1}{x} = \frac{3}{2}$ $\frac{3}{2}.\frac{1}{x} = \frac{3}{2}$ $\frac{1}{x} = 1$ $x = 1$ (thỏa mãn). Vậy nghiệm phương trình đã cho là $x = 1$ . c) Điều kiện xác định: $x \ne \frac{3}{4}$ . $\frac{{3x}}{{4x - 3}} = - 2$ $\frac{{3x}}{{4x - 3}} = \frac{{ - 2\left( {4x - 3} \right)}}{{4x - 3}}$ $3x = - 2\left( {4x - 3} \right)$ $3x = - 8x + 6$ $3x + 8x = 6$ $11x = 6$ $x = \frac{6}{{11}}$ (thỏa mãn). Vậy nghiệm phương trình đã cho là $x = \frac{6}{{11}}.$ e) Điều kiện xác định: $x \ne 2$ . $\frac{x}{{x - 2}} = \frac{2}{{x - 2}} + 7$ $\frac{x}{{x - 2}} = \frac{{2 + 7\left( {x - 2} \right)}}{{x - 2}}$ $x = 2 + 7\left( {x - 2} \right)$ $x = 2 + 7x - 14$ $x = 7x - 12$ $- 6x = - 12$ $x = 2$ (không thỏa mãn). Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. g) Điều kiện xác định $x \ne - 7,\,\,x \ne \frac{3}{2}$ . $\frac{{3x - 2}}{{x + 7}} = \frac{{6x + 1}}{{2x - 3}}$ $\frac{{\left( {3x - 2} \right)\left( {2x - 3} \right)}}{{\left( {x + 7} \right)\left( {2x - 3} \right)}} = \frac{{\left( {6x + 1} \right)\left( {x + 7} \right)}}{{\left( {x + 7} \right)\left( {2x - 3} \right)}}$ $\left( {3x - 2} \right)\left( {2x - 3} \right) = \left( {6x + 1} \right)\left( {x + 7} \right)$ $6{x^2} - 9x - 4x + 6 = 6{x^2} + 42x + x + 7$ $6{x^2} - 6{x^2} - 9x - 4x - 42x - x = 7 - 6$ $- 56x = 1$ $x = - \frac{1}{{56}}$ (thỏa mãn). Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x = - \frac{1}{{56}}$ . i) Điều kiện xác định $x \ne 0;\,\,x \ne 3.$ $\frac{{x + 3}}{{x - 3}} = \frac{3}{{{x^2} - 3x}} + \frac{1}{x}$ $\frac{{\left( {x + 3} \right)x}}{{x\left( {x - 3} \right)}} = \frac{3}{{x\left( {x - 3} \right)}} + \frac{{x - 3}}{{x\left( {x - 3} \right)}}$ $\left( {x + 3} \right)x = 3 + x - 3$ ${x^2} + 3x = 3 + x - 3$ ${x^2} + 2x = 0$ $x\left( {x + 2} \right) = 0$ $x = 0$ hoặc $x + 2 = 0$ $= 0$ (không thỏa mãn) hoặc $x = - 2$ (thỏa mãn). Vậy nghiệm phương trình đã cho là $x = - 2$ .	b) Điều kiện xác định: $x \ne 0$ . $\frac{{{x^2} - 6}}{x} = x + \frac{3}{2}$ $\frac{{2\left( {{x^2} - 6} \right)}}{{2x}} = \frac{{2x \cdot x}}{{2x}} + \frac{{3x}}{{2x}}$ $2\left( {{x^2} - 6} \right) = 2x \cdot x + 3x$ $2{x^2} - 12 = 2{x^2} + 3x$ $3x = - 12$ $x = - 4$ (thỏa mãn). Vậy nghiệm phương trình đã cho là $x = - 4$ . d) Điều kiện xác định: $x \ne 0$ . $\frac{3}{{8x}} - \frac{1}{{2x}} = \frac{1}{{{x^2}}}$ $\frac{{3x}}{{8{x^2}}} - \frac{{4x}}{{8{x^2}}} = \frac{8}{{8{x^2}}}$ $3x - 4x = 8$ $- x = 8$ $x = - 8$ (thỏa mãn). Vậy nghiệm phương trình đã cho là $x = - 8.$ f) Điều kiện xác định: $x \ne 3,\,\,x \ne - 2$ . $\frac{2}{{x - 3}} = \frac{1}{{x + 2}}$ $\frac{{2\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{x - 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}$ $2\left( {x + 2} \right) = x - 3$ $2x + 4 = x - 3$ $x = - 7$ (thỏa mãn). Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x = - 7$ . h) Điều kiện xác định $x \ne - 1,\,\,x \ne 0$ . $\frac{{2x + 1}}{{x + 1}} + \frac{2}{x} = \frac{2}{{x\left( {x + 1} \right)}}$ $\frac{{\left( {2x + 1} \right)x}}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{2}{{x\left( {x + 1} \right)}}$ $\left( {2x + 1} \right)x + 2\left( {x + 1} \right) = 2$ $2{x^2} + x + 2x + 2 = 2$ $2{x^2} + 3x = 0$ $x\left( {2x + 3} \right) = 0$ $x = 0$ hoặc $2x + 3 = 0$ $x = 0$ (không thỏa mãn) hoặc $x = - \frac{3}{2}$ (thỏa mãn). Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x = - \frac{3}{2}$ . j) Điều kiện xác định: $x \ne 0,\,\,x \ne 4$ . $\frac{1}{x} - \frac{{x + 4}}{{x - 4}} = \frac{4}{{4x - {x^2}}}$ $\frac{1}{x} - \frac{{x + 4}}{{x - 4}} = \frac{{ - 4}}{{{x^2} - 4x}}$ $\frac{{x - 4}}{{x\left( {x - 4} \right)}} - \frac{{\left( {x + 4} \right)x}}{{x\left( {x - 4} \right)}} = \frac{{ - 4}}{{x\left( {x - 4} \right)}}$ $x - 4 - \left( {x + 4} \right)x = - 4$ $x - 4 - {x^2} - 4x = - 4$ $- {x^2} - 3x = 0$ $- x\left( {x + 3} \right) = 0$ $- x = 0$ hoặc $x + 3 = 0$ $x = 0$ (không thỏa mãn) hoặc $x = - 3$ (thỏa mãn). Vậy nghiệm phương trình đã cho là $x = - 3.$
k) Điều kiện xác định: $x \ne 2,\,\,\,x \ne - 2$ . $\frac{{x + 2}}{{x - 2}} - \frac{{x - 2}}{{2 + x}} = \frac{{{x^2} + 16}}{{{x^2} - 4}}$ $\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{{x^2} + 16}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}$ ${\left( {x + 2} \right)^2} - {\left( {x - 2} \right)^2} = {x^2} + 16$ ${x^2} + 4x + 4 - \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) = {x^2} + 16$ ${x^2} + 4x + 4 - {x^2} + 4x - 4 = {x^2} + 16$ ${x^2} - 8x + 16 = 0$ ${\left( {x - 4} \right)^2} = 0$ $x - 4 = 0$ $x = 4$ (thỏa mãn) Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x = 4$ .	k) Điều kiện xác định: $x \ne 2,\,\,\,x \ne - 2$ . $\frac{{x + 2}}{{x - 2}} - \frac{{x - 2}}{{2 + x}} = \frac{{{x^2} + 16}}{{{x^2} - 4}}$ $\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{{x^2} + 16}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}$ ${\left( {x + 2} \right)^2} - {\left( {x - 2} \right)^2} = {x^2} + 16$ ${x^2} + 4x + 4 - \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) = {x^2} + 16$ ${x^2} + 4x + 4 - {x^2} + 4x - 4 = {x^2} + 16$ ${x^2} - 8x + 16 = 0$ ${\left( {x - 4} \right)^2} = 0$ $x - 4 = 0$ $x = 4$ (thỏa mãn) Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x = 4$ .
l) Điều kiện xác định: $xk - 4,\,\,x \ne 4$ . $\frac{{2x - 5}}{{x + 4}} + \frac{x}{{4 - x}} = \frac{{ - 17x + 56}}{{{x^2} - 16}}$ $\frac{{2x - 5}}{{x + 4}} - \frac{x}{{x - 4}} = \frac{{ - 17x + 56}}{{{x^2} - 16}}$ $\frac{{\left( {2x - 5} \right)\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}} - \frac{{x\left( {x + 4} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}} = \frac{{ - 17x + 56}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}}$ $\left( {2x - 5} \right)\left( {x - 4} \right) - x\left( {x + 4} \right) = - 17x + 56$ $2{x^2} - 8x - 5x + 20 - {x^2} - 4x = - 17x + 56$ ${x^2} = 36$ $x = 6$ hoặc $x = - 6$ (thõa mãn) Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x = 6;\,\,x = - 6.$	l) Điều kiện xác định: $xk - 4,\,\,x \ne 4$ . $\frac{{2x - 5}}{{x + 4}} + \frac{x}{{4 - x}} = \frac{{ - 17x + 56}}{{{x^2} - 16}}$ $\frac{{2x - 5}}{{x + 4}} - \frac{x}{{x - 4}} = \frac{{ - 17x + 56}}{{{x^2} - 16}}$ $\frac{{\left( {2x - 5} \right)\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}} - \frac{{x\left( {x + 4} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}} = \frac{{ - 17x + 56}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}}$ $\left( {2x - 5} \right)\left( {x - 4} \right) - x\left( {x + 4} \right) = - 17x + 56$ $2{x^2} - 8x - 5x + 20 - {x^2} - 4x = - 17x + 56$ ${x^2} = 36$ $x = 6$ hoặc $x = - 6$ (thõa mãn) Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x = 6;\,\,x = - 6.$

a) Điều kiện xác định:

x \ne 0

.

\frac{1}{x} + \frac{1}{{2x}} = \frac{3}{2}

\left( {1 + \frac{1}{2}} \right)\frac{1}{x} = \frac{3}{2}

\frac{3}{2}.\frac{1}{x} = \frac{3}{2}

\frac{1}{x} = 1

x = 1

(thỏa mãn). Vậy nghiệm phương trình đã cho là

x = 1

. c) Điều kiện xác định:

x \ne \frac{3}{4}

.

\frac{{3x}}{{4x - 3}} = - 2

\frac{{3x}}{{4x - 3}} = \frac{{ - 2\left( {4x - 3} \right)}}{{4x - 3}}

3x = - 2\left( {4x - 3} \right)

3x = - 8x + 6

3x + 8x = 6

11x = 6

x = \frac{6}{{11}}

(thỏa mãn). Vậy nghiệm phương trình đã cho là

x = \frac{6}{{11}}.

e) Điều kiện xác định:

x \ne 2

.

\frac{x}{{x - 2}} = \frac{2}{{x - 2}} + 7

\frac{x}{{x - 2}} = \frac{{2 + 7\left( {x - 2} \right)}}{{x - 2}}

x = 2 + 7\left( {x - 2} \right)

x = 2 + 7x - 14

x = 7x - 12

- 6x = - 12

x = 2

(không thỏa mãn). Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. g) Điều kiện xác định

x \ne - 7,\,\,x \ne \frac{3}{2}

.

\frac{{3x - 2}}{{x + 7}} = \frac{{6x + 1}}{{2x - 3}}

\frac{{\left( {3x - 2} \right)\left( {2x - 3} \right)}}{{\left( {x + 7} \right)\left( {2x - 3} \right)}} = \frac{{\left( {6x + 1} \right)\left( {x + 7} \right)}}{{\left( {x + 7} \right)\left( {2x - 3} \right)}}

\left( {3x - 2} \right)\left( {2x - 3} \right) = \left( {6x + 1} \right)\left( {x + 7} \right)

6{x^2} - 9x - 4x + 6 = 6{x^2} + 42x + x + 7

6{x^2} - 6{x^2} - 9x - 4x - 42x - x = 7 - 6

- 56x = 1

x = - \frac{1}{{56}}

(thỏa mãn). Vậy nghiệm của phương trình đã cho là

x = - \frac{1}{{56}}

. i) Điều kiện xác định

x \ne 0;\,\,x \ne 3.

\frac{{x + 3}}{{x - 3}} = \frac{3}{{{x^2} - 3x}} + \frac{1}{x}

\frac{{\left( {x + 3} \right)x}}{{x\left( {x - 3} \right)}} = \frac{3}{{x\left( {x - 3} \right)}} + \frac{{x - 3}}{{x\left( {x - 3} \right)}}

\left( {x + 3} \right)x = 3 + x - 3

{x^2} + 3x = 3 + x - 3

{x^2} + 2x = 0

x\left( {x + 2} \right) = 0

x = 0

hoặc

x + 2 = 0

= 0

(không thỏa mãn) hoặc

x = - 2

(thỏa mãn). Vậy nghiệm phương trình đã cho là

x = - 2

.

b) Điều kiện xác định:

x \ne 0

.

\frac{{{x^2} - 6}}{x} = x + \frac{3}{2}

\frac{{2\left( {{x^2} - 6} \right)}}{{2x}} = \frac{{2x \cdot x}}{{2x}} + \frac{{3x}}{{2x}}

2\left( {{x^2} - 6} \right) = 2x \cdot x + 3x

2{x^2} - 12 = 2{x^2} + 3x

3x = - 12

x = - 4

(thỏa mãn). Vậy nghiệm phương trình đã cho là

x = - 4

. d) Điều kiện xác định:

x \ne 0

.

\frac{3}{{8x}} - \frac{1}{{2x}} = \frac{1}{{{x^2}}}

\frac{{3x}}{{8{x^2}}} - \frac{{4x}}{{8{x^2}}} = \frac{8}{{8{x^2}}}

3x - 4x = 8

- x = 8

x = - 8

(thỏa mãn). Vậy nghiệm phương trình đã cho là

x = - 8.

f) Điều kiện xác định:

x \ne 3,\,\,x \ne - 2

.

\frac{2}{{x - 3}} = \frac{1}{{x + 2}}

\frac{{2\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{x - 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}

2\left( {x + 2} \right) = x - 3

2x + 4 = x - 3

x = - 7

(thỏa mãn). Vậy nghiệm của phương trình đã cho là

x = - 7

. h) Điều kiện xác định

x \ne - 1,\,\,x \ne 0

.

\frac{{2x + 1}}{{x + 1}} + \frac{2}{x} = \frac{2}{{x\left( {x + 1} \right)}}

\frac{{\left( {2x + 1} \right)x}}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{2}{{x\left( {x + 1} \right)}}

\left( {2x + 1} \right)x + 2\left( {x + 1} \right) = 2

2{x^2} + x + 2x + 2 = 2

2{x^2} + 3x = 0

x\left( {2x + 3} \right) = 0

x = 0

hoặc

2x + 3 = 0

x = 0

(không thỏa mãn) hoặc

x = - \frac{3}{2}

(thỏa mãn). Vậy nghiệm của phương trình đã cho là

x = - \frac{3}{2}

. j) Điều kiện xác định:

x \ne 0,\,\,x \ne 4

.

\frac{1}{x} - \frac{{x + 4}}{{x - 4}} = \frac{4}{{4x - {x^2}}}

\frac{1}{x} - \frac{{x + 4}}{{x - 4}} = \frac{{ - 4}}{{{x^2} - 4x}}

\frac{{x - 4}}{{x\left( {x - 4} \right)}} - \frac{{\left( {x + 4} \right)x}}{{x\left( {x - 4} \right)}} = \frac{{ - 4}}{{x\left( {x - 4} \right)}}

x - 4 - \left( {x + 4} \right)x = - 4

x - 4 - {x^2} - 4x = - 4

- {x^2} - 3x = 0

- x\left( {x + 3} \right) = 0

- x = 0

hoặc

x + 3 = 0

x = 0

(không thỏa mãn) hoặc

x = - 3

(thỏa mãn). Vậy nghiệm phương trình đã cho là

x = - 3.

k) Điều kiện xác định:

x \ne 2,\,\,\,x \ne - 2

.

\frac{{x + 2}}{{x - 2}} - \frac{{x - 2}}{{2 + x}} = \frac{{{x^2} + 16}}{{{x^2} - 4}}

\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{{x^2} + 16}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}

{\left( {x + 2} \right)^2} - {\left( {x - 2} \right)^2} = {x^2} + 16

{x^2} + 4x + 4 - \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) = {x^2} + 16

{x^2} + 4x + 4 - {x^2} + 4x - 4 = {x^2} + 16

{x^2} - 8x + 16 = 0

{\left( {x - 4} \right)^2} = 0

x - 4 = 0

x = 4

(thỏa mãn) Vậy nghiệm của phương trình đã cho là

x = 4

.

k) Điều kiện xác định:

x \ne 2,\,\,\,x \ne - 2

.

\frac{{x + 2}}{{x - 2}} - \frac{{x - 2}}{{2 + x}} = \frac{{{x^2} + 16}}{{{x^2} - 4}}

\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{{x^2} + 16}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}

{\left( {x + 2} \right)^2} - {\left( {x - 2} \right)^2} = {x^2} + 16

{x^2} + 4x + 4 - \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) = {x^2} + 16

{x^2} + 4x + 4 - {x^2} + 4x - 4 = {x^2} + 16

{x^2} - 8x + 16 = 0

{\left( {x - 4} \right)^2} = 0

x - 4 = 0

x = 4

(thỏa mãn) Vậy nghiệm của phương trình đã cho là

x = 4

.

l) Điều kiện xác định:

xk - 4,\,\,x \ne 4

.

\frac{{2x - 5}}{{x + 4}} + \frac{x}{{4 - x}} = \frac{{ - 17x + 56}}{{{x^2} - 16}}

\frac{{2x - 5}}{{x + 4}} - \frac{x}{{x - 4}} = \frac{{ - 17x + 56}}{{{x^2} - 16}}

\frac{{\left( {2x - 5} \right)\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}} - \frac{{x\left( {x + 4} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}} = \frac{{ - 17x + 56}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}}

\left( {2x - 5} \right)\left( {x - 4} \right) - x\left( {x + 4} \right) = - 17x + 56

2{x^2} - 8x - 5x + 20 - {x^2} - 4x = - 17x + 56

{x^2} = 36

x = 6

hoặc

x = - 6

(thõa mãn) Vậy nghiệm của phương trình đã cho là

x = 6;\,\,x = - 6.

l) Điều kiện xác định:

xk - 4,\,\,x \ne 4

.

\frac{{2x - 5}}{{x + 4}} + \frac{x}{{4 - x}} = \frac{{ - 17x + 56}}{{{x^2} - 16}}

\frac{{2x - 5}}{{x + 4}} - \frac{x}{{x - 4}} = \frac{{ - 17x + 56}}{{{x^2} - 16}}

\frac{{\left( {2x - 5} \right)\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}} - \frac{{x\left( {x + 4} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}} = \frac{{ - 17x + 56}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}}

\left( {2x - 5} \right)\left( {x - 4} \right) - x\left( {x + 4} \right) = - 17x + 56

2{x^2} - 8x - 5x + 20 - {x^2} - 4x = - 17x + 56

{x^2} = 36

x = 6

hoặc

x = - 6

(thõa mãn) Vậy nghiệm của phương trình đã cho là

x = 6;\,\,x = - 6.

Câu 3

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) $8x + 2 < 7x - 1$

$8x - 7x < - 1 - 2$

$x < - 3$ .

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x < - 3$ .

c) $3\left( {x - 2} \right) - 5 \ge 3\left( {2x - 1} \right)$

$3x - 6 - 5 \ge 6x - 3$

$3x - 6x \ge - 3 + 5 + 6$

$- 3x \ge 8$

$x \le \frac{{ - 8}}{3}$ .

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x \le \frac{{ - 8}}{3}$ .

e) ${\left( {x - 1} \right)^2} < x\left( {x + 3} \right)$

${x^2} - 2x + 1 < {x^2} + 3x$

$- 5x < - 1$

$x > \frac{1}{5}$

Vậy nghiệm bất phương trình đã cho là $x > \frac{1}{5}$ .

g) $\left( {x + 2} \right)\left( {x + 4} \right) > \left( {x - 2} \right)\left( {x + 8} \right) + 26$

${x^2} + 4x + 2x + 8 > {x^2} + 8x - 2x - 16 + 26$

${x^2} - {x^2} + 4x + 2x - 8x + 2x > - 16 + 26 - 8$

$0x > 2$ .

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.

i) $\frac{{x + 1}}{3} + \frac{x}{2} \ge 4$

$\frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{6} + \frac{{3x}}{6} \ge \frac{{4 \cdot 6}}{6}$

$2\left( {x + 1} \right) + 3x \ge 24$

$2x + 2 + 3x \ge 24$

$5x \ge 22$

$x \ge \frac{{22}}{5}$ .

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x \ge \frac{{22}}{5}$ .

b) $3x - 8 > 4x - 12$

$3x - 4x > - 12 + 8$

$- x > - 4$

$x < 4$ .

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x < 4$ .

d) $5x - 7\left( {2x - 5} \right) < 2\left( {x - 1} \right)$

$5x - 14x + 35 < 2x - 2$

$5x - 14x - 2x < - 2 - 35$

$- 11x < - 37$

$x > \frac{{37}}{{11}}$ .

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x > \frac{{37}}{{11}}$ .

f) $\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right) < {\left( {x + 1} \right)^2} - 4$ .

${x^2} - x + 3x - 3 < {x^2} + 2x + 1 - 4$

${x^2} - {x^2} - x + 3x - 2x < 1 - 4 + 3$

$0x < 0$ .

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.

h) ${\left( {x - 4} \right)^2} - \left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right) \ge - 8x + 41$

${x^2} - 8x + 16 - {x^2} + 25 \ge - 8x + 41$

$- 8x + 8x \ge 41 - 16 - 25$

$0x \ge 0$ .

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x \in \mathbb{R}$ .

j) $\frac{{2x - 1}}{3} - \frac{{x + 2}}{2} \ge \frac{{5x + 4}}{6}$

$\frac{{2\left( {2x - 1} \right)}}{6} - \frac{{3\left( {x + 2} \right)}}{6} \ge \frac{{5x + 4}}{6}$

$2\left( {2x - 1} \right) - 3\left( {x + 2} \right) \ge 5x + 4$

$4x - 2 - 3x - 6 \ge 5x + 4$

$x - 8 \ge 5x + 4$

$x - 5x \ge 4 + 8$

$- 4x \ge 12$

$x \le - 3$ .

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x \le - 3$ .

Câu 4

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3x + y = 0\,\,\,\,\,\left( {1a} \right)}\\{x + 2y = 5\,\,\,\,\,\left( {2a} \right)}\end{array}} \right.$

Từ phương trình (1a), ta có $y = - 3x.\,\,\,\left( {3a} \right)$

Thế $y = - 3x$ vào phương trình (2a), ta được:

$x + 2 \cdot \left( { - 3x} \right) = 5$ hay $- 5x = 5$ nên $x = - 1$ .

Thay $x = - 1$ vào phương trình (3a), ta được: $y = - 3 \cdot \left( { - 1} \right) = 3.$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là $\left( { - 1;\,\,3} \right)$ .

b) $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x - 5y = 21\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {1b} \right)}\\{ - 6x + 3y = - 45\,\,\,\left( {2b} \right)}\end{array}} \right.$

Từ phương trình (2a), ta có: $x = 5y + 21.\,\,\,\left( {3b} \right)$

Thế $x = 5y + 21$ vào phương trình (2b), ta được:

$- 6\left( {5y + 21} \right) + 3y = - 45$ hay $- 30y - 126 + 3y = - 45$ , suy ra $- 27y = 81$ nên $y = - 3$ .

Thay $y = - 3$ vào phương trình (3b), ta được:

$x = 5 \cdot \left( { - 3} \right) + 21 = - 15 + 21 = 6.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $\left( {6; - 3} \right)$ .

c) $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{ - 4x + 5y = 8\,\,\,\,\left( {1c} \right)}\\{2x - y = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {2c} \right)}\end{array}} \right.$

Từ phương trình (2c), ta có: $y = 2x - 2.\,\,\,\left( {3c} \right)$

Thế $y = 2x - 2$ vào phương trình (1c), ta được:

$- 4x + 5\left( {2x - 2} \right) = 8$ hay $- 4x + 10x - 10 = 8$ , suy ra $6x = 18$ nên $x = 3$ .

Thay $x = 3$ vào phương trình (3c), ta được:

$y = 2 \cdot 3 - 2 = 4$ .

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $\left( {3;4} \right)$ .

d) $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3x + 4y = - 6\,\,\,\,\,\left( {1d} \right)}\\{x - 4y = 14\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {2d} \right)}\end{array}} \right.$

Từ phương trình (2d), ta có: $x = 4y + 14.\,\,\,\,\left( {3d} \right)$

Thế $x = 4y + 14$ vào phương trình (1d), ta được:

$3\left( {4y + 14} \right) + 4y = - 6$ hay $12y + 42 + 4y = - 6$ , suy ra $16y = - 48$ nên $y = - 3$ .

Thay $y = - 3$ vào phương trình (3d), ta được:

$x = 4 \cdot \left( { - 3} \right) + 14 = - 12 + 14 = 2.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $\left( {2; - 3} \right)$ .

Câu 5

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) $\left\{ \begin{array}{l}x - 5y = 16\\ - x + 3y = - 10\end{array} \right.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được: $- 2y = 6$ . Suy ra $y = - 3$ .

Thay $y = - 3$ vào phương trình $- x + 3y = - 10$ , ta được:

$- x + 3 \cdot \left( { - 3} \right) = - 10$ hay $- x - 9 = - 10,$ do đó $x = 1$ .

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $\left( {1; - 3} \right).$

b) $\left\{ \begin{array}{l} - x + 3y = - 10\\2x + 3y = - 1\end{array} \right.$

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ, ta được:

$- 3x = - 9$ . Suy ra $x = 3$ .

Thay $x = 3$ vào phương trình $2x + 3y = - 1$ , ta được:

$2 \cdot 3 + 3y = - 1$ hay $6 + 3y = - 1$ , suy ra $3y = - 7$ , do đó $y = \frac{{ - 7}}{3}$ .

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $\left( {3;\,\,\frac{{ - 7}}{3}} \right).$

c) $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\4x + 3y = 2\end{array} \right.$

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 4, ta được: $\left\{ \begin{array}{l}4x + 4y = 0\\4x + 3y = 2.\end{array} \right.$

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ, ta được:

$y = - 2.$

Thay $y = - 2$ vào phương trình $x + y = 0,$ ta được:

$x + \left( { - 2} \right) = 0,$ do đó $x = 2$ .

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $\left( {2;\,\, - 2} \right).$

d) $\left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = - 2\\ - 6x + 4y = 4.\end{array} \right.$

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 2, ta được: $\left\{ \begin{array}{l}6x - 4y = - 4\\ - 6x + 4y = 4.\end{array} \right.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được: $0x + 0y = 0$ hay $0x = 0.$

Phương trình trên vô số nghiệm $x \in \mathbb{R}.$

Từ phương trình $3x - 2y = - 2,$ ta có $2y = 3x + 2$ hay $y = \frac{3}{2}x + 1.$

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm, nghiệm tổng quát của hệ phương trình là: $\left( {x;\,\,\frac{3}{2}x + 1} \right)$ với $x \in \mathbb{R}$ tùy ý.

e) $\left\{ \begin{array}{l}2x - 6y = 5\\x - 3y = 2.\end{array} \right.$

Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 2, ta được: $\left\{ \begin{array}{l}2x - 6y = 5\\2x - 6y = 4.\end{array} \right.$

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ, ta được:

$0x + 0y = 1$ hay $0x = 1$ .

Phương trình trên vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

f) $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\frac{1}{2}x + \frac{9}{4}y = \frac{1}{2}}\\{\frac{2}{3}x - \frac{3}{4}y = - 1}\end{array}} \right.$

Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 3, ta được : $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\frac{1}{2}x + \frac{9}{4}y = \frac{1}{2}}\\{2x - \frac{9}{4}y = - 3.}\end{array}} \right.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được:

$\frac{5}{2}x = - \frac{5}{2}.$ Suy ra $x = - 1.$

Thay $x = - 1$ vào phương trình $\frac{1}{2}x + \frac{9}{4}y = \frac{1}{2}$ , ta được :

$\frac{1}{2} \cdot \left( { - 1} \right) + \frac{9}{4}y = \frac{1}{2}$ hay $- \frac{1}{2} + \frac{9}{4}y = \frac{1}{2},$ suy ra $\frac{9}{4}y = 1,$ do đó $y = \frac{4}{9}.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $\left( { - 1;\,\,\frac{4}{9}} \right).$

Câu 6

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) $\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{x} - \frac{1}{y} = 7\\\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 8\end{array} \right.$ (Điều kiện $x \ne 0;y \ne 0)$

Đặt $\frac{1}{x} = a;\,\,\frac{1}{y} = b$ , khi đó hệ phương trình đã cho trở thành: $\left\{ \begin{array}{l}3a - b = 7\\2a + b = 8.\end{array} \right.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được:

$5a = 15,$ suy ra $a = 3$ .

Thay $a = 3$ vào phương trình $2a + b = 8,$ ta được:

$2 \cdot 3 + b = 8,$ suy ra $b = 2$ .

Với $a = 3$ ta có $\frac{1}{x} = 3,$ suy ra $x = \frac{1}{3}$ (thỏa mãn điều kiện);

Với $b = 2$ ta có $\frac{1}{y} = 2,$ suy ra $y = \frac{1}{2}$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {\frac{1}{3};\,\,\frac{1}{2}} \right)$ .

b) $\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{x} - \frac{4}{y} = 2\\\frac{4}{x} - \frac{5}{y} = 3\end{array} \right.$ (Điều kiện $x \ne 0;y \ne 0).$

Đặt $\frac{1}{x} = a;\,\,\frac{1}{y} = b$ , khi đó hệ phương trình đã cho trở thành: $\left\{ \begin{array}{l}3a - 4b = 2\\4a - 5b = 3.\end{array} \right.$

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ trên với $4$ và nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ trên với 3, ta được: $\left\{ \begin{array}{l}12a - 16b = 8\\12a - 15b = 9.\end{array} \right.$

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

$- b = - 1,$ suy ra $b = 1.$

Thay $b = 1$ vào phương trình $3a - 4b = 2,$ ta được:

$3a - 4 \cdot 1 = 2,$ hay $3a = 6,$ suy ra $a = 2.$

Với $a = 2$ ta có $\frac{1}{x} = 2,$ suy ra $x = \frac{1}{2}$ (thỏa mãn điều kiện);

Với $b = 1$ ta có $\frac{1}{y} = 1,$ suy ra $y = 1$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {\frac{1}{2};\,\,1} \right)$ .

c) $\left\{ \begin{array}{l}12x + 3y = 4xy\\\frac{9}{x} - \frac{8}{y} = 1\end{array} \right.$ (Điều kiện $x \ne 0;y \ne 0).$

Chia hai vế của phương trình thứ nhất của hệ đã cho cho $xy$ (do $xy \ne 0)$ , ta được:

$\left\{ \begin{array}{l}\frac{{12}}{y} + \frac{3}{x} = 4\\\frac{9}{x} - \frac{8}{y} = 1\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{x} + \frac{{12}}{y} = 4\\\frac{9}{x} - \frac{8}{y} = 1\end{array} \right.$

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ trên với 3, ta được:

$\left\{ \begin{array}{l}\frac{9}{x} + \frac{{36}}{y} = 12\\\frac{9}{x} - \frac{8}{y} = 1\end{array} \right.$

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

$\frac{{44}}{y} = 11,$ suy ra $y = 4$ (thỏa mãn điều kiện).

Thay $y = 4$ vào phương trình $\frac{9}{x} - \frac{8}{y} = 1$ , ta được:

$\frac{9}{x} - \frac{8}{4} = 1$ hay $\frac{9}{x} - 2 = 1,$ do đó $\frac{9}{x} = 3$ nên $x = 3$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {3;\,\,4} \right)$ .

d) $\left\{ \begin{array}{l}2\left( {x + y} \right) + 3\left( {x - y} \right) = 4\\\left( {x + y} \right) + 2\left( {x - y} \right) = 5\end{array} \right.$

Cách 1. Đặt $a = x + y$ và $b = x - y$ , hệ phương trình đã cho trở thành: $\left\{ \begin{array}{l}2a + 3b = 4\\a + 2b = 5.\end{array} \right.$

Nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ trên với 2, ta được: $\left\{ \begin{array}{l}2a + 3b = 4\\2a + 4b = 10.\end{array} \right.$

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

$- b = - 6,$ suy ra $b = 6.$

Thay $b = 6$ vào phương trình $a + 2b = 5,$ ta được:

$a + 2 \cdot 6 = 5,$ suy ra $a = - 7.$

Với $a = - 7,\,\,b = 6$ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = - 7\\x - y = 6.\end{array} \right.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được:

$2x = - 1$ , suy ra $x = - \frac{1}{2}$ .

Thay $x = - \frac{1}{2}$ vào phương trình $x - y = 6,$ ta được:

$- \frac{1}{2} - y = 6,$ suy ra $y = - \frac{{13}}{2}.$

Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất là $\left( {x;y} \right) = \left( { - \frac{1}{2}; - \frac{{13}}{2}} \right)$ .

Cách 2. $\left\{ \begin{array}{l}2\left( {x + y} \right) + 3\left( {x - y} \right) = 4\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\left( {x + y} \right) + 2\left( {x - y} \right) = 5\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Từ phương trình (1), ta có: $2x + 2y + 3x - 3y = 4$ hay $5x - y = 4.$ (3)

Từ phương trình (2), ta có: $x + y + 2x - 2y = 5$ hay $3x - y = 5.$ (4)

Từ (3) và (4) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}5x - y = 4\\3x - y = 5.\end{array} \right.$

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

$2x = - 1,$ suy ra $x = - \frac{1}{2}.$

Thay $x = - \frac{1}{2}$ vào phương trình $5x - y = 4,$ ta được:

$5 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) - y = 4,$ hay $- \frac{5}{2} - y = 4,$ suy ra $y = - \frac{{13}}{2}.$

Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất là $\left( {x;y} \right) = \left( { - \frac{1}{2}; - \frac{{13}}{2}} \right)$ .

e) $\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{{2x - y}} - \frac{6}{{x + y}} = - 1\\\frac{1}{{2x - y}} - \frac{1}{{x + y}} = 0\end{array} \right.$ (Điều kiện xác định: $y \ne 2x;\,\,y \ne - x).$

Đặt $\frac{1}{{2x - y}} = u;\,\,\frac{1}{{x + y}} = v$ , hệ phương trình đã cho trở thành: $\left\{ \begin{array}{l}3u - 6v = - 1\\u - v = 0.\end{array} \right.$

Nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ trên với 3, ta được: $\left\{ \begin{array}{l}3u - 6v = - 1\\3u - 3v = 0.\end{array} \right.$

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

$- 3v = - 1$ , suy ra $v = \frac{1}{3}$ .

Thay $v = \frac{1}{3}$ vào phương trình $u - v = 0,$ ta được: $u - \frac{1}{3} = 0,$ suy ra $u = \frac{1}{3}$ .

Với $u = \frac{1}{3}$ và $v = \frac{1}{3}$ , ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{2x - y}} = \frac{1}{3}\,\,\,\,\left( 5 \right)\\\frac{1}{{x + y}} = \frac{1}{3}\,\,\,\,\,\,\,\left( 6 \right)\end{array} \right.$

Từ phương trình (5) ta có: $2x - y = 3.\,\,\,\,\left( 7 \right)$

Từ phương trình (6) ta có: $x + y = 3.\,\,\,\,\left( 8 \right)$

Từ (7) và (8) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 3\\x + y = 3\end{array} \right.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được:

$3x = 6$ hay $x = 2$ .

Thay $x = 2$ vào phương trình $x + y = 3,$ ta được: $2 + y = 3$ , suy ra $y = 1$ (thỏa mãn).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $\left( {2;1} \right)$ .

f) $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{5x}}{{x + 1}} + \frac{y}{{y - 3}} = 27\\\frac{{2x}}{{x + 1}} - \frac{{3y}}{{y - 3}} = 4\end{array} \right.$ (Điều kiện xác định: $x \ne - 1;y \ne 3).$

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ phương trình đã cho với $3$ , ta được:

$\left\{ \begin{array}{l}\frac{{15x}}{{x + 1}} + \frac{{3y}}{{y - 3}} = 81\\\frac{{2x}}{{x + 1}} - \frac{{3y}}{{y - 3}} = 4.\end{array} \right.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ trên, ta nhận được phương trình:

$\frac{{17x}}{{x + 1}} = 85$

$\frac{x}{{x + 1}} = 5$

$5\left( {x + 1} \right) = x$

$5x + 5 = x$

$4x = - 5$

$x = \frac{{ - 5}}{4}$ (thỏa mãn).

Thế $\frac{x}{{x + 1}} = 5$ vào phương trình $\frac{{5x}}{{x + 1}} + \frac{y}{{y - 3}} = 27$ , ta được:

$5 \cdot 5 + \frac{y}{{y - 3}} = 27$

$\frac{y}{{y - 3}} = 2$

$2\left( {y - 3} \right) = y$

$2y - 6 = y$

$y = 6$ (thỏa mãn).

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{ - 5}}{4};6} \right).$

Chú ý: Ta cũng có thể sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải hệ phương trình trên.

Câu 7

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Vì đồ thị hàm số $y = ax + b$ đi qua hai điểm $A\left( {1;\,\, - 1} \right)$ và $B\left( {4;\,\,5} \right)$ nên thay lần lượt từng cặp giá trị $x,\,\,y$ vào hàm số, ta có:

$\left\{ \begin{array}{l} - 1 = a \cdot 1 + b\\5 = a \cdot 4 + b\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}a + b = - 1\\4a + b = 5.\end{array} \right.$

Trừ từng vế phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất của hệ, ta được:

$3a = 6,$ suy ra $a = 2.$

Thay $a = 2$ vào phương trình $a + b = - 1,$ ta được:

$2 + b = - 1,$ suy ra $b = - 3.$

Vậy hàm số cần tìm là $y = 2x - 3.$

b) Vì đồ thị hàm số $y = ax + b$ đi qua hai điểm $C\left( { - 1;\,\, - 5} \right)$ và $D\left( { - 6;\,\,1} \right)$ nên thay lần lượt từng cặp giá trị $x,\,\,y$ vào hàm số, ta có:

$\left\{ \begin{array}{l} - 5 = a \cdot \left( { - 1} \right) + b\\1 = a \cdot \left( { - 6} \right) + b\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l} - a + b = - 5\\ - 6a + b = 1.\end{array} \right.$

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ nhất của hệ, ta được:

$5a = - 6,$ suy ra $a = - \frac{6}{5}.$

Thay $a = - \frac{6}{5}$ vào phương trình $- a + b = - 5,$ ta được:

$- \left( { - \frac{6}{5}} \right) + b = - 5,$ suy ra $b = - \frac{{31}}{5}.$

Vậy hàm số cần tìm là $y = - \frac{6}{5}x - \frac{{31}}{5}.$

Câu 8

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) $x{\rm{Ag}} + y{\rm{C}}{{\rm{l}}_2} \to 2{\rm{AgCl}}{\rm{.}}$

Vì số nguyên tử của ${\rm{Ag}}$ và ${\rm{Cl}}$ ở cả hai vế của phương trình phản ứng phải bằng nhau nên ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\2y = 2\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1.\end{array} \right.$

Vậy $x = 2,\,\,y = 1.$

b) ${\rm{xHgO}} \to 2{\rm{Hg}} + y{{\rm{O}}_2}.$

Vì số nguyên tử của ${\rm{Hg}}$ và ${\rm{O}}$ ở cả hai vế của phương trình phản ứng phải bằng nhau nên ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\x = 2y\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1.\end{array} \right.$

Vậy $x = 2,\,\,y = 1.$

Câu 9

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: 28

Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng là: $\overline {xy}$ $\left( {1 \le x \le 9,\,\,0 \le y \le 9,\,\,x \in \mathbb{N},\,\,y \in \mathbb{N}} \right).$

⦁ Tổng của hai chữ số đó là: $x + y$ .

Theo bài, tổng của hai chữ số đó bằng 10 nên ta có phương trình: $x + y = 10$ . (1)

Giá trị của số cần tìm là $\overline {xy} = 10x + y$

Khi thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số thì được số tự nhiên có ba chữ số là $\overline {x0y} = 100x + y.$

Theo bài, số tự nhiên có ba chữ số này chia cho số cần tìm thì được thương là 7 và dư là 12 nên ta có: $\overline {x0y} = \overline {xy} \cdot 7 + 12$

Suy ra $100x + y = \left( {10x + y} \right) \cdot 7 + 12$

$100x + y = 70x + 7y + 12$

$30x - 6y = 12$

$5x - y = 2$ . (2)

Từ phương trình (1) và phương trình (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x + y = 10}\\{5x - y = 2}\end{array}} \right.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được: $6x = 12,$ suy ra $x = 2$ (thỏa mãn).

Thay $x = 2$ vào phương trình (1), ta được $2 + y = 10$ , suy ra $y = 8$ (thỏa mãn).

Vậy số cần tìm là: 28.

Câu 10

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Gọi $x$ (km/h) là vận tốc dự định của ôtô và $y$ (giờ) là thời gian dự định của ôtô để đi hết quãng đường AB $\left( {x > 10,\,\,y > 0} \right).$

– Quãng đường AB là $xy$ (km).

– Nếu ôtô chạy nhanh hơn 10 km/h mỗi giờ thì đến nơi sớm hơn so với dự định là 3 giờ. Khi đó, ta có:

⦁ Vận tốc của ôtô lúc này là: $x + 10$ (km/h).

⦁ Thời gian ôtô đi hết quãng đường AB là: $y - 3$ (giờ).

⦁ Quãng đường AB là: $\left( {x + 10} \right)\left( {y - 3} \right)$ (giờ).

Ta có phương trình: $\left( {x + 10} \right)\left( {y - 3} \right) = xy$

$xy - 3x + 10y - 30 = xy$

$- 3x + 10y = 30$ (1)

– Nếu ôtô chạy chậm hơn 10 km/h mỗi giờ thì đến nơi muộn hơn so với dự định là 5 giờ. Khi đó, ta có:

⦁ Vận tốc của ôtô lúc này là: $x - 10$ (km/h).

⦁ Thời gian ôtô đi hết quãng đường AB là: $y + 5$ (giờ).

⦁ Quãng đường AB là: $\left( {x + 10} \right)\left( {x - 2} \right)$ (giờ).

Ta có phương trình: $\left( {x - 10} \right)\left( {y + 5} \right) = xy$

$xy + 5x - 10y - 50 = xy$

$5x - 10y = 50$ (2)

Từ phương trình (1) và phương trình (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} - 3x + 10y = 30\\5x - 10y = 50\end{array} \right.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được: $2x = 80,$ suy ra $x = 40$ (thỏa mãn).

Thay $x = 40$ vào phương trình (1), ta được $- 3 \cdot 40 + 10y = 30$ hay $10y = 150,$ suy ra $y = 15$ (thỏa mãn).

Vậy vận tốc của ôtô là 40 (km/h) và thời gian ôtô đi hết quãng đường AB là 15 (giờ).

Câu 11

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Đổi: 1 giờ 20 phút $= \frac{4}{3}$ giờ; 10 phút $= \frac{{\rm{1}}}{{\rm{6}}}$ giờ; 12 phút $= \frac{{\rm{1}}}{{\rm{5}}}$ (giờ).

Gọi $x$ (giờ); $y$ (giờ) lần lượt là thời gian vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy một mình thì đầy bể $\left( {x > \frac{4}{3};\,\,y > \frac{4}{3}} \right).$

⦁ Trong một giờ vòi thứ nhất chảy được: $\frac{1}{x}$ (bể).

Trong một giờ vòi thứ hai chảy được: $\frac{1}{y}$ (bể).

Do đó, trong một giờ cả hai vòi sẽ chảy được: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ (bể).

Theo bài, cả hai vòi cùng chảy thì sau $\frac{4}{3}$ (giờ) sẽ đầy bể nên trong một giờ cả hai vòi sẽ chạy được: $\frac{1}{{\frac{4}{3}}} = \frac{3}{4}$ (bể).

Do đó, ta có phương trình $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}$ (1)

⦁ Khi mở vòi thứ nhất trong 10 phút thì vòi thứ nhất chảy được $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x}$ (bể).

Khi mở vòi thứ hai trong 12 phút thì vòi thứ hai chảy được $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{y}$ (bể).

Theo bài, Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 10 phút và mở vòi thứ hai chảy trong 12 phút thì sẽ đầy được $\frac{2}{{15}}$ bể nên ta có phương trình $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{y} = \frac{2}{{15}}$ (2)

Từ phương trình (1) và phương trình (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}}\\{\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{y} = \frac{2}{{15}}}\end{array}} \right.$

Nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ trên với 5, ta được: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}}\\{\frac{5}{6} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{3}}\end{array}} \right.$

Trừ từng vế của phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất của hệ trên, ta được:

$\left( {1 - \frac{5}{6}} \right) \cdot \frac{1}{x} = \frac{3}{4} - \frac{2}{3}$ hay $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{{12}}$ , suy ra $\frac{1}{x} = \frac{1}{2},$ nên $x = 2$ (thỏa mãn).

Thay $x = 2$ vào phương trình $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4}$ , ta được $\frac{1}{2} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4},$ suy ra $\frac{1}{y} = \frac{1}{4},$ nên $y = 4$ (thỏa mãn).

Vậy vòi thứ nhất chảy một mình thì sau 2 giờ sẽ đầy bể; vòi thứ hai chảy một mình thì sau 4 giờ sẽ đầy bể.

Câu 12

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Gọi $x,\,\,y$ (sản phẩm) lần lượt là số sản phẩm của tổ I và tổ II theo kế hoạch cần sản xuất $\left( {x > 0,\,\,y > 0} \right)$ .

Theo bài, theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm nên ta có phương trình: $x + y = 600$ (1)

Khi tổ I vượt kế hoạch 18% thì số sản phẩm tổ I sản xuất được là: $x + 18\% x = 1{,}18x$ (sản phẩm).

Khi tổ II vượt kế hoạch 21% thì số sản phẩm tổ II sản xuất được là: $y + 21\% y = 1{,}21y$ (sản phẩm).

Theo bài, cả hai tổ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm nên ta có phương trình: $1{,}18x + 1{,}21y = 600 + 120$ hay $118x + 121y = 72\,\,000$ (2)

Từ phương trình (1) và phương trình (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 600\\118x + 121y = 72\,\,000\end{array} \right.$

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ trên với 118, ta được: $\left\{ \begin{array}{l}118x + 118y = 70\,\,800\\118x + 121y = 72\,\,000\end{array} \right.$

Trừ hai vế của phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

$- 3y = - 1\,\,200$ , suy ra $y = 400$ (thỏa mãn).

Thay $y = 400$ vào phương trình $x + y = 600$ , ta được:

$x + 400 = 600$ , suy ra $x = 200$ (thỏa mãn).

Vậy theo kế hoạch, tổ I và tổ II cần sản xuất lần lượt là 200 sản phẩm và 400 sản phẩm.

Câu 13

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Gọi $x,\,\,y$ (km/h) lần lượt là vận tốc của thuyền khi nước yên lặng và vận tốc dòng nước $\left( {x > y > 0} \right).$

Vận tốc của thuyền khi đi xuôi dòng là: $x + y$ (km/h).

Vận tốc của thuyền khi đi ngược dòng là: $x - y$ (km/h).

⦁ Thời gian thuyền đi xuôi dòng $40$ km là: $\frac{{40}}{{x + y}}$ (giờ).

Thời gian thuyền đi ngược dòng $40$ km là: $\frac{{40}}{{x - y}}$ (giờ).

Theo bài, chiếc thuyền xuôi dòng và ngược dòng trên khúc sông dài $40$ km hết $4$ giờ $30$ phút $( = 4{,}5$ giờ) nên ta có phương trình: $\frac{{40}}{{x + y}} + \frac{{40}}{{x - y}} = 4{,}5$ . (1)

⦁ Thời gian thuyền đi xuôi dòng $5$ km là: $\frac{5}{{x + y}}$ (giờ).

Thời gian thuyền đi ngược dòng $4$ km là: $\frac{4}{{x - y}}$ (giờ).

Theo bài, thời gian thuyền xuôi dòng $5$ km bằng thời gian thuyền ngược dòng $4$ km nên ta có phương trình: $\frac{5}{{x + y}} = \frac{4}{{x - y}}$ . (2)

Từ phương trình (1) và phương trình (2), ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{40}}{{x + y}} + \frac{{40}}{{x - y}} = 4{,}5\\\frac{5}{{x + y}} = \frac{4}{{x - y}}\end{array} \right.$

Đặt $a = \frac{1}{{x + y}}$ và $b = \frac{1}{{x - y}}$ $\left( {a > 0;\,\,b > 0} \right)$ , ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}40a + 40b = 4{,}5\\5a = 4b\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}40a + 40b = 4{,}5\\5a - 4b = 0\end{array} \right.$

Nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ trên với 10, ta được: $\left\{ \begin{array}{l}40a + 40b = 4{,}5\\50a - 40b = 0\end{array} \right.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ trên, ta được:

$90a = 4{,}5$ , suy ra $a = \frac{1}{{20}}$ (thỏa mãn).

Thay $a = \frac{1}{{20}}$ vào phương trình $5a = 4b$ , ta được:

$5 \cdot \frac{1}{{20}} = 4b,$ suy ra $b = \frac{1}{{16}}$ (thỏa mãn).

Với $a = \frac{1}{{20}}$ ta có $\frac{1}{{x + y}} = \frac{1}{{20}}$ suy ra $x + y = 20$ . (3)

Với $b = \frac{1}{{16}}$ ta có: $\frac{1}{{x - y}} = \frac{1}{{16}}$ suy ra $x - y = 16$ . (4)

Từ phương trình (3) và phương trình (4), ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x + y = 20}\\{x - y = 16}\end{array}} \right.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ trên, ta được:

$2x = 36,$ suy ra $x = 18$ (thỏa mãn).

Thay $x = 18$ vào phương trình $x + y = 20$ , ta được:

$18 + y = 20$ , suy ra $y = 2$ (thỏa mãn).

Vậy vận tốc dòng nước là 2 km/h.

Câu 14

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Thời gian bè nứa trôi từ A đến điểm C cách A một đoạn 8 km là: $\frac{8}{4} = 2$ (giờ).

Do ca nô xuất phát từ A cùng với bè nứa nên thời gian ca nô di chuyển cũng là 2 giờ.

Gọi vận tốc thực của ca nô là $x$ (km/h) $\left( {x > 4} \right)$ .

Vận tốc ca nô xuôi dòng từ A đến B là: $x + 4$ (km/h).

Thời gian ca nô xuôi dòng từ A đến B là: $\frac{{24}}{{x + 4}}$ (giờ).

Vận tốc ca nô ngược dòng từ B đến A là: $x - 4$ (km/h).

Thời gian ca nô ngược dòng từ B đến C cách A một đoạn 8 km là: $\frac{{24 - 8}}{{x - 4}} = \frac{{16}}{{x - 4}}$ (giờ).

Do đó, tổng thời gian ca nô di chuyển là: $\frac{{24}}{{x + 4}} + \frac{{16}}{{x - 4}}$ (giờ).

Ta có phương trình: $\frac{{24}}{{x + 4}} + \frac{{16}}{{x - 4}} = 2$

Giải phương trình:

$\frac{{24}}{{x + 4}} + \frac{{16}}{{x - 4}} = 2$

$\frac{{12}}{{x + 4}} + \frac{8}{{x - 4}} = 1$

$\frac{{12\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)}} + \frac{{8\left( {x + 4} \right)}}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)}} = \frac{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)}}$

$12\left( {x - 4} \right) + 8\left( {x + 4} \right) = \left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)$

$12x - 48 + 8x + 32 = {x^2} - 16$

$- {x^2} + 20x = 0$

$- x\left( {x - 20} \right) = 0$

$x - 20 = 0$ (do $x > 4).$

$x = 20$ (thỏa mãn).

Vậy vận tốc thực của ca nô là: 20 km/h.

Câu 15

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Nửa chu vi của mảnh vườn hình chữ nhật là: $100:2 = 50$ (m).

Gọi $x$ (m) là chiều rộng của mảnh vườn $\left( {0 < x < 25} \right).$

Chiều dài của mãnh vườn là: $50 - x$ (m).

Diện tích của mảnh vườn là: $x\left( {50 - x} \right)$ (m $^{2}$ ).

Nếu tăng chiều rộng thêm 3 m thì chiều rộng mới là $x + 3$ (m).

Nếu giảm bớt chiều dài đi 4 m thì chiều dài mới là $50 - x - 4 = 46 - x$ (m).

Khi đó diện tích của mảnh vườn mới là $\left( {x + 3} \right)\left( {46 - x} \right)$ (m $^{2}$ ).

Theo bài, sau khi thay đổi kích thước thì diện tích mảnh vườn giảm 2 m $^{2}$ , nên ta có phương trình:

$x\left( {50 - x} \right) - \left( {x + 3} \right)\left( {46 - x} \right) = 2$

$50x - {x^2} - \left( {46x - {x^2} + 138 - 3x} \right) = 2$

$50x - {x^2} - 46x + {x^2} - 138 + 3x = 2$

$7x = 140$

$x = 20$ (thỏa mãn).

Vậy diện tích của mảnh vườn ban đầu là: $20 \cdot \left( {50 - 20} \right) = 600$ (m $^{2}$ ).

Câu 16

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Gọi số sản phẩm anh công nhân phải làm theo kế hoạch là $x$ (sản phẩm, $x > 60;\,\,x \in \mathbb{Z})$

Thời gian anh công nhân dự kiến làm hết số sản phẩm là: $\frac{x}{{60}}$ (ngày).

Số sản phẩm anh công nhân đã làm trên thực tế là $x + 40$ (sản phẩm).

Thời gian anh công nhân làm thực tế là: $\frac{{x + 40}}{{80}}$ (ngày).

Theo bài, anh đã hoàn thành kế hoạch sớm $2$ ngày nên ta có phương trình:

$\frac{x}{{60}} - \frac{{x + 40}}{{80}} = 2$ .

Giải phương trình:

$\frac{x}{{60}} - \frac{{x + 40}}{{80}} = 2$

$\frac{{4x}}{{240}} - \frac{{3\left( {x + 40} \right)}}{{240}} = \frac{{2 \cdot 240}}{{240}}$

$4x - 3\left( {x + 40} \right) = 2 \cdot 240$

$4x - 3x - 120 = 480$

$x = 600$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy số sản phẩm anh công nhân phải làm theo kế hoạch là $600$ sản phẩm.

Câu 17

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) $A = \sin 23^\circ - \cos 67^\circ = \sin 23^\circ - \sin 23^\circ = 1 - 1 = 0.$

b) $B = \tan 18^\circ - \cot 72^\circ = \tan 18^\circ - \tan 18^\circ = 1 - 1 = 0.$

c) $C = \frac{{\sin 60^\circ \cdot \cos 30^\circ }}{{2\cot 45^\circ }} = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{2 \cdot 1}} = \frac{{\frac{3}{4}}}{2} = \frac{3}{8}.$

d) $D = \cot 44^\circ \cdot \cot 45^\circ \cdot \cot 46^\circ = \cot 44^\circ \cdot \cot 45^\circ \cdot \tan 44^\circ$

$= \left( {\cot 44^\circ \cdot \tan 44^\circ } \right) \cdot \cot 45^\circ = 1 \cdot \cot 45^\circ = 1 \cdot 1 = 1.$

e) $E = \sin 10^\circ + \sin 40^\circ - \cos 50^\circ - \cos 80^\circ$

$= \sin 10^\circ + \sin 40^\circ - \sin 40^\circ - \sin 10^\circ$

$= \left( {\sin 10^\circ - \sin 10^\circ } \right) + \left( {\sin 40^\circ - \sin 40^\circ } \right) = 0$ .

f) $F = 12 \cdot \tan 32^\circ \cdot \tan 58^\circ - \frac{{8 \cdot \cot 35^\circ }}{{\tan 55^\circ }}.$

$= 12 \cdot \tan 32^\circ \cdot \cot 32^\circ - \frac{{8 \cdot \cot 35^\circ }}{{\cot 35^\circ }} = 12 \cdot 1 - 8 = 4.$

Câu 18

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A,$ ta có:

⦁ $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$ (định lí Pythagore);

⦁ $\widehat {A\,} + \widehat {B\,} + \widehat {C\,} = 180^\circ$ (tổng ba góc của một tam giác).

a) Ta có $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25,$ suy ra $BC = 5$ .

$\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{4}{5},$ suy ra $\widehat {B\,} \approx 53^\circ 8'.$

Suy ra $\widehat {C\,} = 180^\circ - \widehat {A\,} - \widehat {B\,} \approx 180^\circ - 90^\circ - 53^\circ 8' = 36^\circ 52'.$

Vậy $AB = 3,\,\,AC = 4,\,\,BC = 5;\,\,\widehat {A\,\,} = 90^\circ ,\,\,\widehat {B\,} \approx 53^\circ 8',\,\,\widehat {C\,} \approx 36^\circ 52'.$

b) Ta có $A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {11^2} - {6^2} = 85,$ suy ra $AC = \sqrt {85} \approx 9{,}22.$

$\cos B = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{6}{{11}},$ suy ra $\widehat {C\,} \approx 56^\circ 57'.$

Suy ra $\widehat {B\,} = 180^\circ - \widehat {A\,} - \widehat {C\,} \approx 180^\circ - 90^\circ - 56^\circ 57' = 33^\circ 3'.$

Vậy $AB = 6,\,\,AC \approx 9{,}22,\,\,BC = 11;\,\,\widehat {A\,\,} = 90^\circ ,\,\,\widehat {B\,} \approx 56^\circ 57',\,\,\widehat {C\,} \approx 33^\circ 3'.$

c) Ta có $\sin C = \frac{{AB}}{{BC}},$ suy ra $BC = \frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{9}{{\sin 32^\circ }} \approx 16{,}98.$

$AC = AB \cdot \cot C = 9 \cdot \cot 32^\circ \approx 14{,}40.$

$\widehat {B\,} = 180^\circ - \widehat {A\,} - \widehat {C\,} = 180^\circ - 90^\circ - 32^\circ = 58^\circ .$

Vậy $AB = 9,\,\,AC \approx 14{,}40,\,\,BC \approx 16{,}98;\,\,\widehat {A\,\,} = 90^\circ ,\,\,\widehat {B\,} = 58^\circ ,\,\,\widehat {C\,} = 32^\circ .$

d) Ta có $AB = BC \cdot \sin C = 12 \cdot \sin 37^\circ \approx 7{,}22.$

$AC = BC \cdot \cos C = 12 \cdot \cos 37^\circ \approx 9{,}58.$

$\widehat {B\,} = 180^\circ - \widehat {A\,} - \widehat {C\,} = 180^\circ - 90^\circ - 37^\circ = 53^\circ .$

Vậy $AB \approx 7{,}22,\,\,AC \approx 9{,}58,\,\,BC = 12;\,\,\widehat {A\,\,} = 90^\circ ,\,\,\widehat {B\,} = 53^\circ ,\,\,\widehat {C\,} = 37^\circ .$

e) Ta có: $AB = AC \cdot \tan C = 4 \cdot \tan 40^\circ \approx 3{,}36.$

$AC = BC \cdot \cos C,$ suy ra $BC = \frac{{AC}}{{\cos C}} = \frac{4}{{\cos 40^\circ }} \approx 5{,}22$ .

$\widehat {B\,} = 180^\circ - \widehat {A\,} - \widehat {C\,} = 180^\circ - 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ .$

Vậy $AB \approx 3{,}36,\,\,AC = 4,\,\,BC \approx 5{,}22;\,\,\widehat {A\,\,} = 90^\circ ,\,\,\widehat {B\,} = 50^\circ ,\,\,\widehat {C\,} = 40^\circ .$

Câu 19

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Kẻ $AD \bot BC$ .

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $D$ , ta có:

$AD = AB\sin B = 4 \cdot \sin 40^\circ \approx 2{,}57$ (cm).

$BD = AB\cos B = 4\cos 40^\circ \approx 3{,}06$ (cm).

Ta có $BC = BD + DC$

Suy ra $DC = BC - BD \approx 4{,}5 - 3{,}06 = 1{,}44$ (cm).

Xét $\Delta ADC$ vuông tại $D$ , theo định lí Pythagore, ta có:

$A{C^2} = A{D^2} + D{C^2} \approx 2,{57^2} + 1,{44^2} = 8{,}6785$

Suy ra $AC \approx 2{,}95$ (cm).

Trong $\Delta ADC$ , ta cũng có: $\tan C = \frac{{AD}}{{DC}} \approx \frac{{2{,}57}}{{1{,}44}} = \frac{{257}}{{144}}.$ Suy ra $\widehat {C\,} \approx 60^\circ 44'.$

Câu 20

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ , ta có:

⦁ $\widehat {B\,} + \widehat {C\,} = 90^\circ$ . Suy ra $\widehat B = 90^\circ - \widehat {C\,} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ .$

⦁ $\sin C = \frac{{AB}}{{BC}}$ hay $\sin 30^\circ = \frac{9}{{BC}},$ suy ra $BC = 18{\rm{\;cm}}$ .

⦁ $A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}$ (định lí Pythagore)

Suy ra $A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {18^2} - {9^2} = 243,$ do đó $AC = \sqrt {243} = 9\sqrt 3 {\rm{\;cm}}.$

b) Xét $\Delta ABH$ vuông tại $H$ , ta có:

$AH = AB \cdot \sin B = 9 \cdot \sin 60^\circ = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Xét $\Delta ACH$ vuông tại $H$ , ta có:

$CH = AC \cdot \cos C = 9\sqrt 3 \cdot \cos 30^\circ = 13{,}5{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

c) Xét $\Delta ABC$ có $AD$ là tia phân giác của $\widehat {BAC}$ nên ta có:

$\frac{{DC}}{{DB}} = \frac{{AC}}{{AB}},$ hay $\frac{{DC}}{{DB}} = \frac{{9\sqrt 3 }}{9} = \frac{{\sqrt 3 }}{1},$ suy ra $DC = DB\sqrt 3$ .

Mà $DC + DB = BC = 18$

Suy ra $DB\sqrt 3 + DB = 18$ , hay $DB\left( {\sqrt 3 + 1} \right) = 18$

Do đó $DB = \frac{{18}}{{\sqrt 3 + 1}} \approx 6{,}59{\rm{\;cm}}$ và $DC = DB\sqrt 3 \approx 6{,}59 \cdot \sqrt 3 \approx 11{,}41$ (cm).

Lại có $CH = CD + DH$ nên $DH = CH - CD \approx 13{,}5 - 11{,}41 = 2{,}09{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Xét $\Delta ADH$ vuông tại $H$ , theo định lí Pythagore, ta có:

$A{D^2} = D{H^2} + A{H^2} \approx 2,{09^2} + {\left( {\frac{{9\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = 65{,}1181$

Suy ra $AD \approx \sqrt {65{,}1181} \approx 8{,}07{\rm{\;cm}}$ .

Câu 21

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Gắn dữ kiện của bài toán vào mô hình Toán học như trên hình vẽ, trong đó $MB = 1{,}55{\rm{\;m}}$ là khoảng cách từ mắt người quan sát đến chân người đó, $BH = 13{,}65{\rm{\;m}}$ là khoảng cách từ chân người đó đến chân tháp, $AH$ là chiều cao của tháp.

Hình minh hoạ

⦁ Gọi $N$ là hình chiếu của $M$ lên đoạn $AH$ .

Vì $MN$ và $BH$ là các đoạn thẳng nằm trên phương ngang; $MB$ và $NH$ nằm trên phương thẳng đứng nên tứ giác $MBHN$ là hình chữ nhật.

Suy ra: $NH = MB = 1{,}55\,\,{\rm{m}}$ ; $MN = BH = 13{,}65\,\,{\rm{m}}$ .

⦁ Tam giác $ANM$ vuông tại $N$ nên $AN = MN \cdot \tan M$

Ta có: $AH = AN + NH$

$AH = MN \cdot \tan M + NH$

$AH = 13{,}65 \cdot \tan 58^\circ + 1{,}55 \approx 23{,}39\,\,\left( {\rm{m}} \right).$

Vậy chiều cao của tháp khoảng $23{,}39\,\,{\rm{m}}$ .

Câu 22

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Gắn dữ kiện của bài toán vào mô hình Toán học như hình vẽ bên, trong đó $AB,\,\,CD$ là hai trụ điện có chiều cao bằng nhau, nên $AB = CD;$ $AC = 80{\rm{\;m}}$ là khoảng cách giữa hai trụ điện; $\widehat {AMB} = 30^\circ$ và $\widehat {CMD} = 60^\circ$ là hai góc nâng tương ứng nhìn hai trụ điện từ vị trí $M.$

Đặt $AB = CD = x$ (m) $\left( {x > 0} \right)$ .

Xét tam giác $ABM$ vuông tại $A$ , ta có:

$\tan \widehat {AMB} = \frac{{AB}}{{AM}}$ , suy ra $AM = \frac{{AB}}{{\tan \widehat {AMB}}} = \frac{x}{{\tan 30^\circ }} = \frac{x}{{\frac{{\sqrt 3 }}{3}}} = x\sqrt 3$ (m).

Xét tam giác $DCM$ vuông tại $C$ , ta có:

$\tan \widehat {CMD} = \frac{{CD}}{{CM}},$ suy ra $CM = \frac{{CD}}{{\tan \widehat {CMD}}} = \frac{x}{{\tan 60^\circ }} = \frac{x}{{\sqrt 3 }}$ (m).

Vì $AC = AM + MC$ nên ta có:

$\frac{x}{{\sqrt 3 }} + x\sqrt 3 = 80$

$x + 3x = 80\sqrt 3$

$4x = 80\sqrt 3$

$x = 20\sqrt 3 \approx 34{,}64$ (m).

Suy ra $AM = x\sqrt 3 = 20\sqrt 3 \cdot \sqrt 3 = 60\;\,\,{\rm{m}}$ và $CM = \frac{x}{{\sqrt 3 }} = \frac{{20\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = 20\;{\rm{m}}$ .

Vậy trụ điện cao khoảng $34{,}64$ m và khoảng cách từ điểm $M$ đến mỗi trụ điện lần lượt là 20 m và 80 – 20 = 60 m, tương ứng với trụ được nhìn với góc nâng $30^\circ$ và $60^\circ .$

Câu 23

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Đặt: $BC = x\,\,\left( {\rm{m}} \right);$ $AC = AB + BC = 500 + x\,\,\left( {\rm{m}} \right)$ .

Xét tam giác $ACD$ vuông tại $C$ , ta có:

$CD = AC \cdot {\rm{tan}}\widehat {CAD} = \left( {500 + x} \right) \cdot {\rm{tan}}34^\circ .$

Xét tam giác $BCD$ vuông tại $C$ , ta có:

$CD = BC \cdot {\rm{tan}}\widehat {CBD} = x \cdot {\rm{tan}}38^\circ$ .

Do đó, ta có: $\;\left( {500 + x} \right) \cdot {\rm{tan}}34^\circ = x \cdot {\rm{tan}}38^\circ$

$500 \cdot {\rm{tan}}34^\circ + x \cdot {\rm{tan}}34^\circ = x \cdot {\rm{tan}}38^\circ$

$\;x \cdot {\rm{tan}}38^\circ - x \cdot {\rm{tan}}34^\circ = 500 \cdot {\rm{tan}}34^\circ$

$\;x \cdot \left( {{\rm{tan}}38^\circ - {\rm{tan}}34^\circ } \right) = 500 \cdot {\rm{tan}}34^\circ$

$\;x = \frac{{500 \cdot {\rm{tan}}34^\circ }}{{{\rm{tan}}38^\circ - {\rm{tan}}34^\circ }} \approx 3\,\,158{,}5\,\,({\rm{m)}}{\rm{.}}$

Suy ra $CD = x \cdot {\rm{tan}}38^\circ \approx 3\,\,158{,}5 \cdot {\rm{tan}}38^\circ \approx 2468\,\,({\rm{m}}).$

Vậy ngọn núi cao khoảng $2\,\,468$ mét.

Câu 24

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A,$ ta có:

$BC = AC \cdot \cos C$ , suy ra $AC = \frac{{BC}}{{\cos C}} = \frac{{1{,}3}}{{\cos 66^\circ }} \approx 3{,}20$ (m).

Vậy độ dài của thang khoảng $3{,}20$ m.

b) Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A,$ ta có:

$AB = BC \cdot \tan C = 1{,}3 \cdot \tan 66^\circ \approx 2{,}92$ (m).

Khi đầu $A$ của thang bị trượt xuống $40{\rm{\;cm}} = 0{,}4{\rm{\;m}}$ đến vị trí $D$ thì $DB = AB - AD \approx 2{,}92 - 0{,}4 = 2{,}52$ (m) và $DE = AC \approx 3{,}20$ (m).

Xét $\Delta BDE$ vuông tại $B,$ ta có:

$\sin \widehat {DEB} = \frac{{BD}}{{DE}} \approx \frac{{2{,}52}}{{3{,}2}} = 0{,}7875$ , suy ra $\widehat {DEB} \approx 51^\circ 57'.$

Câu 25

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Xét $\Delta BCN$ vuông tại $N$ , ta có:

$BN = BC \cdot \sin \widehat {BCN} = 60 \cdot \sin 32^\circ \approx 31{,}80$ (cm).

Ta thấy $NC$ và $BM$ là các đoạn thẳng nằm trên phương ngang nên $NC\,{\rm{//}}\,BM,$ suy ra $\widehat {CBM} = \widehat {BCN} = 32^\circ$ (so le trong).

Khi đó, $\widehat {ABM} = \widehat {ABC} - \widehat {CBM} = 53^\circ - 32^\circ = 21^\circ$ .

Xét $\Delta ABM$ vuông tại $M$ , ta có:

$AM = AB \cdot \sin \widehat {ABM} = 60 \cdot \sin 21^\circ \approx 21{,}50$ (cm).

Vậy, độ cao của điểm $A$ trên đầu cánh tay robot so với mặt đất là:

$AM + BN + CP \approx 21{,}50 + 31{,}80 + 17 = 70{,}3$ (cm).

Câu 26

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hình minh hoạ

Kẻ đường cao $AH$ $\left( {H \in BC} \right)$ .

Xét $\Delta ABH$ vuông tại $H$ có: $AH = AB \cdot \sin B$ .

Do đó ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}BC \cdot AH = \frac{1}{2}BC \cdot AB \cdot \sin B$ .

Chứng minh tương tự ta có:

${S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin A = \frac{1}{2}CA \cdot CB \cdot \sin C$ .

Vậy ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}BA \cdot BC \cdot \sin B = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin A = \frac{1}{2}CA \cdot CB \cdot \sin C$ .

Câu 27

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hình minh hoạ

Xét $\Delta ABN$ vuông tại $N$ có:

$AN = AB \cdot \cos A$ (1)

Xét $\Delta BCL$ vuông tại $L$ có:

$BL = BC \cdot \cos B$ (2)

Xét $\Delta ACM$ vuông tại $M$ có:

$CM = AC \cdot \cos C$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

$AN \cdot BL \cdot CM = AB \cdot BC \cdot CA \cdot \cos A \cdot \cos B \cdot \cos C$

Câu 28

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Kẻ đường cao $AH$ $\left( {H \in BC} \right)$ .

a) Xét $\Delta ABH$ vuông tại $H$ có: $\sin B = \frac{{AH}}{{AB}}$ .

Xét $\Delta ACH$ vuông tại $H$ có: $\sin C = \frac{{AH}}{{AC}}$ .

Suy ra: $\frac{{\sin B}}{{\sin C}} = \frac{{AH}}{{AB}}:\frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AB}} \cdot \frac{{AC}}{{AH}} = \frac{{AC}}{{AB}}.$

Do đó $AB \cdot \sin B = AC \cdot \sin C$ .

b) Xét $\Delta ABH$ vuông tại $H$ có: $BH = AB \cdot \cos B$

Xét $\Delta ACH$ vuông tại $H$ có: $CH = AC \cdot \cos C$

Ta có: $BC = BH + HC = AB \cdot \cos B + AC \cdot \cos C.$

Vậy $BC = AB \cdot \cos B + AC \cdot \cos C$ .

Câu 29

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hình minh hoạ

a) Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ , ta có:

$\sin \alpha = \sin B = \frac{{AC}}{{BC}};\,\,\,\cos \alpha = \cos B = \frac{{AB}}{{BC}};$

$\tan \alpha = \tan B = \frac{{AC}}{{AB}};\,\,\,\cot \alpha = \cot B = \frac{{AB}}{{AC}}$ .

(định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn)

b) Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ , theo định lí Pythagore, ta có: $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}.$

Ta có:

⦁ $\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{AC}}{{BC}}:\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{AC}}{{BC}} \cdot \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{AC}}{{AB}} = \tan \alpha$ .

⦁ $\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{AB}}{{BC}}:\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{AB}}{{BC}} \cdot \frac{{BC}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \cot \alpha$ .

⦁ ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = {\left( {\frac{{AC}}{{BC}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{AB}}{{BC}}} \right)^2} = \frac{{A{C^2}}}{{B{C^2}}} + \frac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{{A{C^2} + A{B^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{{B{C^2}}}{{B{C^2}}} = 1$ .

⦁ $\tan \alpha \cdot \cot \alpha = \frac{{AC}}{{AB}} \cdot \frac{{AB}}{{AC}} = 1$ .

⦁ $1 + {\tan ^2}\alpha = 1 + {\left( {\frac{{AC}}{{AB}}} \right)^2} = 1 + \frac{{A{C^2}}}{{A{B^2}}} = \frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{A{B^2}}} = \frac{{B{C^2}}}{{A{B^2}}} = {\left( {\frac{{BC}}{{AB}}} \right)^2} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$ .

⦁ $1 + {\cot ^2}\alpha = 1 + {\left( {\frac{{AB}}{{AC}}} \right)^2} = 1 + \frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{A{C^2} + A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{B{C^2}}}{{A{C^2}}} = {\left( {\frac{{BC}}{{AC}}} \right)^2} = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}$ .

Câu 30

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Ta có: ${\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right)$

Mà ${\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 0$ với mọi số $a,\,\,b,\,\,c$ nên ${a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right) \ge 0$

Suy ra $ab + bc + ca \ge \frac{{ - \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{2}$

Lại có ${a^2} + {b^2} + {c^2} \le 18$ nên $- \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge - 18$

Do đó $ab + bc + ca \ge \frac{{ - \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{2} \ge \frac{{ - 18}}{2} = - 9$ . (1)

Mặt khác, ${\left( {a + b} \right)^2} \ge 0$ nên ${a^2} + {b^2} \ge - 2ab$ hay $2ab \ge - \left( {{a^2} + {b^2}} \right)$

Mà $- \left( {{a^2} + {b^2}} \right) \ge - \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)$ và $- \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge - 18$

Nên $2ab \ge - 18$ . (2)

Cộng từng vế của (1) và (2) ta được:

$3ab + bc + ca \ge \left( { - 9} \right) + \left( { - 18} \right) = - 27$ .

Câu 31

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Ta có: $3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)$

$= {a^3} + a{b^2} + a{c^2} + {a^2}b + {b^3} + b{c^2} + {a^2}c + {b^2}c + {c^3}$

$= \left( {{a^3} + a{b^2}} \right) + \left( {{b^3} + b{c^2}} \right) + \left( {{c^3} + c{a^2}} \right) + {a^2}b + {b^2}c + {c^2}a$ .

Mà ${\left( {a - b} \right)^2} \ge 0$ với mọi số thực dương $a,\,\,b$ nên ${a^2} + {b^2} \ge 2ab.$

Suy ra ${a^3} + a{b^2} \ge 2{a^2}b.$

Tương tự, ta có: ${b^3} + b{c^2} \ge 2{b^2}c;$ ${c^3} + c{a^2} \ge 2{c^2}a.$

Suy ra $3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 3\left( {{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a} \right) > 0$

${a^2} + {b^2} + {c^2} \ge {a^2}b + {b^2}c + {c^2}a > 0$ .

Mặt khác, ${\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca$

Hay ${a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca = {3^2} = 9$

$2ab + 2bc + 2ca = 9 - \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)$

Do đó $P = {a^2} + {b^2} + {c^2} + \frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}$

$= {a^2} + {b^2} + {c^2} + \frac{{9 - \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}$

$= {a^2} + {b^2} + {c^2} + \frac{9}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}} - \frac{1}{2}$ .

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với mọi số thực dương $a,\,\,b,\,\,c$ ta có:

${a^2} + {b^2} + {c^2} \ge \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3} = \frac{{{3^2}}}{3} = 3.$

Do đó $P = {a^2} + {b^2} + {c^2} + \frac{9}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}} - \frac{1}{2}$

$= \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{2} + \frac{9}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}} + \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{1}{2}$

$\ge 2\sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{2} \cdot \frac{9}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}} + \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

$= 2\sqrt {\frac{9}{4}} + \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{3}{2} + \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 4.$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c = 1.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $4$ khi $a = b = c = 1.$