Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 9 Chân trời sáng tạo có đáp án - Trắc nghiệm

Đáp án đúng là: D

Ta có: ${x^2} - 4x + 3 = 0$

${x^2} - x - 3x + 3 = 0$

$x\left( {x - 1} \right) - 3\left( {x - 1} \right) = 0$

$\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0$

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: B

Giải phương trình:

$\left( {\frac{1}{3}x - 3} \right)\left( {x + 8} \right) = 0$

$\frac{1}{3}x - 3 = 0$ hoặc $x + 8 = 0$

$x = 9$ hoặc $x = - 8$.

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = 9$ và $x = - 8$.

Vậy tổng các nghiệm của phương trình đó là: $9 + \left( { - 8} \right) = 1.$

Đáp án đúng là: B

Điều kiện xác định của phương trình đã cho là $2x + 1 \ne 0$ và $x - 5 \ne 0,$ hay $x \ne - \frac{1}{2}$ và $x \ne 5.$

Đáp án đúng là: A

Điều kiện xác định: $x \ne 1;\,\,x \ne 2.$

$\frac{1}{{x - 1}} - \frac{7}{{x - 2}} = \frac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2 - x} \right)}}$

$\frac{{1 \cdot \left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \frac{{7 \cdot \left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}$

$1 \cdot \left( {x - 2} \right) - 7 \cdot \left( {x - 1} \right) = - 1$

$x - 2 - 7x + 7 = - 1$

$- 6x = - 6$

$x = 1$ (không thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình vô nghiệm. Ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: C

Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax + by = c$ với $a$ và $b$ không đồng thời bằng 0.

Phương trình $2x + \frac{y}{2} = 1$ viết thành $2x + \frac{1}{2}y = 1,$ là phương trình bậc nhất hai ẩn.

Đáp án đúng là: B

Thay $x = - 2;y = 4$ vào từng phương trình ta được:

⦁ $x - 2y = - 2 - 2 \cdot 4 = - 10 \ne 0$ nên loại A.

⦁ $2x + y = - 2 \cdot 2 + 4 = 0$ nên chọn B.

⦁ $x - y = - 2 - 4 = - 6 \ne 0$ nên loại C.

⦁ $x + 2y + 1 = - 2 + 2 \cdot 4 + 1 = 7 \ne 0$ nên loại D.

Đáp án đúng là: D

Ta viết phương trình $3x - y = 2$ về dạng $y = 3x - 2.$

⦁ Đường thẳng $y = 3x - 2$ không vuông góc với hai trục tọa độ nên phương án A và B là sai.

⦁ Thay $x = 0$ vào phương trình $y = 3x - 2$, ta được: $y = 3 \cdot 0 - 2 = - 2$. Do đó đường thẳng $y = 3x - 2$ không đi qua gốc tọa độ.

⦁ Thay $x = 1$ vào phương trình $y = 3x - 2$, ta được: $y = 3 \cdot 1 - 2 = 1$. Do đó đường thẳng $y = 3x - 2$ đi qua điểm $A\left( {1;\,\,1} \right).$

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: C

Ta viết phương trình $3x + y = 6$ về dạng $y = - 3x + 6.$

Khi đó, nghiệm tổng quát của phương trình $3x + y = 6$ là $\left( {x;\,\, - 3x + 6} \right)$ với $x \in \mathbb{R}$ tùy ý.

Đáp án đúng là: D

Ta viết phương trình $2x - y = 1$ về dạng $y = 2x - 1$.

⦁ Xét cặp số $\left( {1;\,\,0} \right),$ thay $x = 1$ vào phương trình $y = 2x - 1$, ta được: $y = 2 \cdot 1 - 1 = 1.$

Do đó, cặp số $\left( {1;\,\,0} \right)$ không phải là nghiệm của phương trình $2x - y = 1$, hay đường thẳng $y = 2x - 1$ không đi qua điểm $\left( {1;\,\,0} \right)$. Do đó đường thẳng ${d_1},\,\,{d_3}$ không thỏa mãn.

⦁ Xét cặp số $\left( {0;\,\, - 1} \right),$ thay $x = 0$ và $y = - 1$ vào phương trình $y = 2x - 1$, ta được:

$y = 2x - 1 = 2 \cdot 0 - 1 = - 1$.

Do đó, cặp số $\left( {0;\,\, - 1} \right)$ là nghiệm của phương trình $2x - y = 1$, hay đường thẳng $y = 2x - 1$ đi qua điểm $\left( {0;\,\, - 1} \right)$.

Quan sát hình b) và hình d) ta thấy chỉ có đường thẳng ${d_4}$ thỏa mãn.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: C

Để kiểm tra xem cặp số $\left( { - 2;\,\, - 3} \right)$ có là nghiệm của hệ phương trình nào, ta thay $x = - 2$ và $y = - 3$ vào từng hệ phương trình:

⦁ Xét phương án A. $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x - 2y = 3}\\{2x + y = 4}\end{array}} \right.$

Thay$x = - 2$ và $y = - 3$ vào hệ phương trình trên ta được: $\left\{ \begin{array}{l} - 2 - 2 \cdot \left( { - 3} \right) = 4 \ne 3\\2 \cdot \left( { - 2} \right) + \left( { - 3} \right) = - 7 \ne 4.\end{array} \right.$

Do đó cặp số $\left( { - 2;\,\, - 3} \right)$ không phải là nghiệm của hệ phương trình ở phương án A.

⦁ Xét phương án B. $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2x - y = - 1}\\{x - 3y = 8}\end{array}} \right.$

Thay$x = - 2$ và $y = - 3$ vào hệ phương trình trên ta được: $\left\{ \begin{array}{l}2 \cdot \left( { - 2} \right) - \left( { - 3} \right) = - 1\\ - 2 - 3 \cdot \left( { - 3} \right) = 7 \ne 8.\end{array} \right.$

Do đó cặp số $\left( { - 2;\,\, - 3} \right)$ không phải là nghiệm của hệ phương trình ở phương án B.

⦁ Xét phương án C. $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2x - y = - 1}\\{x - 3y = 7}\end{array}} \right.$

Thay$x = - 2$ và $y = - 3$ vào hệ phương trình trên ta được: $\left\{ \begin{array}{l}2 \cdot \left( { - 2} \right) - \left( { - 3} \right) = - 1\\ - 2 - 3 \cdot \left( { - 3} \right) = 7.\end{array} \right.$

Do đó cặp số $\left( { - 2;\,\, - 3} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình ở phương án C.

⦁ Xét phương án D. $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{4x - 2y = 0}\\{x - 3y = 5}\end{array}} \right.$

Thay$x = - 2$ và $y = - 3$ vào hệ phương trình trên ta được: $\left\{ \begin{array}{l}4\left( { - 2} \right) - 2\left( { - 3} \right) = - 2 \ne 0\\ - 2 - 3 \cdot \left( { - 3} \right) = 7 \ne 5.\end{array} \right.$

Do đó cặp số $\left( { - 2;\,\, - 3} \right)$ không phải là nghiệm của hệ phương trình ở phương án D.

Vậy cặp số $\left( { - 2;\,\, - 3} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình ở phương án C.

Đáp án đúng là: D

Để cặp số $\left( { - 2;\,\,3} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình, ta thay $x = - 2$ và $y = 3$ vào hệ phương trình, ta được: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{a \cdot \left( { - 2} \right) + 3 = 5}\\{3 \cdot \left( { - 2} \right) + b \cdot 3 = 0}\end{array}} \right.$

Giải hệ phương trình trên, ta được: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{ - 2a = 2}\\{ - 6 + 3b = 0}\end{array}} \right.$ hay $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{a = - 1}\\{b = 2.}\end{array}} \right.$

Vậy, để cặp số $\left( { - 2;\,\,3} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình thì $a = - 1$ và $b = 2$.

Đáp án đúng là: D

Để đường thẳng $y = ax + b$ đi qua điểm $M\left( {3;\,\, - 5} \right)$ thì thay $x = 3,\,\,y = - 5$ vào hàm số $y = ax + b$, ta được: $- 5 = 3a + b$.

Tương tự, để đường thẳng đi qua điểm $N\left( {1;\,\,2} \right)$, ta có: $2 = a + b$.

Ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3a + b = - 5}\\{a + b = 2}\end{array}} \right.$.

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

$2a = - 7,$ suy ra $a = - \frac{7}{2}$.

Thay $a = - \frac{7}{2}$ vào phương trình $a + b = 2$, ta được:

$- \frac{7}{2} + b = 2,$ suy ra $b = \frac{{11}}{2}$.

Vậy, giá trị của $a$ và $b$ để đường thẳng $y = ax + b$ đi qua hai điểm $M\left( {3;\,\, - 5} \right)$ và $N\left( {1;\,\,2} \right)$ là $a = - \frac{7}{2}$ và $b = \frac{{11}}{2}$.

Đáp án đúng là: B

Đổi 30 phút $= 0{,}5$ giờ.

Gọi $x,\,\,y$ (giờ) lần lượt là thời gian ô tô đi trên mỗi đoạn đường $AB$ và $BC$ $\left( {x > 0;\,\,y > 0{,}5} \right)$.

Do thời gian ô tô đi trên quãng đường $AB$ ít hơn thời gian đi trên quãng đường $BC$ là 30 phút nên ta có phương trình: $y - x = 0{,}5.\,\,\,\left( 1 \right)$

Quãng đường $AB$ và $BC$ lần lượt là: $50x$ (km), $45y$ (km).

Do quãng đường tổng cộng độ dài 165 km nên ta có phương trình: $50x + 45y = 165.\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{50x + 45y = 165}\\{y - x = 0{,}5}\end{array}} \right.$ hay $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{50x + 45y = 165}\\{ - x + y = 0{,}5}\end{array}} \right.$.

Nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ trên với 50, ta được: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{50x + 45y = 165}\\{ - 50x + 50y = 25}\end{array}} \right.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ trên, ta được:

$95y = 190,$ suy ra $y = 2$ (thỏa mãn).

Thay $y = 2$ vào phương trình (1), ta được $2 - x = 0{,}5,$ suy ra $x = 1{,}5$ (thỏa mãn).

Vậy thời gian ô tô đi hết quãng đường $AB$ là 1,5 giờ.

Đáp án đúng là: B

Gọi $x,\,\,y$ (học sinh) lần lượt là số học sinh dự thi của hai trường $A,\,\,B$ $\left( {0 < x < 350,\,\,0 < y < 350} \right)$.

Vì hai trường $A,\,\,B$ có tổng cộng 350 học sinh dự thi nên ta có phương trình $x + y = 350.\,\,\,\left( 1 \right)$

Vì trường $A$ có $97\%$ và trường $B$ có $96\%$ số học sinh trúng tuyển và cả hai trường có 338 học sinh trúng tuyển nên ta có phương trình $97\% \cdot x + 96\% \cdot y = 338.\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Ta có hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x + y = 350\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{97\% \cdot x + 96\% \cdot y = 338\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.$

Từ phương trình (1) suy ra $x = 350 - y$, thay vào phương trình (2), ta được:

$97\% \cdot \left( {350 - y} \right) + 96\% \cdot y = 338$

$97 \cdot \left( {350 - y} \right) + 96 \cdot y = 33\,\,800$

$33\,\,950 - 97y + 96 \cdot y = 33\,\,800$

$- y = - 150$

$y = 150$ (thỏa mãn).

Vậy trường $B$ có 150 học sinh dự thi.

Đáp án đúng là: D

Phát biểu “$x$ không lớn hơn $- 10$” được viết là $x \le - 10$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $- 3 > - 4$, cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số $m$ bất kỳ, ta được:

$m - 3 > m - 4$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $m > n$, cộng hai vế của bất đẳng thức với $- 3,$ ta được: $m - 3 > n - 3.$

Đáp án đúng là: D

⦁ Vì $a < b$ suy ra $2a < 2b$ nên $2a + 1 < 2b + 1 < 2b + 5$ hay $2a + 1 < 2b + 5$ nên A đúng.

⦁ Vì $a < b$ suy ra $- 3a > - 3b$ nên $7 - 3a > 7 - 3b > 4 - 3b$ hay $7 - 3a > 4 - 3b$ nên B đúng.

⦁ Vì $a < b$ suy ra $7a < 7b$ hay $7a - 1 < 7b - 1$ nên C đúng.

⦁ Vì $a < b$ suy ra $- 3a > - 3b$ hay $2 - 3a > 2 - 3b$ nên D sai.

Vậy phương án D là đúng.

Đáp án đúng là: D

Bất phương trình $x + 2y > 0$ có hai ẩn nên không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Bất phương trình $\frac{1}{x} - 3 > 0$ có chứa ẩn $x$ dưới mẫu nên không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Bất phương trình ${x^2} + 1 > 0$ có chứa ${x^2}$ nên không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Bất phương trình $\frac{x}{2} + 1 > 0$ hay $\frac{1}{2}x + 1 > 0$ là bất phương trình bậc nhất một ẩn có dạng $ax + b > 0$ với $a = \frac{1}{2} \ne 0$ và $b = 1.$

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: D

Giải bất phương trình:

$x\left( {5x + 1} \right) + 4\left( {x + 3} \right) \ge 5{x^2}$

$5{x^2} + x + 4x + 12 \ge 5{x^2}$

$5x \ge - 12$

$x \ge \frac{{ - 12}}{5}$.

Do đó nghiệm của bất phương trình là $x \ge \frac{{ - 12}}{5}$.

Vậy số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là $x = - 2$

Đáp án đúng là: B

Xét $\Delta MNP$ vuông tại $M$, ta có: $\cos \widehat {MNP} = \frac{{MP}}{{NP}}$.

Đáp án đúng là: D

Xét $\Delta MNP$ vuông tại $M$, ta có: $\tan \widehat {MNP} = \frac{{MP}}{{MN}}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\alpha + \beta = 90^\circ$ nên $\alpha$ và $\beta$ là hai góc nhọn phụ nhau, do đó $\tan \alpha = \cot \beta$.

Đáp án đúng là: B

Với $0^\circ < \alpha < 70^\circ$, ta có: $90^\circ - \left( {70^\circ - \alpha } \right) = \alpha + 20^\circ ;\,\,\,90^\circ - \left( {80^\circ - \alpha } \right) = \alpha + 10^\circ .$

Do đó:

$$A = \tan \alpha \cdot \tan \left( {\alpha + 10^\circ } \right) \cdot \tan \left( {\alpha + 20^\circ } \right) \cdot \tan \left( {70^\circ - \alpha } \right) \cdot \tan \left( {80^\circ - \alpha } \right) \cdot \tan \left( {90^\circ - \alpha } \right)$$

$$\,\,\,\,\, = \tan \alpha \cdot \tan \left( {\alpha + 10^\circ } \right) \cdot \tan \left( {\alpha + 20^\circ } \right) \cdot \cot \left( {\alpha + 20^\circ } \right) \cdot \cot \left( {\alpha + 10^\circ } \right) \cdot \cot \alpha$$

$$\,\,\,\,\, = \left( {\tan \alpha \cdot \cot \alpha } \right) \cdot \left[ {\tan \left( {\alpha + 10^\circ } \right) \cdot \cot \left( {\alpha + 10^\circ } \right)} \right] \cdot \left[ {\tan \left( {\alpha + 20^\circ } \right) \cdot \cot \left( {\alpha + 20^\circ } \right)} \right]$$

$$\,\,\,\,\, = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1.$$

Đáp án đúng là: D

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$, theo định lí Pythagore, ta có:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$

Suy ra $A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} = {5^2} - {4^2} = 9.$

Do đó $AB = 3{\rm{\;cm}}.$

Khi đó, $\tan B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{4}{3}$.

Đáp án đúng là: D

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$, ta có $\widehat {B\,} + \widehat {C\,} = 90^\circ$ hay hai góc $B$ và $C$ phụ nhau, do đó $\sin C = \cos B$.

Xét $\Delta ABH$ vuông tại $H$, ta có: $\sin C = \cos B = \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{5}{{13}} \approx 0{,}38$.

Đáp án đúng là: B

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$, ta có $\widehat {B\,} + \widehat {C\,} = 90^\circ$ hay hai góc $B$ và $C$ phụ nhau, do đó $\cos B = \sin C$.

Xét $\Delta ABH$ vuông tại $H$, theo định lí Pythagore, ta có:

$A{C^2} = A{H^2} + C{H^2},$ suy ra $A{H^2} = A{C^2} - C{H^2} = {15^2} - {6^2} = 189.$

Do đó $AH = 3\sqrt {21} {\rm{\;cm}}{\rm{.}}$

Khi đó, $\cos B = \sin C = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{3\sqrt {21} }}{{15}} = \frac{{\sqrt {21} }}{5}$.

Đáp án đúng là: C

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A,$ ta có: $AC = AB \cdot \tan B = 5 \cdot \tan 60^\circ = 5\sqrt 3 {\rm{\;cm}}$.

Đáp án đúng là: C

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A,$ ta có: $\tan C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{6}{{3{,}5}} = \frac{{12}}{7}$.

Suy ra $\widehat {C\,} \approx 59^\circ 45\prime$

Đáp án đúng là: D

Xét $\Delta ACH$ vuông tại $H,$ có $\widehat {HAC} + \widehat {C\,} = 90^\circ$ hay hai góc này phụ nhau nên $\cos \widehat {HAC} = \sin C.$

Xét $\Delta ABC$ có $A{B^2} + A{C^2} = {8^2} + {15^2} = 289;\,\,B{C^2} = {17^2} = 289$

Theo định lí Pythagore đảo, ta có $\Delta ABC$ vuông tại $A$.

Khi đó: $\cos \widehat {HAC} = \sin C = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{8}{{17}}$.

Đáp án: a) Đ. b) S. c) Đ. d) Đ.

⦁ Ta có: $- 2{x^2} - x + 1 = 0$

$- 2{x^2} - 2x + x + 1 = 0$

$$- 2x\left( {x + 1} \right) + \left( {x + 1} \right) = 0$$

$$\left( {x + 1} \right)\left( { - 2x + 1} \right) = 0$$

$\left( {x + 1} \right)\left( {1 - 2x} \right) = 0$.

Do đó ý a) là đúng.

⦁ Giải phương trình:

$$\left( {x + 1} \right)\left( {1 - 2x} \right) = 0$$

$x + 1 = 0$ hoặc $1 - 2x = 0$

$x = - 1$ hoặc $x = \frac{1}{2}$.

Như vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = - 1;\,\,x = \frac{1}{2}$. Do đó ý b) là sai.

⦁ Tổng bình phương của hai nghiệm của phương trình đã cho là: ${\left( { - 1} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{5}{4}.$

Do đó ý c) là đúng.

⦁ Tích của hai nghiệm của phương trình đã cho là: $\left( { - 1} \right) \cdot \frac{1}{2} = - \frac{1}{2}.$ Do đó ý d) là đúng.

Đáp án: a) Đ. b) S. c) S. d) S.

Giải phương trình:

$1 + \frac{1}{{2 + x}} = \frac{{12}}{{{x^3} + 8}}$

$\frac{{\left( {2 + x} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}}{{\left( {2 + x} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}} + \frac{{{x^2} - 2x + 4}}{{\left( {2 + x} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}} = \frac{{12}}{{\left( {2 + x} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}}$

$\left( {2 + x} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right) + {x^2} - 2x + 4 = 12$

${x^3} + 8 + {x^2} - 2x + 4 = 12$

${x^3} + {x^2} - 2x = 0$

$x\left( {{x^2} + x - 2} \right) = 0$

$x\left( {{x^2} - x + 2x - 2} \right) = 0$

$x\left[ {x\left( {x - 1} \right) + 2\left( {x - 1} \right)} \right] = 0$

$x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) = 0$

$x = 0$ hoặc $x - 1 = 0$ hoặc $x + 2 = 0$

$x = 0$ (thỏa mãn) hoặc $x = 1$ (thỏa mãn) hoặc $x = - 2$ (không thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = 0;\,\,x = 1.$

Hai nghiệm này có giá trị không âm.

Vậy: a) Đ. b) S. c) S. d) S.

Đáp án: a) Đ. b) S. c) S. d) Đ.

⦁ Thay $x = 5$ và $y = - 1$ vào phương trình đã cho, ta được: $5 + 2 \cdot \left( { - 1} \right) = 3.$

Suy ra cặp số $\left( {5;\,\, - 1} \right)$ là một nghiệm của phương trình $x + 2y = 3.$ Do đó ý a) là đúng.

⦁ Phương trình $x + 2y = 3$ là phương trình bậc nhất hai ẩn. Do đó ý b) là sai.

⦁ Viết lại phương trình $x + 2y = 3$ thành $y = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}x$, khi đó tất cả các nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi đường thẳng $y = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}x$. Do đó ý c) là sai.

⦁ Phương trình $x + 2y = 3$ là phương trình bậc nhất hai ẩn, có vô số nghiệm.

Viết lại phương trình $x + 2y = 3$ thành $x = 3 - 2y$.

Khi đó, nghiệm tổng quát của phương trình đó là: $\left( {3 - 2y;\,\,y} \right)$ với $y \in \mathbb{R}$ tùy ý. Do đó ý d) là đúng.

Đáp án: a) Đ. b) Đ. c) S. d) S.

Giải hệ phương trình đã cho bằng phương pháp thế như sau:

Từ phương trình (2), ta có $y = 2x + 4$.

Thay $y = 2x + 4$ vào phương trình (1), ta được:

$6x - 3\left( {2x + 4} \right) = - 12$ hay $0x = 0$.

Phương trình trên có vô số nghiệm nên hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

Nghiệm tổng quát của hệ phương trình đã cho là $\left( {x;\,\,2x + 4} \right)$ với $x \in \mathbb{R}$ tùy ý.

Vậy: a) Đ. b) Đ. c) S. d) S.

Đáp án: a) Đ. b) Đ. c) Đ. d) S.

– Tổng số cây cải bắp dự định trồng là: $xy$ (cây).

– Phân tích dữ kiện 1:

⦁ Số luống mới: $x + 8$ (luống);

⦁ Số cây mỗi luống mới: $y - 3$ (cây);

⦁ Tổng số cây mới: $\left( {x + 8} \right)\left( {y - 3} \right)$ (cây);

⦁ Nếu tăng thêm 8 luống, nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây cải bắp thì số cải bắp của cả vườn sẽ ít đi 108 cây so với dự định nên ta có phương trình:

$\left( {x + 8} \right)\left( {y - 3} \right) = xy - 108$.

$xy - 3x + 8y - 24 = xy - 108$

$- 3x + 8y = - 84$

$3x - 8y = 84$.

Do đó ý a) là đúng.

– Phân tích dữ kiện 2:

⦁ Số luống mới: $x - 4$

⦁ Số cây mỗi luống mới: $y + 2$

⦁ Tổng số cây mới: $\left( {x - 4} \right)\left( {y + 2} \right)$

⦁ Nếu giảm đi 4 luống, nhưng mỗi luống trồng thêm 2 cây thì số cải bắp cả vườn sẽ tăng thêm 64 cây nên ta có phương trình:

$\left( {x - 4} \right)\left( {y + 2} \right) = xy + 64$

$xy + 2x - 4y - 8 = xy + 64$

$2x - 4y = 72$

$x - 2y = 36$.

Do đó ý b) là đúng.

– Mối liên hệ giữa số cây và số luống là hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3x - 8y = 84}\\{x - 2y = 36.}\end{array}} \right.$

Do đó ý c) là đúng.

– Để xác định số cây cải bắp được trồng trên mảnh đất có vượt quá 1 000 cây hay không, ta cần giải hệ phương trình ở ý c) để tìm $x$ và $y$, sau đó tính tổng số cây: $xy.$

Giải hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3x - 8y = 84}\\{x - 2y = 36.}\end{array}} \right.$

Từ phương trình $x - 2y = 36$, ta có: $x = 2y + 36$, thay vào phương trình $3x - 8y = 84$, ta được:

$3\left( {2y + 36} \right) - 8y = 84$

$6y + 108 - 8y = 84$

$- 2y = - 24$

$y = 12$.

Thay $y = 12$ vào phương trình $x = 2y + 36$, ta được: $x = 2 \cdot 12 + 36 = 60$.

Tổng số cây cải bắp dự định trồng là $xy = 60 \cdot 12 = 720$ cây.

Ta thấy $720 < 1\,\,000$ nên số cây cải bắp được trồng trên mảnh đất không vượt quá $1{\rm{ }}000$ cây. Do đó ý d) là sai.

Vậy: a) Đ. b) Đ. c) Đ. d) S.

Đáp án: a) S. b) S. c) Đ. d) Đ.

⦁ Vì $a < b$ suy ra $4a < 4b$ hay $4a - 2 < 4b - 2$ nên ý a) là sai.

⦁ Vì $a < b$ suy ra $- 3a > - 3b$ hay $6 - 3a > 6 - 3b$ nên ý b) là sai.

⦁ Vì $a < b$ suy ra $4a < 4b$ nên $4a + 1 < 4b + 1 < 4b + 5$ hay $4a + 1 < 4b + 5$ nên ý c) là đúng.

⦁ Vì $a < b$ suy ra $- 2a > - 2b$ nên $7 - 2a > 7 - 2b > 4 - 2b$ hay $7 - 2a > 4 - 2b$ nên ý d) đúng.

Đáp án: a) S. b) Đ. c) S. d) S.

⦁ Ta có: $m\left( {2x + 1} \right) < 8$

$2mx + m - 8 < 0$

Bất phương trình đã cho là bất phương trình bậc nhất ẩn $x$ khi $2m \ne 0$ hay $m \ne 0$.

Do đó ý a) là sai.

⦁ Khi $m = 1,$ bất phương trình đã cho trở thành: $2x - 7 < 0$.

Giải bất phương trình:

$2x - 7 < 0$

$2x < 7$

$x < \frac{7}{2}$.

Như vậy, khi $m = 1,$ bất phương trình đã cho có nghiệm là $x < \frac{7}{2}$. Do đó ý b) là đúng.

⦁ Khi $m = - 1,$ bất phương trình đã cho trở thành: $- 2x - 9 < 0$.

Giải bất phương trình:

$- 2x - 9 < 0$

$- 2x < 9$

$x > - \frac{9}{2}$.

Như vậy, khi $m = - 1,$ bất phương trình đã cho có nghiệm là $x > - \frac{9}{2}$. Do đó ý c) là sai.

⦁ Khi $m = - 2,$ bất phương trình đã cho trở thành: $- 4x - 10 < 0$.

Giải bất phương trình:

$- 4x - 10 < 0$

$- 4x < 10$

$x > - \frac{5}{2}$.

Khi đó, bất phương trình có nghiệm nguyên nhỏ nhất là $- 2$. Do đó ý d) là sai.

Đáp án: a) Đ. b) Đ. c) Đ. d) S.

Do mỗi loại bạn An mua ít nhất 6 quả và giá của mỗi quả táo cao hơn mỗi quả lê, nên bạn An chỉ nên mua 6 quả táo để số quả lê mua được là nhiều nhất.

Số quả lê bạn An đã mua là: $x - 6$ (quả).

Số tiền bạn An dùng để mua 6 quả táo là: $6 \cdot 22 = 132$ (nghìn đồng).

Số tiền bạn An dùng để mua $x - 6$ quả lê là: $10\left( {x - 6} \right)$ (nghìn đồng).

Bạn An có 300 nghìn đồng để mua táo và lê nên ta có:

$132 + 10\left( {x - 6} \right) \le 300$

$132 + 10x - 60 \le 300$

$10x \le 228$

$x \le 22{,}8$

Mà tổng số hai loại quả mua được là nhiều nhất nên $x$ là số nguyên lớn nhất, do đó $x = 22.$

Vậy bạn An có thể mua được nhiều nhất 22 quả táo và lê.

Đáp án: a) Đ. b) Đ. c) S. d) S.

Với $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, ta có:

$\sin \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \cos \alpha$, $\cos \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha$,

$\tan \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \cot \alpha$, $\cot \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \tan \alpha$.

Đáp án: a) Đ. b) S. c) S. d) Đ.

⦁ Xét $\Delta ABC$ cân tại $A$ có $AM$ là đường trung tuyến nên đồng thời là đường phân giác và đường cao của tam giác.

Xét $\Delta ABM$ vuông tại $M$, ta có: $\widehat {BAM} + \widehat {B\,} = 90^\circ$

Khi đó hai góc $\widehat {BAM}$ và $\widehat {B\,}$ là hai góc phụ nhau, nên $\sin \widehat {BAM} = \cos B = \cos \alpha$.

Do đó ý a) là đúng.

⦁ Xét $\Delta ABM$ vuông tại $M$, ta có:

$BM = AB \cdot \cos B = 2a \cdot \cos \alpha$ và $AM = AB \cdot \sin B = 2a \cdot \sin \alpha .$

Do đó ý b) và c) đều sai.

⦁ Ta có $BC = 2BM = 2 \cdot 2a \cdot \cos \alpha = 4a \cdot \cos \alpha$.

Diện tích tam giác $ABC$ là:

$S = \frac{1}{2}AM \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \left( {2a \cdot \sin \alpha } \right) \cdot \left( {4a \cdot \cos \alpha } \right) = 4{a^2}\sin \alpha \cdot \cos \alpha$.

Do đó ý d) là đúng.

Đáp án: $\frac{{19}}{6}.$

Giải phương trình:

$\left( {\frac{2}{5}x + 1} \right)\left( {2 - 3x} \right) = 0$

$\frac{2}{5}x + 1 = 0$ hoặc $2 - 3x = 0$

$\frac{2}{5}x = - 1$ hoặc $- 3x = - 2$

$x = - \frac{5}{2}$ hoặc $x = \frac{2}{3}$

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = - \frac{5}{2};$ $x = \frac{2}{3}$.

Hiệu của nghiệm lớn và nghiệm bé là: $\frac{2}{3} - \left( { - \frac{5}{2}} \right) = \frac{{19}}{6}.$

Đáp án: $x = 0.$

Để hai biểu thức đã cho có cùng một giá trị thì $A = B$, tức là $\frac{3}{{3x + 1}} + \frac{2}{{1 - 3x}} = \frac{{x - 5}}{{9{x^2} - 1}}$

Điều kiện: $x \ne \frac{1}{3};\,\,x \ne - \frac{1}{3}.$

Giải phương trình:

$\frac{3}{{3x + 1}} + \frac{2}{{1 - 3x}} = \frac{{x - 5}}{{9{x^2} - 1}}$

$\frac{3}{{3x + 1}} - \frac{2}{{3x - 1}} = \frac{{x - 5}}{{\left( {3x + 1} \right)\left( {3x - 1} \right)}}$

$\frac{{3\left( {3x - 1} \right)}}{{\left( {3x + 1} \right)\left( {3x - 1} \right)}} - \frac{{2\left( {3x + 1} \right)}}{{\left( {3x + 1} \right)\left( {3x - 1} \right)}} = \frac{{x - 5}}{{\left( {3x + 1} \right)\left( {3x - 1} \right)}}$

$$3\left( {3x - 1} \right) - 2\left( {3x + 1} \right) = x - 5$$

$9x - 3 - 6x - 2 = x - 5$

$2x = 0$

$x = 0$ (thỏa mãn).

Vậy $x = 0$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án: 4 số.

Vì $\left( {{x_0};\,\,1} \right)$ là một nghiệm của phương trình $6x + 11y = 36$ nên ta có:

$6{x_0} + 11 \cdot 1 = 36,$ suy ra ${x_0} = \frac{{25}}{6} = 4{,}1\left( 6 \right)$.

Do đó các số nguyên dương nhỏ hơn ${x_0}$ là $1;\,\,2;\,\,3;\,\,4.$

Vậy có 4 số thỏa mãn yêu cầu.

Đáp số: $\frac{{257}}{4}$.

Vì cặp số $\left( {2;\,\, - 1} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình, ta thay $x = 2$ và $y = - 1$ vào hệ phương trình đã cho, ta được: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{a \cdot 2 + 6 \cdot \left( { - 1} \right) = 5}\\{5 \cdot 2 + b \cdot \left( { - 1} \right) = 4}\end{array}} \right.$ hay $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2a - 6 = 5}\\{10 - b = 4}\end{array}} \right.$.