Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 6 Cánh diều cấu trúc mới (Tự luận) có đáp án - Phần 2

a) $\overline {17x2y}$ chia hết cho $2;\,\,5$ nên $y = 0$.

Ta có tổng các chữ số của số $\overline {17x20}$ là $1 + 7 + x + 2 + 0 = 10 + x$.

Số $\overline {17x20}$ chia hết cho $3$ khi $\left( {10 + x} \right)\,\, \vdots \,\,3,$ suy ra $x \in \left\{ {2;\,\,5;\,\,8} \right\}.$

b) $\overline {234xy}$ chia hết cho $2;\,\,5$ nên $y = 0$.

Ta có tổng các chữ số của số $\overline {234x0}$ là $2 + 3 + 4 + x + 0 = 9 + x$.

Số $\overline {234x0}$ chia hết cho $9$ khi $\left( {9 + x} \right)\,\, \vdots \,\,9,$ suy ra $x \in \left\{ {0;\,\,9} \right\}.$

c) $\overline {4x6y}$ chia hết cho $2;\,\,5$ nên $y = 0$.

Ta có tổng các chữ số của số $\overline {4x60}$ là $4 + x + 6 + 0 = 10 + x$.

Vì $10$ chia 3 dư 1 nên để số $\overline {4x60}$ chia 3 dư 1 thì $x\,\, \vdots \,\,3$ hay $x \in B\left( 3 \right) = \left\{ {0;\,\,3;\,\,6;\,\,9} \right\}.$

d) $\overline {57x2y}$ chia hết $5$ nhưng không chia hết cho $2$ nên $y = 5$.

Ta có tổng các chữ số của số $\overline {57x25}$ là $5 + 7 + x + 2 + 5 = 19 + x$.

Số $\overline {57x25}$ chia hết $9$ nên $\left( {19 + x} \right)\,\, \vdots \,\,9$, suy ra $x = 8.$

a) Ta có Ư$\left( {30} \right) = \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,5;\,\,6;\,\,10;\,\,15;\,\,30} \right\}$

Mà $x \in$Ư$\left( {30} \right)$ và $x < 10$ nên $x = \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,5;\,\,6} \right\}$.

b) Ta có Ư$\left( {84} \right) = \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,6;\,\,7;\,\,12;\,\,14;\,\,21;\,\,28;\,\,42;\,\,84} \right\}$

Mà $84\,\, \vdots \,\,x$ nên $x \in$Ư$\left( {84} \right)$

Lại có $x > 10$ nên $x = \left\{ {12;\,\,14;\,\,21;\,\,28;\,\,42;\,\,84} \right\}$.

c) Ta có B$\left( {46} \right) = \left\{ {0;\,\,46;\,\,92;\,\,138;\,\,...} \right\}$

Mà $x \in$B$\left( {46} \right)$ và $x < 131$ nên $x = \left\{ {0;\,\,46;\,\,92} \right\}$.

d) Ta có B$\left( {26} \right) = \left\{ {0;\,\,26;\,\,52;\,\,78;\,\,104;\,\,...} \right\}$

Mà $x\,\, \vdots \,\,26$ nên $x \in {\rm{B}}\left( {26} \right)$

Lại có $0 < x < 100$ nên $x = \left\{ {26;\,\,52;\,\,78} \right\}$.

e) Vì $90\,\, \vdots \,\,x,\,\,150\,\, \vdots \,\,x$ nên $x \in$ƯC$\left( {90,\,\,150} \right)$

Mà ƯCLN$\left( {90,\,\,150} \right) = 30$ suy ra $x \in \left\{ {1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,2;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,3;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,5;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,6;{\mkern 1mu} \,10;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,15;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,30} \right\}$.

Lại có $5 < x < 30$ nên $x \in \left\{ {6;\,\,10;\,\,15} \right\}.$

f) Vì $24\,\, \vdots \,\,x,\,\,36\,\, \vdots \,\,x,\,\,160\,\, \vdots \,\,x$ và $x$ là lớn nhất nên $x =$ ƯCLN$\left( {24,\,\,36,\,\,160} \right)$.

Ta có $24 = {2^3} \cdot 3,\,\,\,\,\,36 = {2^2} \cdot {3^2};\,\,\,\,\,160 = {2^5} \cdot 5.$

Do đó ƯCLN$\left( {24,\,\,36,\,\,160} \right) = {2^2} = 4.$

Vậy $x = 4.$

g) Vì $x\,\, \vdots \,\,4,\,\,x\,\, \vdots \,\,6$ nên $x \in {\rm{BC}}\left( {4,\,\,6} \right)$.

Ta có: $4 = {2^2};\,\,\,\,\,6 = 2 \cdot 3$.

Do đó ${\rm{BCNN}}\left( {4,\,\,6} \right) = {2^2} \cdot 3 = 12$ nên ${\rm{BC}}\left( {4,\,\,6} \right) = \left\{ {0;\,\,12;\,\,24;\,\,36;\,\,48;\,\,60;\,\,72;\,\,\,...} \right\}$

Mà $0 < x < 50$ nên $x \in \left\{ {12;\,\,24;\,\,36;\,\,48} \right\}$.

h) Vì $x\,\, \vdots \,\,{\rm{12,}}\,\,x\,\, \vdots \,\,{\rm{21,}}\,\,x\,\, \vdots \,\,{\rm{28}}$ nên $x \in {\rm{BC}}\left( {12,\,\,21,\,\,28} \right)$.

Ta có: $12 = {2^2} \cdot 3;\,\,\,\,\,21 = 3 \cdot 7;\,\,\,\,\,28 = {2^2} \cdot 7.$

Do đó $BCNN\left( {12,\,\,21,\,\,28} \right) = {2^2} \cdot 3 \cdot 7 = 84$.

Suy ra ${\rm{BC}}\left( {12,\,\,21,\,\,28} \right) = {\rm{B}}\left( {84} \right) = \left\{ {0;\,\,84;\,\,168;\,\,252;\,\,336;\,\,...} \right\}$.

Mà $150 < x < 200$ nên $x = \,168$.

Vậy $x = \,168$.

a) Với $n \in \mathbb{N},$ ta có $n\,\, \vdots \,\,n$ nên để $\left( {n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,n$ thì $3\,\, \vdots \,\,n$ hay $n \in$Ư$\left( 3 \right) = \left\{ {1;\,\,3} \right\}.$

Từ đó suy ra $n \in \left\{ {1;\,\,3} \right\}.$

b) Với $n \in \mathbb{N},$ ta có $7n\,\, \vdots \,\,n$ nên để $\left( {7n + 8} \right)\,\, \vdots \,\,n$ thì $8\,\, \vdots \,\,n$ hay $n \in$Ư$\left( 8 \right) = \left\{ {1;\,\,2;\,\,4;\,\,8} \right\}.$

Từ đó suy ra $n \in \left\{ {1;\,\,2;\,\,4;\,\,8} \right\}.$

c) Với $n \in \mathbb{N},$ ta có $12n\,\, \vdots \,\,n$ nên để $\left( {35 - 12n} \right)\,\, \vdots \,\,n$ thì $35\,\, \vdots \,\,n$ hay $n \in$Ư$\left( {35} \right) = \left\{ {1;\,\,5;\,\,7;\,\,35} \right\}$

Từ đó suy ra: $n \in \left\{ {1;\,\,5;\,\,7;\,\,35} \right\}$.

Mà $n < 3$ nên $n = 1$. Vậy $n = 1$.

d) Với $n \in \mathbb{N},$ ta có $\left( {n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {n + 3} \right)$ nên để $\left( {n + 8} \right) \vdots \left( {n + 3} \right)$ hay $\left( {n + 3 + 5} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {n + 3} \right)$ thì $5\,\, \vdots \,\,\left( {n + 3} \right),$ tức là $\left( {n + 3} \right) \in$Ư$\left( 5 \right) = \left\{ {1;\,\,5} \right\}$.

Mà $n \in \mathbb{N}$ nên $n + 3 \ge 3$, do đó $n + 3 = 5,$ suy ra $n = 2.$

Vậy $n = 2$.

e) Với $n \in \mathbb{N},$ ta có $\left( {9 - 2n} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {9 - 2n} \right)$ suy ra $5\left( {9 - 2n} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {9 - 2n} \right)$

Nên để $\left( {5n + 2} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {9 - 2n} \right)$ thì $2\left( {5n + 2} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {9 - 2n} \right)$

Suy ra $\left[ {5\left( {9 - 2n} \right) + 2\left( {5n + 2} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,\left( {9 - 2n} \right)$ hay $49\,\, \vdots \,\,\left( {9 - 2n} \right)$

Tức là $\left( {9 - 2n} \right) \in$Ư$\left( {49} \right) = \left\{ {1;\,\,7;\,\,49} \right\}$.

Mà $n \in \mathbb{N}$ nên $9 - 2n \le 9$, do đó $9 - 2n \in \left\{ {1;\,\,7} \right\}$.

⦁ Nếu $9 - 2n = 1,$ ta có $2n = 8,$ suy ra $n = 4.$

Thử lại: với $n = 4$ ta có $5n + 2 = 5 \cdot 4 + 2 = 22;\,\,9 - 2n = 9 - 2 \cdot 4 = 1$ và $22\,\, \vdots \,\,1$ nên $n = 4$ thỏa mãn.

⦁ Nếu $9 - 2n = 7,$ ta có $2n = 2,$ suy ra $n = 1.$

Thử lại: với $n = 1$ ta có $5n + 2 = 5 \cdot 1 + 2 = 7;\,\,9 - 2n = 9 - 2 \cdot 1 = 7$ và $7\,\, \vdots \,\,7$ nên $n = 1$ thỏa mãn.

Vậy $n \in \left\{ {1;\,\,4} \right\}.$

Hướng dẫn giải

Gọi $a$ là số chia cho 15 được dư là 9. Khi đó $a = 15k + 9\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)$.

⦁ Ta thấy $15\,\, \vdots \,\,3$ nên $15k\,\, \vdots \,\,3$, lại có $9\,\, \vdots \,\,3$ suy ra $\left( {15k + 9} \right)\,\, \vdots \,\,3,$ tức là $a\,\, \vdots \,\,3.$

⦁ Ta thấy $15k\,\, \vdots \,\,5$ và $9\ \cancel{⋮}\ 5$ nên $(15k+9)\cancel{⋮}5$.

Hướng dẫn giải

Gọi số cần tìm là $a.$

Theo bài, ta có $a + 4$ chia hết cho 6, 7, 9 nên $\left( {a + 4} \right)\,\, \vdots \,\,{\rm{BCNN}}\left( {6,\,\,7,\,\,9} \right)$.

Ta có $6 = 2 \cdot 3;\,\,\,\,\,7 = 7;\,\,\,\,\,9 = {3^2}.$ Do đó ${\rm{BCNN}}\left( {6,\,\,7,\,\,9} \right) = 2 \cdot {3^2} \cdot 7 = 126$

Khi đó, $a + 4 = 126k$ $\left( {k \in \mathbb{N}} \right)$ hay $a = 126k - 4\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)$

Lại có $a$ là số tự nhiên nhỏ nhất nên $k = 1,$ suy ra $a = 122.$

Hướng dẫn giải

Số phần quà được chia có số bánh, lồng đèn và hộp sữa bằng nhau nên phải là ước của cả $40,\,\,60$ và $80$.

Số phần quà được chia phải là nhiều nhất có thể.

Vì vậy, số phần quà nhiều nhất chia được là ước chung lớn nhất của $40,\,\,60$ và $80$.

Ta có: $40 = {2^3} \cdot 5;\,\,\,\,\,60 = {2^2} \cdot 3 \cdot 5;\,\,\,\,\,80 = {2^4} \cdot 5.$

Do đó ƯCLN$\left( {40,\,\,60,\,\,80} \right) = {2^2} \cdot 5 = 20$.

Vậy có thể chia được nhiều nhất là $20$ phần quà.

Hướng dẫn giải

Gọi $x$ là tổng số học sinh khối $6$ và $7$ của trường đó $\left( {x \in \mathbb{N},\,\,250 < x < 300} \right)$.

Vì khi xếp hàng $8$, hàng $10$, hàng $12$ thì không thừa bạn nào nên $x \in {\rm{BC}}\left( {8,\,\,10,\,\,12} \right).$

Ta có: $8 = {2^3};\,\,\,\,\,10 = 2 \cdot 5;\,\,\,\,\,12 = {2^2} \cdot 3.$

Do đó ${\rm{BCNN}}\left( {8,\,\,10,\,\,12} \right) = {2^3} \cdot 3 \cdot 5 = 120$

Suy ra ${\rm{BC}}\left( {8,\,\,10,\,\,12} \right) = {\rm{B}}\left( {120} \right) = \left\{ {0;\,\,120;\,\,240;\,\,360;\,\,...} \right\}$.

Vì số học sinh Khối $6$ và $7$ của một trường khoảng từ $250$ đến $300$ em nên tổng số học sinh hai khối 6 và 7 của trường đó là $240$ học sinh.

Hướng dẫn giải

Gọi cạnh hình vuông lớn nhất là $x$ (cm) $\left( {0 < x < 90} \right)$.

Để cắt tờ bìa hình chữ nhật thành những hình vuông bằng nhau thì $120\,\, \vdots \,\,x$ và $90\,\, \vdots \,\,x$.

Do đó $x =$ƯCLN$\left( {120,\,\,90} \right)$

Ta có: $120 = {2^3} \cdot 3 \cdot 5$ và $90 = 2 \cdot {3^2} \cdot 5$.

Suy ra $x =$ƯCLN$\left( {120{,}90} \right) = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.

Vậy cạnh hình vuông lớn nhất là $30\,\,{\rm{cm}}$.

Diện tích của tờ bìa hình chữ nhật ban đầu là: $120 \cdot 90 = 10\,\,800$ (cm$^{2}$).

Diện tích tờ bìa mỗi hình vuông cắt được là: $30 \cdot 30 = 900$ (cm$^{2}$).

Số tờ bìa hình vuông cắt được là: $10\,\,800:900 = 12$ (tờ).

Hướng dẫn giải

Gọi $x$ là số đội viên của đội $\left( {x \in {\mathbb{N}^*};\,\,100 < x < 150} \right)$.

Khi xếp hàng 2 đội viên thì thừa 1 đội viên nên $x$ chia 2 dư 1, hay $\left( {x - 1} \right)\,\, \vdots \,\,2$.

Khi xếp hàng 3 đội viên thì thừa 1 đội viên nên $x$ chia 3 dư 1, hay $\left( {x - 1} \right)\,\, \vdots \,\,3$.

Khi xếp hàng 4 đội viên thì thừa 1 đội viên nên $x$ chia 4 dư 1, hay $\left( {x - 1} \right)\,\, \vdots \,\,4$.

Khi xếp hàng 5 đội viên thì thừa 1 đội viên nên $x$ chia 5 dư 1, hay $\left( {x - 1} \right)\,\, \vdots \,\,5$.

Do đó $x-1 \in {\rm{BC}}\left( {2,\,\,3,\,\,4,\,\,5} \right)$.

Ta có: $2 = 2;{\rm{ }}3 = 3;{\rm{ }}4 = {2^2};{\rm{ }}5 = 5$.

Do đó ${\rm{BCNN}}\left( {2,\,\,3,\,\,4,\,\,5} \right) = {2^2} \cdot 3 \cdot 5 = 60$ .

Suy ra $x-1 \in {\rm{BC}}\left( {2,\,\,3,\,\,4,\,\,5} \right) = \left\{ {0;\,\,60;\,\,120;\,\,180;\,\,...} \right\}$.

Vì $100 < x < 150$ nên $99 < x-1 < 149$.

Do đó $x-1 = 120$ nên $x = 121$.

Vậy đội có 121 đội viên.

Hướng dẫn giải

Gọi $x$ (học sinh) là số học sinh của trường THCS đó $\left( {x \in \mathbb{N},\,\,100 \le x < 250} \right)$.

Khi xếp hàng 10 em thì thừa 8 em nên $x$ chia 10 dư 8, hay $\left( {x + 2} \right)\,\, \vdots \,\,10$.

Khi xếp hàng 12 em thì thừa 10 em nên $x$ chia 12 dư 10, hay $\left( {x + 2} \right)\,\, \vdots \,\,12$.

Khi xếp hàng 15 em thì thừa 13 em nên $x$ chia 15 dư 13, hay $\left( {x + 2} \right)\,\, \vdots \,\,15$.

Từ đó suy ra $x \in {\rm{BC}}\left( {10,\,\,12,\,\,15} \right)$.

Ta có: $10 = 2 \cdot 5;\,\,\,\,\,12 = {2^2} \cdot 3;\,\,\,\,\,15 = 3 \cdot 5.$

Do đó ${\rm{BCNN}}\left( {10,\,\,12,\,\,15} \right) = {2^2} \cdot 3 \cdot 5 = 60$.

Khi đó $x + 2 \in {\rm{BC}}\left( {10,\,\,12,\,\,15} \right) = {\rm{B}}\left( {60} \right) = \left\{ {0;\,\,60;\,\,120;\,\,180;\,\,240;\,\,300;\,\,360;\,\,...} \right\}$.

Mà $100 \le x < 250$ nên $102 \le x + 2 \le 252$, suy ra $x + 2 \in \left\{ {120;\,\,180;\,\,240} \right\}$.

Do đó $x \in \left\{ {118;\,\,178;\,\,238} \right\}$.

Mặt khác khi số học sinh của trường xếp hàng 17 thì vừa đủ nên $x\,\, \vdots \,\,17$.

Xét 3 trường hợp ở trên ta có $x = 238$ thỏa mãn $x\,\, \vdots \,\,17$.

Vậy trường THCS đó có 238 học sinh.

Hướng dẫn giải

a) Gọi $x$ (khay) là số khay nhiều nhất có thể chia được $\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)$.

Theo đề bài, ta có: $294 \vdots x,{\rm{ }}189 \vdots x$ với $x$ là số lớn nhất nên $x =$ƯCLN$\left( {{\rm{294, 189}}} \right)$.

Ta có: $294 = 2 \cdot 3 \cdot {7^2}$; $189 = {3^3} \cdot 7$.

Do đó, $x =$ƯCLN$\left( {294,{\rm{ }}189} \right) = 3 \cdot 7 = 21$.

Vậy bạn Khánh có thể chia được nhiều nhất 21 khay.

b) Số quả táo trong mỗi khay là: $294:21 = 7$ (quả táo)

Số quả quýt trong mỗi khay là: $\left( {189:21 - 1} \right):2 = 4$ (quả).