Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 12 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Hàm số đã cho xác định trên ${\rm{D}} = \mathbb{R}$.

Có$y' = - 4{x^3} + 8x$.

Cho $y' = 0 \Leftrightarrow - 4{x^3} + 8x = 0 \Leftrightarrow 4x( - {x^2} + 2) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = 0\\ - {x^2} + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt 2 \end{array} \right.$.

Bảng biến thiên :

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên: $\left( { - \infty ; - \sqrt 2 } \right)$ và $\left( {0;\sqrt 2 } \right)$. Chọn C.

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên: ${\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 7} \right\}$.

Tính$y' = \frac{{\left( { - 2} \right).7 - 1.3}}{{{{\left( {x + 7} \right)}^2}}} = \frac{{ - 17}}{{{{\left( {x + 7} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in {\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 7} \right\}$.

Bảng biến thiên:

Hàm số đã cho luôn nghịch biến trên: $\left( { - \infty ; - 7} \right)$ và $\left( { - 7; + \infty } \right)$. Chọn C.

Tập xác định $D = \left[ {0;2} \right]$.

Ta có $y' = \frac{{1 - x}}{{\sqrt {2x - {x^2}} }}$; $y' = 0 \Leftrightarrow x = 1$.

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {1;2} \right)$. Chọn C.

(I): $y' = - 3{x^2} + 6x - 3 = - 3{\left( {x - 1} \right)^2} \le 0,\forall x \in \mathbb{R}$.

(II):$y' = \cos x - 2 < 0,\forall x \in \mathbb{R}$.

(III): $y' = - \frac{{3{x^2}}}{{2\sqrt {{x^3} + 2} }} \le 0,\forall x \in \left( { - \sqrt[3]{2}; + \infty } \right)$.

(IV): $y' = - \frac{1}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne 1$. Chọn A.

$y' = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{{(x + 2)}^2}}};y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{{(x + 2)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = - 1\end{array} \right.$ .

Hàm số đạt cực đại tại $x = - 3$ và ${y_{CD}} = - 3$.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = - 1$ và ${y_{CT}} = 1$.

$\Rightarrow {M^2} - 2n = 7$. Chọn B.

Hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}$ có TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$

$y' = - \frac{3}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in D$ nên hàm số không có cực trị. Chọn D.

Dựa vào bảng xét dấu của $y'$ ta có:

+) Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 2} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$.

+) Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { - 2;0} \right)$và $\left( {0;2} \right)$.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

Tập xác định $\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}$.

Ta có $y' = - \frac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne - 2$.

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - 2} \right)$ và $\left( { - 2; + \infty } \right)$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

Ta có $y' = 4{x^3} - 4x$; $y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = - 1\end{array} \right.$.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

+) Hàm số có 3 điểm cực trị.

+) Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - 1;0} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( {0;1} \right)$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

Xét hàm số $y = \sqrt {8 + 2x - {x^2}}$

a) Điều kiện: $8 + 2x - {x^2} \ge 0$$\Leftrightarrow - 2 \le x \le 4$.

Vậy tập xác định của hàm số là $D = \left[ { - 2;4} \right]$.

b) Ta có $y' = \frac{{{{\left( {8 + 2x - {x^2}} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {8 + 2x - {x^2}} }} = \frac{{2 - 2x}}{{2\sqrt {8 + 2x - {x^2}} }} = \frac{{1 - x}}{{\sqrt {8 + 2x - {x^2}} }}$.

c) Có $y' = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {1;4} \right)$.

d) Giá trị cực đại của hàm số là 3.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên các khoảng $( - \infty ; - 1)$ và $(1; + \infty ).$

b) Giá trị cực đại là y = 3, giá trị cực tiểu là y = –1.

Do đó tổng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là 3 – 1 = 2.

c) Hàm số $y = f(x)$có hai cực trị là $x = \pm 1.$

d) Gọi $d:y = ax + b$ là đường thẳng qua hai điểm cực trị $A( - 1;3),B(1; - 1).$

$A,B \in d \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a + b = 3\\a + b = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = 1\end{array} \right. \Rightarrow d:y = - 2x + 1$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Ta có tập xác định $D = \mathbb{R}$.

Có $y' = 3{x^2} + 4x + 1$; $y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = - 1\\{x_2} = - \frac{1}{3}\end{array} \right.$.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có $a = - \frac{1}{3};b = - 1$.

Do đó $3a + 6b = 3.\left( { - \frac{1}{3}} \right) + 6.\left( { - 1} \right) = - 7$.

Trả lời: −7.

Ta có $N'\left( t \right) = - 3{t^2} + 24t$; $N'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 8\end{array} \right.$.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có $\left( {a;b} \right) = \left( {0;8} \right)$.

Do đó $P = {2.0^2} - {8^2} = - 64$.

Trả lời: −64.

Có $N'\left( t \right) = \frac{{100\left( {100 + {t^2}} \right) - 200{t^2}}}{{{{\left( {100 + {t^2}} \right)}^2}}}$$= \frac{{{{100}^2} - 100{t^2}}}{{{{\left( {100 + {t^2}} \right)}^2}}}$;

$N'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 10$ (vì t > 0).

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta có số lượng vi khuẩn đạt cực đại khi t = 10 giây.

Trả lời: 10.

Vận tốc tức thời của chất điểm là $v\left( t \right) = s'\left( t \right) = - {t^2} + 36t - 35$.

Gia tốc tức thời của chất điểm là $a\left( t \right) = v'\left( t \right) = - 2t + 36$.

Vì vận tốc tức thời của chất điểm giảm nên $a\left( t \right) < 0 \Leftrightarrow - 2t + 36 < 0 \Leftrightarrow t > 18$.

Do đó, trong 40 giây đầu tiên, chất điểm có vận tốc tức thời giảm trong khoảng thời gian $\left( {18;40} \right)$. Suy ra $a = 18$, $b = 40$.

Vậy $P = 2b - 3a = 26$.

Trả lời: 26.

Ta có $h\left( t \right) = 2\cos \left( {\frac{{\pi t}}{{12}} + \frac{\pi }{3}} \right) + 5$$\Rightarrow h'\left( t \right) = - \frac{\pi }{6}\sin \left( {\frac{{\pi t}}{{12}} + \frac{\pi }{3}} \right)$.

$h'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{\pi t}}{{12}} + \frac{\pi }{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{{12}} + \frac{\pi }{3} = k\pi$$\Leftrightarrow t = - 4 + 12k\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Mà $0 \le t \le 24$ nên $0 \le - 4 + 12k \le 24 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \le k \le \frac{7}{3}$$\Rightarrow k \in \left\{ {1\,;\,2} \right\}$.

Do đó $h'\left( t \right) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 8\\t = 20\end{array} \right.$

$\Rightarrow h\left( t \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {8\,;\,20} \right)$ hay trong khoảng từ $8\,{\rm{h}}$đến$20\,{\rm{h}}$độ sâu của mực nước trong kênh tăng dần.

Vậy $a = 8\,;\,b = 20$ và $a + b = 28$.

Trả lời: 28.