Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 12 cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Từ đồ thị ta thấy

Đây là đồ thị hàm số bậc ba nên loại đáp án $y = {\rm{ }}{x^4} - 2{x^2}$.

Hàm số bậc ba có hệ số của ${x^3}$ là $a > 0$ nên loại đáp án $y = - {x^{\rm{3}}} + 3x$.

Đồ thị hàm số đi qua điểm$O\left( {0;0} \right)$nên loại đáp án $y = {x^{\rm{3}}} - 3x - 1$. Chọn D.

Từ đồ thị đã cho, ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 2$ và tiệm cận đứng là đường thẳng $x = - 1$ nên loại ngay 2 hàm số $y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}$ và $y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}$.

Mặt khác đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( {0;\;1} \right)$ nên ta có hàm số cần tìm là $y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}$. Chọn B.

Dựa vào bảng biến thiên, ta có $x = - 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số; $y = 2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Do đó loại đáp án C, D.

Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( { - 1; + \infty } \right)$

Xét đáp án A có $y' = \frac{5}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0\,\,\forall x \ne - 1$. Chọn A.

Vì hàm số bậc ba có $a = 1 > 0$ nên loại hình 3, hình 4.

Đồ thị hàm số cắt $Oy$ tại $A\left( {0\,;\,2} \right)$nên loại hình 2. Chọn A.

Từ hình dáng của đồ thị ta có: $a < 0$.

Đồ thị cắt trục $Oy$tại điểm $\left( {0;d} \right)$ ở phía trên trục $Ox \Rightarrow d > 0$.

Vì hàm số có một điểm cực trị bằng $0$, một điểm cực trị dương nên phương trình $y' = 3a{x^2} + 2bx + c = 0$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$thỏa mãn: ${x_1} = 0,\,{x_2} > 0$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 0\\{x_1} + {x_2} > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 0\\ - \frac{{2b}}{{3a}} > 0\left( {a < 0} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 0\\b > 0\\a < 0\end{array} \right.$. Chọn D.

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là $y = \frac{1}{c}$ nằm phía trên trục $Ox$ nên $\frac{1}{c} > 0 \Rightarrow c > 0$.

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là $x = \frac{{ - d}}{c}$ nằm bên trái trục $Oy$ nên $\frac{{ - d}}{c} < 0 \Rightarrow d > 0$.

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm $\left( { - b;0} \right)$ nằm bên phải trục $Oy$ nên $- b > 0 \Rightarrow b < 0$. Chọn A

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

Tiệm cận đứng là đường thẳng $x = 2$.

Đạo hàm $y' > 0$ với mọi $x \ne 2$

+) Xét đáp án A: Có $y' = \frac{{2x\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} - 3} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$. Loại.

+) Xét đáp án B: Có $y' = \frac{{\left( {2x - 4} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} - 4x + 2} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x + 6}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne 2$. Chọn.

+) Xét đáp án C: Có $y' = \frac{{\left( {2x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} - x} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} =$$= \frac{{{x^2} - 4x + 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$. Loại.

+) Xét đáp án D: Có $y' = \frac{{\left( {2x - 4} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} - 4x + 5} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$. Loại. Chọn B.

Đồ thị có TCĐ $x = 2$ loại đáp án A.

Đồ thị giao với trục $Oy$tại điểm có tung độ $\frac{1}{2}$loại đáp án D.

Đồ thị đi qua điểm $\left( {1;1} \right)$loại đáp án C.

Vậy hàm số thỏa mãn đề bài là hàm số của đáp án B. Chọn B.

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy đồ thị dạng bậc nhất trên bậc nhất. Do đó loại B, D.

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy $x = 0$ thì $y < 0$. Do đó chọn C.

a) Ta có $y = \frac{{ - {x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}$.

Ta có $y' = \frac{{ - {x^2} - 2x}}{{{{(x + 1)}^2}}}$ ; $y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 0}\\{x = - 2}\end{array}} \right.$.

Khi đó ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - 2; - 1} \right)$ và (−1; 0).

b) Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số có hai điểm cực trị.

c) $y = 0 \Leftrightarrow - {x^2} + x + 1 = 0$ (*).

Phương trình $(*)$ luôn có hai nghiệm phân biệt. Hay $(C)$ luôn cắt $Ox$ tại hai điểm phân biệt.

d) Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( { - x + 2} \right)} \right] = 0$ nên $y = - x + 2$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Tiệm cận xiên của đồ thị là $y = - x + 2$ không đi qua $A(1;2)$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

Với $m = 1$, hàm số có dạng $y = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{x + 3}} = x - 2 + \frac{4}{{x + 3}}$.

a) Ta có $y' = 1 - \frac{4}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}$; $y' = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{4}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 5\end{array} \right.$.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số có 2 điểm cực trị.

b) Có $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {x - 2} \right)} \right] = 0$ nên $y = x - 2$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} \frac{{{x^2} + x - 2}}{{x + 3}} = + \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} \frac{{{x^2} + x - 2}}{{x + 3}} = - \infty$ nên $x = - 3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Thay $x = - 3$ vào $y = x - 2$ được $y = 1$.

Do đó giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên là $I\left( { - 3;1} \right)$.

d) Ta có: $y = \frac{{m{x^2} + (3{m^2} - 2)x - 2}}{{x + 3m}} = mx - 2 + \frac{{6m - 2}}{{x + 3m}}$

* Nếu $m = \frac{1}{3}$ đồ thị hàm số không tồn tại hai tiệm cận

* Nếu $m \ne \frac{1}{3}$, đồ thị hàm số có hai tiệm cận

${d_1}:x = - 3m \Leftrightarrow x + 3m = 0$ và ${d_2}:y = mx - 2 \Leftrightarrow mx - y - 2 = 0$.

$\Rightarrow \overrightarrow {{n_1}} (1;0),{\rm{ }}\overrightarrow {{n_2}} (m; - 1)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của ${d_1}$ và ${d_2}$.

Góc giữa ${d_1}$ và ${d_2}$ bằng $45^\circ \Leftrightarrow \cos 45^\circ = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}$$\Leftrightarrow \frac{{\left| m \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow m = \pm 1$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) Ta có: $y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = x + \frac{1}{{x + 1}}$

Tập xác định: $\mathbb{R}\backslash \{ - 1\}$.

Ta có $y' = 1 - \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{{{{(x + 1)}^2} - 1}}{{{{(x + 1)}^2}}}$; $y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x + 1 = 1}\\{x + 1 = - 1}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 0}\\{x = - 2}\end{array}} \right.} \right.$.

Bảng biến thiên

Trên các khoảng $( - \infty ; - 2)$ và $(0; + \infty )$ ta có $y' > 0$ nên hàm số đồng biến trên các khoảng này.

b) Dựa vào bảng biến thiên ta có

Hàm số đạt cực đại tại $x = - 2$ và , hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$ và ${y_{CT}} = 1$.

c) Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{x + 1}} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f(x) - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{x + 1}} = 0$.

Đồ thị hàm số đã cho có một đường tiệm cận xiên $y = x$.

d) Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là $I( - 1; - 1)$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) $f'\left( x \right) = \frac{3}{2}{x^2} - \frac{3}{2},\forall x \in \mathbb{R}$.

b) $f'\left( x \right) = \frac{3}{2}{x^2} - \frac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 1\end{array} \right.$.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên thiên ta có:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( { - 1;1} \right)$ và đồng biến trên các khoảng$\left( { - \infty ; - 1} \right)$và $\left( {1; + \infty } \right)$.

c) Đồ thị hàm số đã cho có 2 điểm cực trị có tọa độ là $\left( { - 1;3} \right)$ và $\left( {1;1} \right)$.

d) Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi $1 < m < 3$.

Do $m \in \mathbb{Z}$ nên $m = 2$. Vậy có 1 giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trỉnh $f\left( x \right) = m$ có $3$ nghiệm phân biệt.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) Ta có: $f(x) = \frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 2}} = x + 1 + \frac{1}{{x + 2}}$.

Tâp xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \{ - 2\}$.

Ta có: $f'\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{{(x + 2)}^2}}}$ ;

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - 1 \Rightarrow y = 1}\\{x = - 3 \Rightarrow y = - 3}\end{array}} \right.$.

Khi đó, ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { - 3\,;\, - 2} \right)$ và $\left( { - 2\,;\, - 1} \right)$.

b) Dựa vào bảng biến thiên

Ta có:

c) Ta có: $f\left( x \right) = x + 1 + \frac{1}{{x + 2}}$

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - (x + 1)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{1}{{x + 2}}} \right) = 0$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - (x + 1)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{1}{{x + 2}}} \right) = 0$

Suy ra $y = x + 1$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

d) Đường thẳng $(d):x - 3y - 6 = 0$ có hệ số góc ${k_1} = \frac{1}{3}$

$\Rightarrow$Tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng $(d)$ có hệ số góc ${k_2} = - 3$

Xét phương trình $f'\left( x \right) = - 3$

$\Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{{(x + 2)}^2}}} = - 3$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x \ne - 2}\\{{x^2} + 4x + 3 = - 3{x^2} - 12x - 12}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x \ne - 2}\\{4{x^2} + 16x + 15 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - \frac{5}{2} \Rightarrow y = - \frac{7}{2}}\\{x = - \frac{3}{2} \Rightarrow y = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.} \right.$

Tại $A\left( { - \frac{5}{2}, - \frac{7}{2}} \right)$ có tiếp tuyến $\left( {{T_1}} \right):y = - 3\left( {x + \frac{5}{2}} \right) - \frac{7}{2} \Leftrightarrow y = - 3x - 11$

Tại $B\left( { - \frac{3}{2},\frac{3}{2}} \right)$ có tiếp tuyến $\left( {{T_2}} \right):y = - 3\left( {x + \frac{3}{2}} \right) + \frac{3}{2} \Leftrightarrow y = - 3x - 3$.

Vậy tiếp tuyến với $(C)$ vuông góc với đường thẳng $x - 3y - 6 = 0$ đi qua điểm $B\left( { - \frac{3}{2},\frac{3}{2}} \right)$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

Từ đồ thị hàm số, ta suy ra

+) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = 1$, tiệm cận ngang là đường thẳng$y = - 1$.

+) Đồ thị hàm số đi qua các điểm $A\left( {2;0} \right)$, $B\left( {0; - 2} \right)$.

Từ biểu thức hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{x + c}}$ (vì đồ thị hàm số là đồ thị hàm nhất biến nên $ac - b \ne 0$), ta suy ra

+) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = - c$, tiệm cận ngang là đường thẳng $y = a$.

+) Đồ thị hàm số đi qua $A\left( { - \frac{b}{a};0} \right)$, $B\left( {0;\frac{b}{c}} \right)$.

Đối chiếu lại, ta suy ra $c = - 1$, $a = - 1$, $b = 2$.

Vậy $T = a + 2b + 3c = \left( { - 1} \right) + 2.2 + 3\left( { - 1} \right) = 0$.

Trả lời : 0.

Đồ thị hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{x + c}}$có đường tiệm cận ngang $y = a$, đường tiệm cận đứng $x = - c$ và cắt $Oy$ tại điểm $\left( {0;\frac{b}{c}} \right)$.

Từ đồ thị hàm số ta có đường tiệm cận ngang $y = - 1$, đường tiệm cận đứng $x = 1$ và cắt $Oy$ tại điểm $\left( {0; - 2} \right)$.

Từ đó suy ra: $\left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\ - c = 1\\\frac{b}{c} = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\c = - 1\\b = - 2c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\c = - 1\\b = 2\end{array} \right.$. Vậy $a + b + c = - 1 - 1 + 2 = 0$.

Trả lời : 0.

Ta có $y = ax + b$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Từ đồ thị ta suy ra được $y = x + 1$ là tiệm cận xiên nên $a = 1,b = 1$

$x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nên $c = - 1$

Vậy $a + b + c = 1$.

Trả lời: 1.

Từ đồ thị hàm số đã cho ta có

Đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng $x = {x_0} < 0$.

Suy ra $- d < 0 \Rightarrow d > 0$.

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm. Nên $\frac{c}{d} < 0 \Rightarrow c < 0$.

Dựa vào hình dạng đồ thị dễ thấy hàm số đã cho có 2 cực trị và $a < 0$.

Đồ thị hàm số có đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị có dạng $y = \frac{{2ax + b}}{d}$.

Mà đường thắng cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên $\frac{b}{d} < 0 \Rightarrow b < 0$.

Vậy có 1 số dương trong các số $a;b;c;d$.

Trả lời: 1.