Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 12 cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy

$\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 5;\,3} \right)} y = - 4$ khi $x = 0$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} y = 1$ và $\forall x \in \left[ { - 5;\,3} \right)$, $f\left( x \right) < 1$ nên hàm số không có GTLN. Chọn D.

Ta có: $y' = 3{x^2} - 6x - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\, \in \left( { - 2;\,2} \right)\\x = 3\,\,\,\, \notin \left( { - 2;\,2} \right)\end{array} \right.$

Mà $y\left( { - 2} \right) = 0;\,y\left( 2 \right) = - 20;\,y\left( { - 1} \right) = 7$.

Suy ra $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;\,2} \right]} y = 7$; $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;\,2} \right]} y = - 20$. Chọn D.

$y' = \left( {2x - 2} \right){e^{{x^2} - 2x}}$, $y' = 0 \Leftrightarrow 2x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1$.

$y\left( 1 \right) = \frac{1}{e},y\left( 0 \right) = 1,y\left( 2 \right) = 1 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = \frac{1}{e}$. Chọn D.

Ta có : $y' = 1 - \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}}$ trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.

$$y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \in \left( {0; + \infty } \right)\\x = - 1 \notin \left( {0; + \infty } \right)\end{array} \right.$$

Bảng biến thiên:

Trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$, không có $M$; $m = - 3$. Chọn A.

Dựa vào đồ thị của hàm số $y = f'(x)$ ta có BBT như sau:

Dựa vào BBT suy ra hàm số $y = f(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng $\left[ {0;2} \right]$ tại $x = 1$. Chọn C.

Dựa vào đồ thị của hàm số $y = f'(x)$ ta có BBT như sau:

Dựa vào BBT suy ra hàm số $y = f(x)$ đạt giá trị lớn nhất trên khoảng $\left[ {1;3} \right]$ tại ${x_0} = 2$.

Nên $x_0^2 - 2{x_0} + 2018 = 2018$. Chọn A.

Ta có $v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 8t - 2{t^2}$

$v'\left( t \right) = 8 - 4t$; $v'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 2$.

Bảng biến thiên

Vậy chất điểm đạt tốc độ lớn nhất tại thời điểm $t = 2$ (giây). Chọn A.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Ta có $y' = 3{x^2} - 6x$; $y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

a) Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$ nên đồng biến trên khoảng $\left( {3; + \infty } \right)$.

b) Hàm số đạt cực tiểu tại .

c) Có $f\left( 1 \right) = - 1;f\left( 2 \right) = - 3;f\left( 3 \right) = 1$. Hàm số đạt giá trị lớn nhất trên đoạn $\left[ {1;3} \right]$ tại $x = 3$.

d) Có $y'' = 6x - 6;y'' = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = - 1$.

Do đó đồ thị hàm số đối xứng qua điểm $I\left( {1; - 1} \right)$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

Tập xác định $D = \mathbb{R}$.

Ta có $y' = 3{x^2} - 6x - 9$; $y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 3\end{array} \right.$.

Bảng biến thiên

a) Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( {3; + \infty } \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( { - 1;3} \right)$.

b) Hàm số đạt cực đại tại $x = - 1$.

c) Trên $\left( { - 1; + \infty } \right)$ hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là −26 tại $x = 3$.

d) Điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số trên lần lượt là $A\left( { - 1;6} \right)$ và $B\left( {3; - 26} \right)$.

Suy ra $AB = \sqrt {{{\left( {3 + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 26 - 6} \right)}^2}} = 4\sqrt {65}$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

Dựa vào đồ thị hàm số $y = f'\left( x \right)$ ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

+) Hàm số đồng biến trên $\left( { - 2; - 1} \right)$ và $\left( {2;6} \right)$ suy ra $f\left( { - 1} \right) > f\left( { - 2} \right)$ và $f\left( 6 \right) > f\left( 2 \right)$ (1).

+) Hàm số nghịch biến trên $\left( { - 1;2} \right)$suy ra $f\left( { - 1} \right) > f\left( 2 \right)$ (2).

Từ (1), (2) suy ra $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;6} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( { - 2} \right),f\left( { - 1} \right),f\left( 2 \right),f\left( 6 \right)} \right\} = \max \left\{ {f\left( { - 1} \right),f\left( 6 \right)} \right\}$.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) $c'\left( t \right) = \frac{{1 - {t^2}}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}}$.

b) Ta có $c'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 1 - {t^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 \in \left( {0; + \infty } \right)\\t = - 1 \notin \left( {0; + \infty } \right)\end{array} \right.$.

c) Bảng biến thiên

Hàm số $c\left( t \right)$đồng biến trên khoảng (0; 1), tức là nồng độ thuốc trong máu tăng trong 1 giờ đầu tiên sau khi tiêm.

d) Ta có $\mathop {\max }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} c\left( t \right) = \frac{1}{2} = c\left( 1 \right)$, tức là nồng độ thuốc trong máu tăng trong 1 giờ đầu tiên sau khi tiêm.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) Dựa vào bảng biến thiên, ta có hàm số đồng biến trên các khoảng và $\left( {1; + \infty } \right)$.

b) Dựa vào bảng biến thiên, ta có hàm số đã cho đạt cực đại tại $x = 0$ và đạt cực tiểu tại $x = 1$.

c) Ta có $f\left( x \right) > - 2$ và không tồn tại giá trị của $x$ để $f\left( x \right) = - 2$ nên hàm số đã cho không có giá trị nhỏ nhất.

d) Ta có

Vì $- 2 < - \frac{3}{2} < - 1$ nên đường thẳng $y = - \frac{3}{2}$ cắt đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại 1 điểm.

Do đó phương trình $f\left( x \right) = - \frac{3}{2}$ có duy nhất 1 nghiệm.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$.

Ta có $f'\left( x \right) = \frac{{{m^2} - m + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in D$.

Khi đó $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow - {m^2} + m = - 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = 2\end{array} \right.$.

Vậy có 2 giá trị m để giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right) = \frac{{x - {m^2} + m}}{{x + 1}}$ trên đoạn $\left[ {0;1} \right]$ bằng $- 2$.

Trả lời: 2.

Với $0 \le t \le 12$ ta có: $N'\left( t \right) = - 3{t^2} + 24t$; $N'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 8\end{array} \right.$.

Ta có $N\left( 0 \right) = 0;N\left( 8 \right) = 256;N\left( {12} \right) = 0$.

Do đó, số người tối đa bị nhiễm bệnh ở địa phương là 256 người trong 12 tuần đầu.

Trả lời: 256.

Thể tích hộp sữa là 1 lít = 1 dm$^{3}$ = 1000 cm$^{3}$. Khi đó chiều cao của hộp sữa là $\frac{{1000}}{{{x^2}}}$ (cm).

Đặt diện tích toàn phần của hộp sữa là $y = 2{x^2} + 4x.\frac{{1000}}{{{x^2}}} = \frac{{2{x^3} + 4000}}{x}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Xét $y' = \frac{{4{x^3} - 4000}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 10$ (cm).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $x = 10$cm thì diện tích toàn phần của hộp sữa sẽ nhỏ nhất là 600 cm$^{2}$.

Trả lời: 10.