Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 11 cấu trúc mới có đáp án - Bài 7: Cấp số nhân

Xét dãy số $1\,;\, - 3\,;\, - 9\,;\, - 27\,;\,54$ có $\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = - 3 \ne \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} = 3$.

Do đó dãy số $1\,;\, - 3\,;\, - 9\,;\, - 27\,;\,54$không phải là cấp số nhân. Chọn A.

Vì dãy số $3; - 12;48;...$ là cấp số nhân nên $q = - 12:3 = - 4$.

Do đó ${u_n} = 3.{\left( { - 4} \right)^{n - 1}}$. Chọn C.

Vì $\left( {{u_n}} \right)$là cấp số nhân nên ${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = 3.{\left( { - 2} \right)^{n - 1}} = 192$$\Leftrightarrow {\left( { - 2} \right)^{n - 1}} = 64 = {\left( { - 2} \right)^6}$

$\Leftrightarrow n - 1 = 6 \Leftrightarrow n = 7$

Vậy số 192 là số hạng thứ 7 của cấp số nhân. Chọn C.

Gọi q là công bội của cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$

Ta có

$\left\{ \begin{array}{l}{u_2} + {u_7} = 198\\{u_3} + {u_8} = 396\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.q + {u_1}.{q^6} = 198\\{u_1}.{q^2} + {u_1}.{q^7} = 396\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.q\left( {1 + {q^5}} \right) = 198\\{u_1}.{q^2}\left( {1 + {q^5}} \right) = 396\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.q\left( {1 + {q^5}} \right) = 198\\198.q = 396\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.q\left( {1 + {q^5}} \right) = 198\\q = 2\end{array} \right.$. Chọn A.

a) Ta có ${u_3} = {u_1}.{q^2}$$\Rightarrow 3{q^2} = 12 \Rightarrow q = - 2$.

b) Có ${u_{25}} = {u_1}.{q^{24}} = 3.{\left( { - 2} \right)^{24}} = {3.2^{24}}$.

c) Tổng ${S_{101}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{101}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{3\left[ {1 - {{\left( { - 2} \right)}^{101}}} \right]}}{{1 - \left( { - 2} \right)}} = 1 + {2^{101}}$.

d) Có $\sqrt {{u_{54}}.{u_{56}}} = \sqrt {\frac{{{u_{55}}}}{q}.{u_{55}}.q} = \sqrt {{{\left( {{u_{55}}} \right)}^2}} = \left| {{u_{55}}} \right| = {u_{55}}$ vì ${u_{55}} = {u_1}.{q^{54}} > 0$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) Gọi số sách đọc được ở ngày thứ n là u$_{n}$.

Ta có u$_{1}$ = 1; u$_{2}$ = 2u$_{1}$ = 2; u$_{3}$ = 2u$_{2}$ = 4; u$_{4}$ = 2u$_{3}$ = 8; u$_{5}$ = 2u$_{4}$ = 16.

Vậy ngày thứ 5 đọc được 16 trang sách.

b) Ngày thứ nhất đọc được 1 trang sách $\Rightarrow {u_1} = 1$.

Từ ngày thứ hai mỗi ngày được số trang gấp đôi số trang đã đọc của ngày liền trước đó.

Suy ra ${u_n} = 2{u_{n - 1}}\left( {n > 1} \right)$.

Do đó số trang sách đọc được lập thành cấp số nhân với công bội là 2.

Số hạng tổng quát là ${u_n} = {u_1}{.2^{n - 1}} = {2^{n - 1}}$.

c) Số trang sách đọc được ở ngày thứ 6 là ${u_6} = {u_1}{.2^5} = 32$.

Số sách đọc được ở 5 ngày trước đó là ${S_5} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {2^5}} \right)}}{{1 - 2}} = 31$.

d) Số trang sách đọc được trong 1 tuần là ${S_7} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {2^7}} \right)}}{{1 - 2}} = 127$ trang.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{u_4} - {u_2} = 54\\{u_5} - {u_3} = 108\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^3} - {u_1}q = 54\\{u_1}{q^4} - {u_1}{q^2} = 108\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}q\left( {{q^2} - 1} \right) = 54\\{u_1}{q^2}\left( {{q^2} - 1} \right) = 108\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{{54}}{{q\left( {{q^2} - 1} \right)}}\\\frac{1}{q} = \frac{{54}}{{108}}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{{54}}{{2\left( {{2^2} - 1} \right)}}\\q = 2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 9\\q = 2\end{array} \right.$.

a) Số hạng đầu của cấp số nhân bằng 9.

b) Công bội của cấp số nhân q = 2.

c) Ta có ${S_n} = 4599$$\Leftrightarrow \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}} = 4599$$\Leftrightarrow \frac{{9\left( {1 - {2^n}} \right)}}{{1 - 2}} = 4599$$\Leftrightarrow - 9\left( {1 - {2^n}} \right) = 4599$

$\Leftrightarrow 1 - {2^n} = - 511$$\Leftrightarrow {2^n} = 512$$\Leftrightarrow n = 9$.

Vậy tổng của 9 số hạng đầu tiên bằng 4599.

d) Ta có ${u_k} = 576$$\Leftrightarrow {u_1}.{q^{k - 1}} = 576$$\Leftrightarrow {9.2^{k - 1}} = 576$$\Leftrightarrow {2^{k - 1}} = 64$$\Leftrightarrow k - 1 = 6$$\Leftrightarrow k = 7$.

Vậy số 576 là số hạng thứ 7 của cấp số nhân.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

Ta có $20{u_1} - 10{u_2} + {u_3} = 2{q^2} - 20q + 40 = 2\left( {{q^2} - 10q + 25} \right) - 10 = 2{\left( {q - 5} \right)^2} - 10 \ge - 10$.

Vậy ${P_{\min }} = - 10 \Leftrightarrow q = 5$.

Khi đó ${u_5} = {u_1}.{q^4} = {2.5^4} = 1250$.

Trả lời: 1250.

Ta có 2 giờ = 120 phút = 6.20 phút.

Do đó, sau 2 giờ vi khuẩn phân đôi 6 lần.

Gọi u$_{n}$ là số lượng vi khuẩn có trong ông nghiệm sau lần phân đôi thứ n – 1.

Khi đó dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số nhân với ${u_1} = 20;q = 2$.

Ta có ${u_7} = {u_1}.{q^6} = {20.2^6} = 1280$.

Vậy sau 2 giờ, trong ống nghiệm có 1280 vi khuẩn.

Trả lời: 1280.

Số tiền lương anh Hoàng nhận được năm thứ hai là ${u_2} = 144 + 144.5\% = 144.\left( {1 + 5\% } \right)$.

Số tiền lương anh Hoàng nhận được năm thứ ba là ${u_3} = 144{\left( {1 + 5\% } \right)^2}$.

Suy ra tiền lương anh Hoàng nhận được lập thành một cấp số nhân với ${u_1} = 144;q = \left( {1 + 5\% } \right)$.

Do đó tổng số tiền lương anh Hoàng nhận được trong 15 năm đầu đi làm là ${S_{15}} = 144.\frac{{1 - {{\left( {1 + 5\% } \right)}^{15}}}}{{1 - \left( {1 + 5\% } \right)}} \approx 3107$ triệu đồng.

Trả lời: 3107.