Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 11 cấu trúc mới có đáp án - Bài 2: Công thức lượng giác

$$T = \sin \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)$$

$$= 2\cos \frac{{\left( {\frac{\pi }{3} + x} \right) + \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)}}{2}\sin \frac{{\left( {\frac{\pi }{3} + x} \right) - \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)}}{2}$$

$= 2\cos \frac{\pi }{3}\sin x = \sin x.$ Chọn B.

$A = \frac{{\cos x + \cos 2x + \cos 3x}}{{\sin x + \sin 2x + \sin 3x}}$

$$= \frac{{\left( {\cos x + \cos 3x} \right) + \cos 2x}}{{\left( {\sin x + \sin 3x} \right) + \sin 2x}}$$

$$= \frac{{2\cos 2x\cos x + \cos 2x}}{{2\sin 2x\cos x + \sin 2x}}$$

$$= \frac{{\cos 2x\left( {2\cos x + 1} \right)}}{{\sin 2x\left( {2\cos x + 1} \right)}}$$

$= \cot 2x$. Chọn D.

$\frac{{\cos 4x + \cos 2x + 1}}{{\sin 4x + \sin 2x}} = \frac{{\left( {\cos 4x + 1} \right) + \cos 2x}}{{\sin 4x + \sin 2x}}$

$= \frac{{2{{\cos }^2}2x + \cos 2x}}{{2\sin 2x\cos 2x + \sin 2x}}$$= \frac{{\cos 2x\left( {2\cos 2x + 1} \right)}}{{\sin 2x\left( {2\cos 2x + 1} \right)}} = \cot 2x$.

Vậy $m = 1$. Chọn A.

Có ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$$\Leftrightarrow \frac{1}{9} + {\cos ^2}\alpha = 1$$\Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{8}{9}$$\Leftrightarrow \cos \alpha = \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

Mà $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi$ nên $\cos \alpha < 0$. Suy ra $\cos \alpha = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

$\cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \alpha \cos \frac{\pi }{6} + \sin \alpha \sin \frac{\pi }{6} = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{3}.\frac{1}{2} = \frac{{1 - 2\sqrt 6 }}{6}$.

Do đó $a = 2;b = 6$. Suy ra $a + b = 8$. Chọn D.

a) Biên độ của dao động thứ nhất bằng 3 cm.

b) Pha ban đầu của dao động thứ hai bằng $\frac{\pi }{3}$.

c) $\cos a + \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}.\cos \frac{{a - b}}{2}$.

d) $x\left( t \right) = {x_1}\left( t \right) + {x_2}\left( t \right)$$= 3\cos \left( {\frac{\pi }{4}t + \frac{{5\pi }}{6}} \right) + 3\cos \left( {\frac{\pi }{4}t + \frac{\pi }{3}} \right)$

$= 3.2\cos \left( {\frac{{\frac{\pi }{4}t + \frac{{5\pi }}{6} + \frac{\pi }{4}t + \frac{\pi }{3}}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{\frac{\pi }{4}t + \frac{{5\pi }}{6} - \frac{\pi }{4}t - \frac{\pi }{3}}}{2}} \right)$

$= 3.2.\frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos \left( {\frac{\pi }{4}t + \frac{{7\pi }}{{12}}} \right)$$= 3\sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4}t + \frac{{7\pi }}{{12}}} \right)$.

Suy ra biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp lần lượt là $3\sqrt 2$ và $\frac{{7\pi }}{{12}}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) $\sin \alpha = \frac{2}{3}$ với $0 < \alpha < \frac{\pi }{2}$ suy ra $\cos \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{3}$ $\Rightarrow \sin 2\alpha = 2\sin \alpha .\cos \alpha = 2.\frac{2}{3}.\frac{{\sqrt 5 }}{3} = \frac{{4\sqrt 5 }}{9}$.

b) $\cos \left( {\alpha + \frac{{3\pi }}{2}} \right) = \cos \left( {\alpha + 2\pi - \frac{\pi }{2}} \right) = \cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{2}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \sin \alpha = \frac{2}{3}$.

c) $\sqrt 2 \cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \alpha - \sin \alpha = \frac{{\sqrt 5 - 2}}{3}$.

d) Có $\sin \alpha = \frac{2}{3};\cos \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{3}$ $\Rightarrow \tan \alpha = \frac{2}{{\sqrt 5 }},\cot \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{2}$.

Do đó $D = \frac{{\cot \alpha + \tan \alpha }}{{\cot \alpha - \tan \alpha }} = \frac{{\frac{{\sqrt 5 }}{2} + \frac{2}{{\sqrt 5 }}}}{{\frac{{\sqrt 5 }}{2} - \frac{2}{{\sqrt 5 }}}} = 9$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) ${\sin ^2}\alpha = \frac{{1 - \cos 2\alpha }}{2}$.

b) $\cos 2\alpha = - \frac{1}{9}$$\Leftrightarrow 2{\cos ^2}\alpha - 1 = - \frac{1}{9}$$\Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{4}{9}$$\Leftrightarrow \cos \alpha = \frac{2}{3}$ vì $\alpha \in \left( { - \frac{\pi }{2};0} \right)$.

c) Ta có ${\sin ^2}2\alpha = 1 - {\cos ^2}2\alpha = 1 - {\left( { - \frac{1}{9}} \right)^2} = \frac{{80}}{{81}}$$\Rightarrow \sin 2\alpha = - \frac{{\sqrt {80} }}{9}$.

Có $\sin 4\alpha = 2\sin 2\alpha \cos 2\alpha = 2.\frac{{ - \sqrt {80} }}{9}.\frac{{ - 1}}{9} = \frac{{2\sqrt {80} }}{{81}}$.

d) Ta có ${\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - 1 = \frac{1}{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}}} - 1 = \frac{5}{4}$.

Vì $\alpha \in \left( { - \frac{\pi }{2};0} \right)$ nên $\tan \alpha < 0 \Rightarrow \tan \alpha = - \frac{{\sqrt 5 }}{2}$.

Ta có $\tan \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\tan \alpha + \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 - \tan \alpha .\tan \frac{\pi }{4}}} = \frac{{\frac{{ - \sqrt 5 }}{2} + 1}}{{1 - \left( { - \frac{{\sqrt 5 }}{2}} \right).1}} = - 9 + 4\sqrt 5$.

Suy ra a = −9 ; b = 4; c = 5. Do đó a + b + c = 0.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

Ta có $\alpha = \widehat {AOH} - \widehat {BOH}$.

Trong tam giác vuông $AOH$ ta có $\tan \widehat {AOH} = \frac{{AH}}{{OH}} = \frac{{14}}{{15}}$.

Trong tam giác vuông $BOH$ ta có $\tan \widehat {BOH} = \frac{{BH}}{{OH}} = \frac{{12}}{{15}} = \frac{4}{5}$.

Vậy $\tan \alpha = \tan \left( {\widehat {AOH} - \widehat {BOH}} \right)$ $= \frac{{\tan \widehat {AOH} - \tan \widehat {BOH}}}{{1 + \tan \widehat {AOH}.\tan \widehat {BOH}}} = \frac{{\frac{{14}}{{15}} - \frac{4}{5}}}{{1 + \frac{{14}}{{15}}.\frac{4}{5}}} = \frac{{10}}{{131}}$.

Suy ra a = 10; b = 131. Do đó $a + b = 141$.

Trả lời: 141.

Vì $\cos A = \frac{4}{5} \Rightarrow \sin A = \frac{3}{5}$; $\cos B = \frac{5}{{13}} \Rightarrow \sin B = \frac{{12}}{{13}}$ vì $0 < A,B < \pi$.

Có $\widehat A + \widehat B + \widehat C = \pi$$\Rightarrow \widehat C = \pi - \left( {\widehat A + \widehat B} \right)$.

Do đó $A = 130\cos C - 1$$= 130\cos \left[ {\pi - \left( {A + B} \right)} \right] - 1$$= - 130\cos \left( {A + B} \right) - 1$

$= - 130\left[ {\cos A.\cos B - \sin A.\sin B} \right] - 1$$= - 130\left[ {\frac{4}{5}.\frac{5}{{13}} - \frac{3}{5}.\frac{{12}}{{13}}} \right] - 1 = 31$.

Trả lời: 31.

$A = \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) + \cos \left( {\frac{\pi }{6} + x} \right)\cos \left( {\frac{{3\pi }}{4} + x} \right)$

$= \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\frac{\pi }{{12}} - 2x} \right) + \cos \frac{{7\pi }}{{12}}} \right] + \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( { - \frac{{7\pi }}{{12}}} \right) + \cos \left( {\frac{{11\pi }}{{12}} + 2x} \right)} \right]$

$= \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\frac{\pi }{{12}} - 2x} \right) + \cos \left( {\frac{{11\pi }}{{12}} + 2x} \right) + \cos \frac{{7\pi }}{{12}} + \cos \left( { - \frac{{7\pi }}{{12}}} \right)} \right]$

$= \frac{1}{2}\left( {0 + 2\cos \frac{{7\pi }}{{12}}} \right)$ (do $\frac{{11\pi }}{{12}} + 2x + \frac{\pi }{{12}} - 2x = \pi$)

$= \cos \frac{{7\pi }}{{12}}$.

Vậy $\frac{a}{b} = \frac{7}{{12}} \approx 0{,}58$.

Trả lời: 0,58.