Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 11 cấu trúc mới (có đáp án) - Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Vì${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$ mà $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ nên ${\cos ^2}\alpha = 1 - \frac{{16}}{{25}} = \frac{9}{{25}}$.

Mà $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi$ nên $\cos \alpha < 0$. Do đó $\cos \alpha = - \frac{3}{5}$. Chọn A.

Do $\frac{{5\pi }}{6} \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)$. Do đó M thuộc góc phần tư thứ II. Chọn A.

Có ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = 1$$\Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha = \frac{3}{4}$.

Vì $- \frac{\pi }{2} < \alpha < 0$ nên $\sin \alpha < 0$. Do đó $\sin \alpha = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Do đó $P = \sin \alpha + \frac{1}{{\cos \alpha }}$$= - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{{\frac{1}{2}}} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + 2 = \frac{{4 - \sqrt 3 }}{2}$. Chọn B.

a) Vì $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi$ nên $\sin \alpha > 0$.

b) $\cos \left( {\pi - \alpha } \right) = - \cos \alpha = \frac{{\sqrt {15} }}{4} > 0$.

c) ${\left( {\sin \alpha + 2\cos \alpha } \right)^2}$$= {\sin ^2}\alpha + 4\sin \alpha .\cos \alpha + 4{\cos ^2}\alpha$.

Có ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$$\Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha + \frac{{15}}{{16}} = 1$$\Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha = \frac{1}{{16}} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{1}{4}$ vì $\sin \alpha > 0$.

Suy ra ${\left( {\sin \alpha + 2\cos \alpha } \right)^2} = \frac{1}{{16}} + 4.\frac{1}{4}.\left( {\frac{{ - \sqrt {15} }}{4}} \right) + 4.\frac{{15}}{{16}} = \frac{{61 - 4\sqrt {15} }}{{16}}$.

Suy ra $a = 61;b = - 4$. Do đó $a + b = 57$.

d) $B = 2\cos \alpha - 3\cos \left( {\pi - \alpha } \right) + 5\sin \left( {\frac{{7\pi }}{2} - \alpha } \right) + \cot \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right)$

$= 2\cos \alpha + 3\cos \alpha - 5\cos \alpha + \tan \alpha$$= \tan \alpha$$= \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{1}{4}:\left( { - \frac{{\sqrt {15} }}{4}} \right) = - \frac{{\sqrt {15} }}{{15}}$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) $\frac{3π}{4}rad=\frac{3π}{4}.{(\frac{180}{π})}^{∘}={135}^{∘}$

b) Điểm biểu diễn góc lượng giác α là điểm M trên đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ II sao cho góc $\widehat {AOM} = 135^\circ$.

c) Ta có $- \frac{{5\pi }}{4} = \frac{{3\pi }}{4} - 2\pi$. Do đó $- \frac{{5\pi }}{4}$ cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác với góc α.

d) Ta có 855° = 135° + 2.360°. Do đó 855° có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác với góc α.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) Số đo của góc lượng giác có tia đầu là OA, tia cuối là OM bằng $\frac{\pi }{3} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

b) Ta có $\frac{{16\pi }}{3} = \frac{{4\pi }}{3} + 2.2\pi$. Suy ra góc lượng giác có số đo $\frac{{16\pi }}{3}$ có cùng tia đầu và tia cuối với góc lượng giác có số đo là $\frac{{4\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

c) Ta có $\frac{\pi }{3} + k\frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{4},k \in \mathbb{Z}$ nên khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác ta được 4 điểm.

d) Tập hợp các điểm biểu diễn của α là tam giác đều có cạnh bằng $MN = 2\sin \frac{\pi }{3} = \sqrt 3$.

Diện tích của đa giác biểu diễn là $S = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.

$A = \cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{2}} \right) + \sin \left( {\alpha - \pi } \right) + \tan \left( {\pi + \alpha } \right)$

$= \sin \alpha - \sin \alpha + \tan \alpha$ $= \tan \alpha = \frac{1}{{\cot \alpha }} = - 0{,}5$.

Trả lời: −0,5.

Trong một giây bánh xe quay được $\frac{{12}}{5}$ vòng.

Suy ra trong một giây bánh xe quay được góc $\alpha = \frac{{12}}{5}.2\pi$ (rad) $=\frac{24π}{5}.{(\frac{180}{π})}^{^{\circ}}=864^{\circ}$

Do khi bánh xe quay thì tia OV chuyển động cùng chiều với kim đồng hồ nên trong một giây tia OV quét một góc lượng giác −864°.

Trả lời: −864.

1 hải lí có độ dài là: $\alpha .R = \frac{{1.\pi }}{{60.180}}.6371 \approx 1{,}85$ km.

Trả lời: 1,85.