Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 11 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Ta có phương trình $\sin x = m$ có nghiệm khi và chỉ khi $\left| m \right| \le 1$.

Do đó phương trình $\sin x = \frac{1}{2}$ có nghiệm. Chọn A.

$2\sin x = 1$$\Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$.

Vì $x \in \left[ { - \pi ;\pi } \right]$ nên

TH1: $- \pi \le \frac{\pi }{6} + k2\pi \le \pi$$\Leftrightarrow - \frac{7}{{12}} \le k \le \frac{5}{{12}}$$\Leftrightarrow k = 0$ vì $k \in \mathbb{Z}$.

TH2: $- \pi \le \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \le \pi$$\Leftrightarrow - \frac{{11}}{{12}} \le k \le \frac{1}{{12}}$$\Leftrightarrow k = 0$ vì $k \in \mathbb{Z}$.

Do đó phương trình có 2 nghiệm $x = \frac{\pi }{6};x = \frac{{5\pi }}{6}$ thuộc tập $\left[ { - \pi ;\pi } \right]$. Chọn B.

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}\cos 3x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{3}\\x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}.$

$\tan 3x = \tan x$$\Leftrightarrow 3x = x + k\pi$$\Leftrightarrow x = k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}$ .

Kết hợp với điều kiện, ta có nghiệm của phương trình là $x = k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}$. Chọn B.

$\sin x = \cos \left( {2x} \right)$$\Leftrightarrow \sin x = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right)$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} - 2x + k2\pi \\x = \pi - \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) + k2\pi \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$.

Nghiệm dương bé nhất là $\frac{\pi }{6}$ và nghiệm âm lớn nhất là $x = - \frac{\pi }{2}$.

Tổng là: $\frac{\pi }{6} - \frac{\pi }{2} = - \frac{\pi }{3}$. Chọn A.

$\sin \left( {3x - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - \frac{{3\pi }}{4} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\3x - \frac{{3\pi }}{4} = \pi - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \frac{{13\pi }}{{12}} + k2\pi \\3x = \frac{{17\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{13\pi }}{{36}} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = \frac{{17\pi }}{{36}} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$.

TH1: $x = \frac{{13\pi }}{{36}} + k\frac{{2\pi }}{3}$

Với $x > 0$ thì $k > \frac{{ - 13}}{{24}},k \in \mathbb{Z}$. Suy ra k$_{min}$ = 0. Do đó $x = \frac{{13\pi }}{{36}}$.

Với $x < 0$thì $k < \frac{{ - 13}}{{24}},k \in \mathbb{Z}$. Suy ra k$_{max}$ = −1. Do đó $x = \frac{{ - 11\pi }}{{36}}$.

TH2: $x = \frac{{17\pi }}{{36}} + k\frac{{2\pi }}{3}$

Với $x > 0$ thì $k > \frac{{ - 17}}{{24}},k \in \mathbb{Z}$. Suy ra k$_{min}$ = 0. Do đó $x = \frac{{17\pi }}{{36}}$.

Với $x < 0$ thì $k < \frac{{ - 17}}{{24}},k \in \mathbb{Z}$. Suy ra k$_{max}$ = −1. Do đó $x = - \frac{{7\pi }}{{36}}$.

So sánh bốn nghiệm ta được nghiệm âm lớn nhất là $x = - \frac{{7\pi }}{{36}}$ và nghiệm dương nhỏ nhất là $x = \frac{{13\pi }}{{36}}.$

Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất là: $- \frac{{7\pi }}{{36}} + \frac{{13\pi }}{{36}} = \frac{\pi }{6}$. Chọn C.

Điều kiện $\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

$\cot x = - 1$$\Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$ (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{{ - \pi }}{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$. Chọn C.

a) Thời điểm bắt đầu dao động thì t = 0. Khi đó $h = \left| {3\cos \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)} \right| = \frac{3}{2}$.

b) Có $x = \frac{3}{2}$ nên $3\cos \left( {2t - \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{3}{2}$$\Leftrightarrow \cos \left( {2t - \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2t - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2t - \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{\pi }{3} + k\pi \\t = k\pi \end{array} \right.$.

Vì $0 \le t \le 5$ nên $\left[ \begin{array}{l}0 \le \frac{\pi }{3} + k\pi \le 5\\0 \le k\pi \le 5\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - \frac{1}{3} \le k \le \frac{5}{\pi } - \frac{1}{3}\\0 \le k \le \frac{5}{\pi }\end{array} \right.$.

Vì $k \in \mathbb{Z}$ nên $k = 0;k = 1$.

Với $k = 0$ thì $t = 0$; $t = \frac{\pi }{3}$. Với $k = 1$ thì $t = \pi ;t = \frac{{4\pi }}{3}$.

Vậy có 4 thời điểm mà $x = \frac{3}{2}$.

c) Vật đi qua vị trí cân bằng khi $3\cos \left( {2t - \frac{\pi }{3}} \right) = 0$$\Leftrightarrow 2t - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + k\pi$$\Leftrightarrow t = \frac{{5\pi }}{{12}} + k\frac{\pi }{2}$.

Vì $0 \le t \le 10$ nên $0 \le \frac{{5\pi }}{{12}} + k\frac{\pi }{2} \le 10$$\Leftrightarrow - \frac{5}{6} \le k \le \frac{{20}}{\pi } - \frac{5}{6}$ mà $k \in \mathbb{Z}$ nên $k \in \left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\}$.

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 10 giây vật đi qua vị trí cân bằng 6 lần.

d) Vật xa vị trí cân bằng nhất khi $\cos \left( {2t - \frac{\pi }{3}} \right) = \pm 1$$\Leftrightarrow 2t - \frac{\pi }{3} = k\pi$$\Leftrightarrow t = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}$.

Thời điểm đầu tiên để vật cách xa vị trí cân bằng nhất ứng với k = 0. Khi đó ${t_0} = \frac{\pi }{6} \in \left( {0;1} \right)$.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) Ta có $2\cos x = \sqrt 3 \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

b) Vì $x \in \left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]$ nên $x \in \left\{ {\frac{\pi }{6};\frac{{11\pi }}{6};\frac{{13\pi }}{6}} \right\}$. Suy ra phương trình có 3 nghiệm.

c) Tổng các nghiệm của phương trình trong đoạn $\left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]$ là

$\frac{\pi }{6} + \frac{{11\pi }}{6} + \frac{{13\pi }}{6} = \frac{{25\pi }}{6}$.

d) Trong đoạn $\left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]$ phương trình có nghiệm lớn nhất bằng $\frac{{13\pi }}{6}$.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) $f\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \tan \left( {3.\frac{\pi }{3}} \right) = \tan \pi = 0$.

b) Điều kiện: $\cos 3x \ne 0$$\Leftrightarrow 3x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi$$\Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{3},k \in \mathbb{Z}$.

Do tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{3}|k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

c) Có $f\left( { - x} \right) = \tan \left( { - 3x} \right) = - \tan 3x = - f\left( x \right)$. Do đó hàm số $f\left( x \right)$ là hàm số lẻ.

d) Ta có $\tan 3x = 1$$\Leftrightarrow 3x = \frac{\pi }{4} + k\pi$$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3},k \in \mathbb{Z}$.

Vì $x \in \left( {0;\pi } \right)$ nên $0 < \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3} < \pi$$\Leftrightarrow - \frac{1}{4} < k < \frac{{11}}{4}$ mà $k \in \mathbb{Z}$ nên $k \in \left\{ {0;1;2} \right\}$.

Khi đó ta có các nghiệm $x \in \left\{ {\frac{\pi }{{12}};\frac{{5\pi }}{{12}};\frac{{3\pi }}{4}} \right\}$.

Do đó tổng các nghiệm là $\frac{\pi }{{12}} + \frac{{5\pi }}{{12}} + \frac{{3\pi }}{4} = \frac{{5\pi }}{4}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

Điều kiện: $\cos \left( {2x - \frac{\pi }{{12}}} \right) \ne 0$$\Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{{12}} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi$$\Leftrightarrow x \ne \frac{{7\pi }}{{24}} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}$.

Có $\tan \left( {2x - \frac{\pi }{{12}}} \right) = 1$$\Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{{12}} = \frac{\pi }{4} + k\pi$$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}$ (thỏa mãn điều kiện).

Vì $x \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$ nên $- \frac{\pi }{2} < \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2} < \frac{\pi }{2}$$\Leftrightarrow - \frac{4}{3} < k < \frac{2}{3}$ mà $k \in \mathbb{Z}$ nên k = 0.

Với k = 0 thì $x = \frac{\pi }{6}$. Suy ra $m = - 6$.

Trả lời: −6.

Có $h = 12$$\Leftrightarrow 15 + 3\cos \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) = 12$$\Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) = - 1$$\Leftrightarrow \frac{\pi }{{12}}t = \pi + k2\pi$$\Leftrightarrow t = 12 + k24$.

Vì $0 \le t < 24$ nên k = 0.

Với k = 0 thì t = 12.

Vậy vào lúc 12 giờ thì chiều cao mực nước biển là 12 m.

Trả lời: 12.

Có $s = 4{,}3 \Leftrightarrow 8{,}6\sin \left( {8t + \frac{\pi }{2}} \right) = 4{,}3$$\Leftrightarrow \sin \left( {8t + \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{1}{2}$$\Leftrightarrow 8t + \frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{6} + k2\pi$$\Leftrightarrow t = - \frac{\pi }{{24}} + k\frac{\pi }{4}$.

Vì $t \in \left[ {0;2} \right]$ nên $0 \le - \frac{\pi }{{24}} + k\frac{\pi }{4} \le 2$$\Leftrightarrow \frac{1}{6} \le k \le \frac{8}{\pi } + \frac{1}{6}$.

Mà $k \in \mathbb{Z}$ nên k = 1; k = 2.

Vậy có 2 thời điểm.

Trả lời: 2.