Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Bài 4. Tích vô hướng của hai vectơ

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC}$.

Do đó $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = \widehat {BAD}$. Chọn C.

Ta có $\widehat C = 90^\circ - \widehat B = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Có $AC = AB.\tan 60^\circ = a\sqrt 3$; $BC = \frac{{AB}}{{\cos 60^\circ }} = 2a$.

$\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} = - \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = - \left| {\overrightarrow {CA} } \right|.\left| {\overrightarrow {CB} } \right|.\cos C = - a\sqrt 3 .2a.\cos 30^\circ = - 3{a^2}$. Chọn D.

a) $\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = a$.

b) Gọi N là trung điểm của DC.

Ta có $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right) + \left( {\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right)$$= 2\overrightarrow {OM} + 2\overrightarrow {ON} = \overrightarrow 0$.

c) Vì AB ^ AD nên $\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} = 0$.

d) $\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OM} = \left| {\overrightarrow {OA} } \right|.\left| {\overrightarrow {OM} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OM} } \right) = \frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {CA} } \right|.\frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {BC} } \right|.\cos 45^\circ$$= \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\frac{a}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^2}}}{4}$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)$$= 2a.3a.\cos 60^\circ = 3{a^2}$.

b) Có $\overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$.

c) Có $\overrightarrow {BJ} = \overrightarrow {AJ} - \overrightarrow {AB} = \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB}$.

d) Có $\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {BJ} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\left( {\frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)$$= \frac{7}{{24}}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \frac{7}{{24}}\overrightarrow {A{C^2}} - \frac{1}{2}\overrightarrow {A{B^2}} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}$

$= - \frac{5}{{24}}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \frac{7}{{24}}{\left| {\overrightarrow {AC} } \right|^2} - \frac{1}{2}{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|^2}$$= - \frac{5}{{24}}.2a.3a.\cos 60^\circ + \frac{7}{{24}}.9{a^2} - \frac{1}{2}.4{a^2} = 0$.

Suy ra $AI \bot BJ$.

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) Diện tích tam giác ABC đều cạnh a là $\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$.

b) $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = a$.

c) Ta có $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos 60^\circ = \frac{{{a^2}}}{2}$.

d) Ta có $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {PN} = \left( {\overrightarrow {AC} + \frac{2}{3}\overrightarrow {CB} } \right).\left( { - \frac{4}{{15}}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right)$$= \left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AC} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} } \right).\left( { - \frac{4}{{15}}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right)$

$= - \frac{4}{{45}}.\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + \frac{1}{9}\overrightarrow {A{C^2}} - \frac{8}{{45}}\overrightarrow {A{B^2}} + \frac{2}{9}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}NQ//BD,NQ = \frac{1}{2}BD\\PM//BD,PM = \frac{1}{2}BD\end{array} \right.$$\Rightarrow NQ//PM,NQ = PM$ Þ PNQM là hình bình hành.

Suy ra $\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PM} + \overrightarrow {PN}$.

Ta có $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{PQ}=(\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{PN})(-\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{PN})=-P{M}^{2}+P{N}^{2}$ $=-{(\frac{BD}{2})}^{2}+{(\frac{AC}{2})}^{2}=\frac{9}{4}=2{,}25$

Trả lời: 2,25.

$\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = \left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right)$$= 4.5.\cos 120^\circ = - 10$.

Trả lời: −10.

Vì $\overrightarrow F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}}$ nên

${\left( {\overrightarrow F } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow {{F_1}} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {{F_2}} } \right)^2} + 2\overrightarrow {{F_1}} .\overrightarrow {{F_2}}$$= {\left( {\overrightarrow {{F_1}} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {{F_2}} } \right)^2} + 2\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} } \right) = 700$.

Do đó $\left| {\overrightarrow F } \right| = 10\sqrt 7$(N).

Xét tam giác ODE ta có $\cos \widehat {DOE} = \frac{{O{D^2} + O{E^2} - D{E^2}}}{{2OD.OE}} = \frac{{5\sqrt 7 }}{{14}}$.

Suy ra $\cos \left( {\overrightarrow F ,\overrightarrow {OB} } \right) = \frac{{5\sqrt 7 }}{{14}}$.

Vậy công của lực $\overrightarrow F$ là $A = \overrightarrow F .\overrightarrow {OB} = \left| {\overrightarrow F } \right|.\left| {\overrightarrow {OB} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow F ,\overrightarrow {OB} } \right) = 2500$ J.

Trả lời: 2500.