Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Bài 5. Tích của một số với một vectơ

Ta có$\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IA} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {IB} = - 3\overrightarrow {IA}$.

Do đó $IB = 3.IA$;$\overrightarrow {IA}$ và $\overrightarrow {IB}$ ngược hướng. Chọn Hình 4. Chọn D.

Vì $I$ là trung điểm của $BC$ suy ra $\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 .$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {GB} = \overrightarrow {GI} + \overrightarrow {IB} \\\overrightarrow {GC} = \overrightarrow {GI} + \overrightarrow {IC} \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \underbrace {\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} }_{\overrightarrow 0 } + 2\,\overrightarrow {GI} = 2\,\overrightarrow {GI} .$ Chọn C.

Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = 2\overrightarrow {IM} .$

Mặt khác $I$ là trung điểm $AM$ nên $\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IM} = \overrightarrow 0 .$

Suy ra $\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + 2\overrightarrow {IA} = 2\overrightarrow {IM} + 2\overrightarrow {IA} = 2\left( {\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {IA} } \right) = \overrightarrow 0 .$ Chọn B.

Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$, ta có $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG}$.

Thay vào ta được : $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| = 5 \Leftrightarrow \left| {3\overrightarrow {MG} } \right| = 5 \Leftrightarrow MG = \frac{5}{3}$, hay tập hợp các điểm $M$là đường tròn có tâm là trọng tâm của tam giác $ABC$ và bán kính bằng $\frac{5}{3}$ . Chọn C.

a) Gọi N là trung điểm của AC.

Theo đề ta có BG = GB' mà G là trọng tâm tam giác ABC. Suy ra N là trung điểm của GB'.

Vì N là trung điểm của AC và GB' nên AGCB' là hình bình hành.

b) Ta có $\overrightarrow {CB'} = \overrightarrow {GA} = - \overrightarrow {AG} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} = - \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC}$.

c) Có $\overrightarrow {AB'} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB'} = \overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}$.

d) Có $\overrightarrow {MB'} = \overrightarrow {AB'} - \overrightarrow {AM} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} - \frac{5}{6}\overrightarrow {AB}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) Vì M là trung điểm AB nên $\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CA} = 2\overrightarrow {CM}$.

b) Ta có $- \frac{2}{3}\overrightarrow {CM} - \frac{4}{3}\overrightarrow {BN}$$= - \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CA} } \right) - \frac{4}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right)$$= - \frac{1}{3}\overrightarrow {CB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {CA} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BA} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BC}$

$= \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BC}$$= - \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}$$= \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BC} } \right) + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}$$= \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} } \right) + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}$

$= \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AB}$.

c) Ta có $\frac{4}{3}\overrightarrow {CM} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BN}$$= \frac{4}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right) + \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right)$$= \frac{2}{3}\overrightarrow {CA} + \frac{2}{3}\overrightarrow {CB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC}$

$= - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} - \frac{2}{3}\overrightarrow {BC}$$= - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {BC}$$= - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right)$$= - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} = - \overrightarrow {AC}$.

d) $\frac{1}{3}\overrightarrow {BN} - \frac{1}{3}\overrightarrow {CM}$$= \frac{1}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right) - \frac{1}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right)$$= \frac{1}{6}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CB} } \right)$$= \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {MN}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) Vì M là trung điểm BC nên ta có $\overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {BM}$.

b) Ta có $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM}$.

c) d) Ta có $\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

Ta có $\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} + \frac{3}{2}\overrightarrow {BC} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{2}\overrightarrow {AC}$.

Suy ra $x = - \frac{1}{2};y = \frac{3}{2}$. Do đó $\left| {xy} \right| = 0{,}75$.

Trả lời: 0,75.

Ta có $\overrightarrow {BI} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BD} } \right) = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}.\left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {BC} } \right)$$= - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)$$= - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}$

$= - \frac{5}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}.\frac{5}{2}\overrightarrow {AM}$$= - \frac{5}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{5}{6}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} } \right)$$= \frac{5}{6}\overrightarrow {BM}$.

Suy ra $6k = 6.\frac{5}{6} = 5$.

Trả lời: 5.

Ta có $\left| {\overrightarrow {CN} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CI} } \right| = \left| {2\overrightarrow {CI} + \overrightarrow {CI} } \right| = 3\left| {\overrightarrow {CI} } \right| = 3CI = 3.\sqrt {{2^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} \approx 6{,}18$.

Trả lời: 6,18.