Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Bài 2: Giải tam giác. Tính diện tích tam giác

Có $p = \frac{{10 + 12 + 18}}{2} = 20$.

Diện tích tam giác là $S = \sqrt {20.\left( {20 - 10} \right).\left( {20 - 12} \right).\left( {20 - 18} \right)} = 40\sqrt 2$. Chọn B.

Có $\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - \left( {75^\circ + 60^\circ } \right) = 45^\circ$.

Theo định lí sin ta có: $\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Rightarrow AC = \frac{{AB}}{{\sin C}}.\sin B = \frac{2}{{\sin 45^\circ }}.\sin 60^\circ = \sqrt 6$.

Do đó ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC.\sin A = \frac{1}{2}.2.\sqrt 6 .\sin 75^\circ \approx 2{,}37$ cm$^{2}$. Chọn A.

Ta có $S = \frac{1}{2}AB.BC.\sin B$.

Nếu tăng cạnh BC lên 3 lần và giảm cạnh AB đi 2 lần, đồng thời giữ nguyên góc B thì khi đó diện tích tam giác mới được tạo thành bằng $S' = \frac{1}{2}.\frac{{AB}}{2}.3BC.\sin B = \frac{3}{2}\left( {\frac{1}{2}AB.BC.\sin B} \right) = \frac{3}{2}S$. Chọn B.

Có $B{M^2} = \frac{{A{B^2} + B{C^2}}}{2} - \frac{{A{C^2}}}{4}$$\Rightarrow A{C^2} = 2\left( {A{B^2} + B{C^2}} \right) - 4B{M^2} = 2\left( {9 + 25} \right) - 4.13 = 16 \Rightarrow AC = 4$.

Có $p = \frac{{3 + 4 + 5}}{2} = 6$.

$S = \sqrt {6.\left( {6 - 3} \right).\left( {6 - 4} \right).\left( {6 - 5} \right)} = 6.r$$\Leftrightarrow r = \frac{6}{6} = 1$. Chọn C.

Xét DABC $\cos B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2.AB.BC}} = \frac{{{6^2} + {{12}^2} - {9^2}}}{{2.6.12}} = \frac{{11}}{{16}}$.

Xét DABM có $\cos B = \frac{{A{B^2} + B{M^2} - A{M^2}}}{{2.AB.BM}} = \frac{{11}}{{16}}$$\Leftrightarrow \frac{{36 + {8^2} - A{M^2}}}{{2.6.8}} = \frac{{11}}{{16}}$$\Leftrightarrow AM = \sqrt {34}$. Chọn C.

Xét tam giác $\Delta AHK$ có $\widehat A = 180^\circ - \left( {\widehat H + \widehat K} \right) = 180^\circ - \left( {45^\circ + 50^\circ } \right) = 85^\circ$.

Theo định lí sin, ta có $\frac{{KA}}{{\sin H}} = \frac{{HK}}{{\sin A}}$$\Rightarrow KA = \frac{{HK}}{{\sin A}}.\sin H = \frac{{380.\sin 45^\circ }}{{\sin 85^\circ }} \approx 270$. Chọn A.

Theo định lí côsin ta có $BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos BAC} = \sqrt {25 + 64 - 2.5.8.\cos 60^\circ } = 7$.

Có ${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \frac{1}{2}.5.8.\sin 60^\circ = 10\sqrt 3$.

Có $p = \frac{{5 + 8 + 7}}{2} = 10$.

Vì $S = p.r \Rightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{{10\sqrt 3 }}{{10}} = \sqrt 3$. Chọn C.

a) $S = \frac{1}{2}BA.BC.\sin B$.

b) $S = \frac{1}{2}BA.BC.\sin B$$= \frac{1}{2}.13.15.\sin 60^\circ = \frac{{195\sqrt 3 }}{4}$ (cm$^{2}$).

c) Ta có $A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB.BC.\cos B$$= {13^2} + {15^2} - 2.13.15.\cos 60^\circ = 199$ $\Rightarrow AC = \sqrt {199}$.

d) Ta có $S = pr \Rightarrow r = \frac{S}{p}$$= \frac{{195\sqrt 3 }}{4}:\frac{{13 + 15 + \sqrt {199} }}{2}$$= \frac{{195\sqrt 3 }}{{2\left( {28 + \sqrt {199} } \right)}}$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) Chu vi của tam giác ABC là 8 + 6 + 5 = 19.

b) Có $\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2.b.c}} = \frac{{{6^2} + {5^2} - {8^2}}}{{2.6.5}} = - \frac{1}{{20}}$.

c) Có $S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \sqrt {\frac{{19}}{2}\left( {\frac{{19}}{2} - 8} \right)\left( {\frac{{19}}{2} - 6} \right)\left( {\frac{{19}}{2} - 5} \right)} = \frac{{3\sqrt {399} }}{4} \approx 14{,}98$.

d) Có $R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{8.6.5}}{{4.\frac{{3\sqrt {399} }}{4}}} = \frac{{80}}{{\sqrt {399} }}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) Xét tam giác ABC có $\widehat {BAC} = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ ,\widehat {ABC} = 30^\circ$ nên $\widehat {ACB} = 180^\circ - 130^\circ - 30^\circ = 20^\circ$.

b) Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta được

$\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{\sin B}}$ $\Rightarrow \frac{{30}}{{\sin 20^\circ }} = \frac{{AC}}{{\sin 30^\circ }}$ $\Rightarrow AC = \frac{{30.\sin 30^\circ }}{{\sin 20^\circ }} \approx 43{,}9$ m.

c) Xét tam giác vuông CHA vuông tại H nên $CH = AC.\sin 50^\circ \approx 33{,}6$ m.

d) Chân thang cách mặt đất 1,8 m ta có CK = CH – HK = 33,6 – 1,8 = 31,8 m.

Khi đó khoảng cách tới chân tòa nhà xa nhất có thể là:

$KD = \sqrt {C{D^2} - C{K^2}} = \sqrt {{{40}^2} - 31,{8^2}} \approx 24{,}3$ m.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

Chu vi tam giác ABC là 3 + 5 + 6 = 14.

Diện tích tam giác ABC là $S = \sqrt {\frac{{14}}{2}\left( {\frac{{14}}{2} - 3} \right)\left( {\frac{{14}}{2} - 5} \right)\left( {\frac{{14}}{2} - 6} \right)} \approx 7{,}48$.

Trả lời: 7,48.

Ta có ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A$$= 49 + 25 - 2.7.5.\frac{3}{5} = 32 \Rightarrow a = \sqrt {32}$.

Có ${\sin ^2}A = 1 - {\cos ^2}A = 1 - \frac{9}{{25}} = \frac{{16}}{{25}} \Rightarrow \sin A = \frac{4}{5}$ vì $0^\circ \le \widehat A \le 180^\circ$.

Khi đó $S = \frac{1}{2}bc.\sin A = \frac{1}{2}.7.5.\frac{4}{5} = 14$.

Mà $r = \frac{S}{p} = \frac{{14}}{{\frac{{7 + 5 + \sqrt {32} }}{2}}} = 3 - \sqrt 2$.

Suy ra a = 3; b = 2. Do đó a – 2b = −1.

Trả lời: −1.

Từ giả thiết ta suy ra tam giác ABC có $\widehat {CAB} = 60^\circ ,\widehat {ABC} = 105^\circ 30'$ và $c = 70$.

Khi đó $\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \Rightarrow \widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - 165^\circ 30' = 14^\circ 30'$.

Theo định lí sin, ta có $\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}}$$\Leftrightarrow \frac{{AC}}{{\sin 105^\circ 30'}} = \frac{{70}}{{\sin 14^\circ 30'}}$$\Rightarrow AC = \frac{{70.\sin 105^\circ 30'}}{{\sin 14^\circ 30'}} \approx 269{,}4$.

Gọi CH là khoảng cách từ C đến mặt đất.

Tam giác vuông ACH có cạnh CH đối diện với góc 30° nên $CH = \frac{{AC}}{2} = \frac{{269{,}4}}{2} = 134{,}7 \approx 135$ m.

Trả lời: 135.