Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

Vì $\alpha + \beta = 180^\circ$$\Rightarrow \beta = 180^\circ - \alpha$.

Do đó $\cos \beta = \cos \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \cos \alpha = - \frac{3}{5}$. Chọn B.

Có ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{8}{9}$.

Mà $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ nên $\cos \alpha = \frac{{ - 2\sqrt 2 }}{3}$. Chọn D.

Có ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Leftrightarrow \frac{9}{{25}} + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{{16}}{{25}}$.

Mà $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ nên $\cos \alpha = \frac{4}{5}$.

Suy ra $\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{4}{3}$.

Mà $\cot \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \cot \alpha = - \frac{4}{3}$. Chọn C.

Vì $\tan \alpha = 4$ nên $\cos x \ne 0$.

Do đó ta chia cả tử và mẫu cho $\cos x$ ta được $A=\frac{\tan α+1}{\tan α-3}=5$. Chọn D.

a) Do $90^\circ < x < 180^\circ$ nên $\cos x < 0$.

b) Ta có ${\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x = 1 - \frac{{25}}{{169}} = \frac{{144}}{{169}}$.

Do đó $P = 2{\sin ^2}x - {\cos ^2}x = 2.\left( {\frac{{25}}{{169}}} \right) - \frac{{144}}{{169}} = - \frac{{94}}{{169}}$.

c) Do $\cos x < 0$ và ${\cos ^2}x = \frac{{144}}{{169}}$ nên $\cos x = - \frac{{12}}{{13}}$.

Suy ra $\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = - \frac{5}{{12}}$.

d) Ta có $A = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{1 + {{\cos }^2}x}} = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{1 + 1 - {{\sin }^2}x}} = \frac{{{{\left( {\frac{5}{{13}}} \right)}^2}}}{{2 - {{\left( {\frac{5}{{13}}} \right)}^2}}} = \frac{{25}}{{313}}$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) Ta có $\frac{{\sin \alpha - \cos \alpha }}{{2\sin \alpha + 3\cos \alpha }} = \frac{{\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 1}}{{2\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + 3}}$$= \frac{{\tan \alpha - 1}}{{2.\tan \alpha + 3}}$$= \frac{{ - 2 - 1}}{{2.\left( { - 2} \right) + 3}} = 3$.

b) Vì $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ nên $\cos \alpha < 0$.

c) Có ${\cos ^2}\alpha = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }} = \frac{1}{{1 + {{\left( { - 2} \right)}^2}}} = \frac{1}{5}$.

d) Có $\sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha$.

Có ${\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}$ vì $90^\circ < \alpha < 180^\circ$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) Vì $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ nên $\cos \alpha < 0$. Suy ra $\sin \alpha .\cos \alpha < 0$.

b) Có ${\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{8}{9}$ $\Rightarrow \cos \alpha = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$ vì $\cos \alpha < 0$.

c) Ta có $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{1}{3}:\frac{{ - 2\sqrt 2 }}{3} = - \frac{{\sqrt 2 }}{4}$.

d) $\frac{{6\sin \alpha + 3\sqrt 2 \cos \alpha }}{{2\sqrt 2 \tan \alpha + \sqrt 2 \cot \alpha }} = \frac{{6\sin \alpha + 3\sqrt 2 \cos \alpha }}{{2\sqrt 2 \tan \alpha + \frac{{\sqrt 2 }}{{\tan \alpha }}}}$$= \frac{{6.\frac{1}{3} + 3\sqrt 2 .\frac{{ - 2\sqrt 2 }}{3}}}{{2\sqrt 2 .\frac{{ - \sqrt 2 }}{4} - \frac{{\sqrt 2 }}{{\frac{{\sqrt 2 }}{4}}}}}$$= \frac{2}{5}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

$P = \frac{{3\sin \alpha + 4\cos \alpha }}{{\sqrt 2 \sin \alpha - \cos \alpha }}$$= \frac{{3 + 4\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}}}{{\sqrt 2 - \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}}}$$= \frac{{3 + 4\cot \alpha }}{{\sqrt 2 - \cot \alpha }}$$= \frac{{3 + 4.2}}{{\sqrt 2 - 2}}$$= \frac{{ - 18 - 9\sqrt 2 }}{2}$.

Suy ra $a = - 18;b = 9$. Do đó $a + 2b = 0$.

Trả lời: 0.

$S = {\cos ^2}5^\circ + {\cos ^2}10^\circ + {\cos ^2}15^\circ + ... + {\cos ^2}80^\circ + {\cos ^2}85^\circ$

$={\cos }^{2}5^{\circ}+{\cos }^{2}10^{\circ}+{\cos }^{2}15^{\circ}+...+{\sin }^{2}15^{\circ}+{\sin }^{2}10^{\circ}+{\sin }^{2}5^{\circ}$

$$= \left( {{{\cos }^2}5^\circ + {{\sin }^2}5^\circ } \right) + \left( {{{\cos }^2}10^\circ + {{\sin }^2}10^\circ } \right) + \left( {{{\cos }^2}15^\circ + {{\sin }^2}15^\circ } \right) + ... + \left( {{{\cos }^2}40^\circ + {{\sin }^2}40^\circ } \right) + {\cos ^2}45^\circ$$

$$= 1 + 1 + 1 + ... + 1 + {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}$$

$= 8 + \frac{1}{2} = 8{,}5$.

Trả lời: 8,5.

$a = \sin \left( {A + B} \right)\sin C - \cos \left( {A + B} \right)\cos C$

$= \sin \left( {180^\circ - C} \right)\sin C - \cos \left( {180^\circ - C} \right)\cos C$

$= \sin C.\sin C + \cos C.\cos C$

$= {\sin ^2}C + {\cos ^2}C = 1$.

Do đó a = 1. Do đó $2025a + 2026 = 4051$.

Trả lời: 4051.