Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Tự luận

a) Thay $x = - 3;y = - 9$ vào phương trình $y = a{x^2}$, ta được

$- 9 = m \cdot {\left( { - 3} \right)^2}$ hay $9m = - 9$ nên $m = - 1$.

Vậy hàm số có dạng $y = - {x^2}$.

b) Ta có$f\left( x \right) = - {x^2}$.

i) Thay lần lượt $x = 0\,;\,\,x = 3$ vào hàm số, ta có: $f\left( 0 \right) = 0\,;\,\,f\left( 3 \right) = - {\left( 3 \right)^2} = - 9$.

Vậy $f\left( 0 \right) = 0\,;\,\,f\left( 3 \right) = - 9.$

ii) Ta có $y = f\left( x \right) = - {x^2}$ nên $f\left( {{x_0}} \right) = - {x_0}^2 = - 27$.

Khi đó $- {x_0}^2 = - 27$ hay ${x_0}^2 = 27$.

Do đó ${x_0} = 3\sqrt 3$ hoặc ${x_0} = - 3\sqrt 3$.

Vậy để $f\left( {{x_0}} \right) = - 27$ thì ${x_0} = 3\sqrt 3$ hoặc ${x_0} = - 3\sqrt 3$.

a) Bảng giá trị của hàm số:

Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ các điểm $E\left( { - 2\,;\,\, - 2} \right)\,;\,\,$

$$F\left( { - 1\,;\,\, - \frac{1}{2}} \right)\,;\,\,O\left( {0\,;\,\,0} \right)\,;\,\,F'\left( {1\,;\,\, - \frac{1}{2}} \right)\,;\,\,E'\left( {2\,;\,\, - 2} \right).$$

Đồ thị của hàm số $y = \frac{1}{2}{x^2}$ là một parabol đỉnh O, đi qua các điểm trên và có dạng như hình vẽ trên.

b) Thay $x = - 2\,;\,\,y = 4$ vào phương trình $y = a{x^2}$, ta được

$4 = a.{\left( { - 2} \right)^2}$ hay $4a = 4$ nên $a = 1$.

Vậy hàm số có dạng $y = {x^2}$.

a) Bảng giá trị:

Đồ thị $\left( P \right)$ của hàm số $y = {x^2}$ là một parabol có đỉnh $O$ và nhận trục tung làm trục đối xứng.

Đồ thị $\left( d \right)$ của hàm số $y = 2x$ là một đường thẳng qua hai điểm $\left( {0;0} \right)$; $\left( {1;2} \right)$.

Ta vẽ được đồ thị $\left( P \right)$ và $\left( d \right)$ trên cùng một hệ trục tọa độ $Oxy$ như sau:

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $\left( d \right)$, ta có:

${x^2} = 2x{\rm{\;}}$

${x^2} - 2x = 0$

$x\left( {x - 2} \right) = 0$

$x = 0$ hoặc $x = 2$.

• Với $x = 0$ thì $y = 0$ nên $O\left( {0;0} \right)$ là một giao điểm của $\left( P \right)$ và $\left( d \right)$.

• Với $x = 2$ thì $y = 4$ nên $A\left( {2;4} \right)$ là giao điểm thứ hai của $\left( P \right)$ và $\left( d \right)$.

Vậy tọa độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $\left( d \right)$ là $O\left( {0;0} \right)$ và $A\left( {2;4} \right)$.

a) Bảng giá trị:

Đồ thị $\left( P \right)$ là một parabol qua $O$ và nhận trục tung làm trục đối xứng.

Bảng giá trị:

Đường thẳng $\left( d \right)$ qua hai điểm $\left( {0;2} \right)$ và $\left( {2;3} \right).$

Ta vẽ được đồ thị $\left( P \right)$ và $\left( d \right)$ trên cùng một hệ trục tọa độ $Oxy$ như sau:

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $\left( d \right)$, ta có:

$\frac{1}{4}{x^2} = \frac{1}{2}x + 2$

${x^2} - 2x - 8 = 0$

$\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - 9 = 0$

${\left( {x - 1} \right)^2} = 9$

$x - 1 = 3{\rm{\;}}$ hoặc $x - 1 = - 3$

$x = 4$ hoặc $x = - 2$

Với $x = 4$ thì $y = 4$;

Với $x = - 2$ thì $y = 1$.

Vậy tọa độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $\left( d \right)$ là $M\left( {4;4} \right)$ và $N\left( { - 2;1} \right)$.

c) Đường thẳng $\left( {d'} \right)$ song song với $\left( d \right)$ nên có phương trình $y = \frac{1}{2}x + b\,\,\left( {b \ne 2} \right)$.

Điểm $A\left( {2;{y_0}} \right) \in \left( P \right)$ nên

${y_0} = \frac{1}{4} \cdot {2^2}$ hay ${y_0} = 1.$

Do đó $A\left( {2\,;\,\,1} \right) \in \left( {d'} \right)$ nên

$1 = \frac{1}{2} \cdot 2 + b$ hay $b = 0.$

Vậy phương trình $\left( {d'} \right):y = \frac{1}{2}x$.

a) $- 2{x^2} + 18 = 0$

$$2{x^2} = 18$$

$${x^2} = 9$$

$x = 3$ hoặc $x = - 3$.

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x = 3\,;$ $x = - 3.$

b) $3{x^2} - x = 0$

$$x\left( {3x - 1} \right) = 0$$

$x = 0$ hoặc $3x - 1 = 0$

$x = 0$ hoặc $x = \frac{1}{3}$.

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x = 0$; $x = \frac{1}{3}.$

c) $2{x^2} - 5x + 3 = 0$

Cách 1: Ta có $a + b + c = 2 - 5 + 3 = 0$ nên phương trình có hai nghiệm $x = 1\,;\,\,x = \frac{3}{2}.$

Cách 2: Ta có $\Delta = {\left( { - 5} \right)^2} - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 > 0$.

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x = 1\,;\,\,x = \frac{3}{2}.$

d) $9{x^2} - 30x + 225 = 0$

$\;3{x^2} - 10x + 75 = 0$

Ta có $\Delta ' = {\left( { - 5} \right)^2} - 3 \cdot 75 = - 200 < 0$.

Do đó, phương trình vô nghiệm.

e) Cách 1: $5{x^2} - 2\sqrt 5 x + 1 = 0$

${\left( {\sqrt 5 x - 1} \right)^2} = 0$

$\sqrt 5 x - 1 = 0$

$x = \frac{{\sqrt 5 }}{5}$.

Vậy phương trình có nghiệm $x = \frac{{\sqrt 5 }}{5}$.

Cách 2: $5{x^2} - 2\sqrt 5 x + 1 = 0$

Ta có $\Delta ' = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} - 5 \cdot 1 = 0$.

Do đó, phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}$.

Cách 3: $5{x^2} - 2\sqrt 5 x + 1 = 0$

Ta có $\Delta = {\left( {2\sqrt 5 } \right)^2} - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 0$.

Do đó, phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}$.

f) Cách 1: ${x^2} - \left( {1 + \sqrt 2 } \right)x + \sqrt 2 = 0$

${x^2} - x - \sqrt 2 x + \sqrt 2 = 0$

$x\left( {x - 1} \right) - \sqrt 2 \left( {x - 1} \right) = 0$

$\left( {x - 1} \right)\left( {x - \sqrt 2 } \right) = 0$

$x - 1 = 0$ hoặc $x - \sqrt 2 = 0$

$x = 1$ hoặc $x = \sqrt 2$.

Vậy phương trình có hai nghiệm: ${x_1} = 1;\,\,{x_2} = \sqrt 2 .$

Cách 2: ${x^2} - \left( {1 + \sqrt 2 } \right)x + \sqrt 2 = 0$

Ta có $\Delta = {\left[ { - \left( {1 + \sqrt 2 } \right)} \right]^2} - 4 \cdot 1 \cdot \sqrt 2$

$= 1 - 2\sqrt 2 + 2 = {\left( {1 - \sqrt 2 } \right)^2} > 0$.

Vì $\Delta > 0$ nên phương trình có hai nghiệm:

${x_1} = \frac{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right) + \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}{{2.1}} = \sqrt 2$; ${x_2} = \frac{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right) - \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}{{2.1}} = 1$.

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x = 1$; $x = \sqrt 2 .$

g) ${x^2} - 2\sqrt 3 x - 6 = 0$

Ta có $\Delta ' = {\left( { - \sqrt 3 } \right)^2} - 1 \cdot \left( { - 6} \right) = 9 > 0$

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_1} = \sqrt 3 - 3$, ${x_2} = \sqrt 3 + 3$.

h) ${x^2} - 2\sqrt 2 x + 2\sqrt 2 - 1 = 0$

Ta có: $a = 1\,;\,\,b' = \sqrt 2 \,;\,\,c = 2\sqrt 2 - 1\,;\,\,$

$\Delta ' = {\left( { - \sqrt 2 } \right)^2} - \left( {2\sqrt 2 - 1} \right) \cdot 1 = {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^2} > 0.$

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${x_1} = \sqrt 2 - \left( {\sqrt 2 - 1} \right) = 1$;${x_2} = \sqrt 2 + \left( {\sqrt 2 - 1} \right) = 2\sqrt 2 - 1$.

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$${x_1} = 1\,;\,\,{x_2} = 2\sqrt 2 - 1.$$

a) Ta có: ${\left( {2x + 1} \right)^2} = 8x$

$\;4{x^2} + 4x + 1 - 8x = 0$

$4{x^2} - 4x + 1 = 0$

${\left( {2x - 1} \right)^2} = 0$

$2x - 1 = 0$

$x = \frac{1}{2}$.

Vậy phương trình có nghiệm: $x = \frac{1}{2}$.

b) Ta có: ${\left( {2x - 3} \right)^2} = 11x - 19$

$4{x^2} - 12x + 9 - 11x + 19 = 0$

$4{x^2} - 23x + 28 = 0$

Ta có $\Delta = {\left( { - 23} \right)^2} - 4 \cdot 4 \cdot 28 = 81 > 0$

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${x_1} = \frac{{23 + 9}}{{2.4}} = 4;\;{x_2} = \frac{{23 - 9}}{{2.4}} = \frac{7}{4}$.

Vậy phương trình có hai nghiệm: ${x_1} = 4\,;\,\,{x_2} = \frac{7}{4}.$

c) $\left( {3x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 15$

${x^2} + 3x - x - 1 - 15 = 0$

$3{x^2} + 2x - 16 = 0$

Ta có $\Delta = 4 - 4 \cdot 3 \cdot \left( { - 16} \right) = 196 > 0.$

Phương trình có hai nghiệm:

${x_1} = \frac{{ - 2 + 14}}{6} = 2;\;{x_2} = \frac{{ - 2 - 14}}{6} = - \frac{8}{3}$.

Vậy phương trình có hai nghiệm: ${x_1} = 2\,;\,\,{x_2} = - \frac{8}{3}.$

d) Ta có: $3\left( {{x^2} - 1} \right) = 8x$

$3{x^2} - 3 = 8x$

$3{x^2} - 8x - 3 = 0$.

Ta có $\Delta = {8^2} - 4 \cdot 3 \cdot \left( { - 3} \right) = 100 > 0.$

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_1} = \frac{{8 + 6}}{6} = 3;\;{x_2} = \frac{{8 - 10}}{6} = - \frac{1}{3}$.

Vậy phương trình có hai nghiệm: ${x_1} = 3\,;\;\,{x_2} = - \frac{1}{3}$.

e) $2{x^2} + 3x - \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0$

$2{x^2} + 3x - \left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 0$

$\;{x^2} + 6x - 2 = 0$

Ta có $a = 1\,;\,\,b' = 3\,;\,\,c = - 2\,;$

$\Delta ' = {3^2} - 1 \cdot \left( { - 2} \right) = 11 > 0.$

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$${x_1} = - 3 + \sqrt {11} ;\;{x_2} = - 3 - \sqrt {11} .$$

f) $\sqrt 2 {x^2} + 2x = 2\sqrt 2 x + \sqrt 2 - 2$

$\sqrt 2 {x^2} - 2\left( {\sqrt 2 - 1} \right)x + \sqrt 2 - 2 = 0$

Ta có $a = \sqrt 2 \,;\,\,b' = - \left( {\sqrt 2 - 1} \right)\,;\,\,c = \sqrt 2 - 2\,;$

$$\Delta ' = {\left[ { - \left( {\sqrt 2 - 1} \right)} \right]^2} - \sqrt 2 \cdot \left( {\sqrt 2 - 2} \right) = 1 > 0$$

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${x_1} = \frac{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right) - 1}}{{\sqrt 2 }} = 1 - \sqrt 2$; ${x_2} = \frac{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right) + 1}}{{\sqrt 2 }} = 1$.

a) Với $m = 3$, ta có phương trình: ${x^2} - x + 2 = 0$ hay ${\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} = 0$.

Nhận thấy ${\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4}$ với mọi $x$.

Do đó, phương trình ${\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} = 0$ vô nghiệm.

Vậy với $m = 3$ thì phương trình vô nghiệm.

b) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì phương trình ${x^2} - x + m - 1 = 0$ có biệt thức $\Delta = 0.$

Khi đó ${\left( { - 1} \right)^2} - 4 \cdot \left( {m - 1} \right) \cdot 1 = 0$ hay $5 - 4m \ge 0$ suy ra $m \le \frac{5}{4}.$

Vậy với $m \le \frac{5}{4}$ thì phương trình có nghiệm kép.

a) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì:

$\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta > 0\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\left( {2m - 1} \right)^2} - 4m\left( {m + 2} \right) > 0\end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\ - 12m + 1 > 0\end{array} \right.$ do đó $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m < \frac{1}{{12}}\end{array} \right.$.

Vậy $m < \frac{1}{{12}};\,\,m \ne 0$ thì để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Để phương trình vô nghiệm thì:

$\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta < 0\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\left( {2m - 1} \right)^2} - 4m\left( {m + 2} \right) < 0\end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\ - 12m + 1 < 0\end{array} \right.$ do đó $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m > \frac{1}{{12}}\end{array} \right.$ hay $m > \frac{1}{{12}}.$

Vậy $m > \frac{1}{{12}}$ thì phương trình vô nghiệm.

c) Để phương trình có nghiệm kép thì:

$\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta = 0\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}m - 2 \ne 0\\{\left( {2m - 1} \right)^2} - 4m\left( {m + 2} \right) = 0\end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\ - 12m + 1 = 0\end{array} \right.$ do đó $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m = \frac{1}{{12}}\end{array} \right.$ hay $m = \frac{1}{{12}}.$

Vậy với $m = \frac{1}{{12}}$ thì phương trình có nghiệm kép.

d) • Xét $m = 0$ thì phương trình có đúng một nghiệm $x = - \frac{1}{3}$.

• Xét $m \ne 0$, để phương trình có nghiệm thì $\Delta \ge 0$ hay ${\left( {2m - 1} \right)^2} - 4m\left( {m + 2} \right) \ge 0$

Khi đó $- 12m + 1 \ge 0$ nên $m \le - \frac{1}{4}$.

Kết hợp $m \le - \frac{1}{4}$ và $m = 0$, ta được $m \le - \frac{1}{4}$.

Do đó, $m \ge - \frac{1}{4}$ thì phương trình có nghiệm.

a) ${x^2} + 4mx - 8m - 4 = 0$

Xét biệt thức $\Delta ' = {\left( {2m} \right)^2} - \left( { - 8m - 4} \right) = 4{m^2} + 8m + 4 = 4{\left( {m + 1} \right)^2} \ge 0$ với mọi $m$.

Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi $m$.

b) $m{x^2} - 4\left( {m - 1} \right)x - 8 = 0$.

Xét biệt thức $\Delta ' = {\left[ { - 2\left( {m - 1} \right)} \right]^2} - m \cdot \left( { - 8} \right) = 4{\left( {m - 1} \right)^2} + 8m = 4{m^2} + 4 > 0$.

Với mọi $m \in \mathbb{R}$ ta có ${m^2} \ge 0$ nên $4{m^2} + 4 > 0$.

Do đó, với mọi $m$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt hay phương trình luôn có nghiệm.

Ta có $a = 3\,;\,\,b = 2\,;\,\,c = - 6$ nên $ac = - 18 < 0$.

Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt (khác dấu) ${x_1},\,\,{x_2}.$

Theo định lí Viète, ta có: ${x_1} + {x_2} = - \frac{2}{3};\,\,{x_1}{x_2} = - 2.$

Vậy $M = x_1^2 - 2{x_1}{x_2} + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = {\left( { - \frac{2}{3}} \right)^2} - 4 \cdot \left( { - 2} \right) = \frac{{76}}{9}.$

Cách 1: Ta có $a = 1\,{\kern 1pt} ;\,\,\,b' = - 1\,{\kern 1pt} ;\,\,\,c = m + 2$.

Phương trình đã cho có hai nghiệm ${x_1},\,\,{x_2}$ khi và chỉ khi $\Delta ' \ge 0$.

Khi đó ${\left( { - 1} \right)^2} - \left( {m + 2} \right) \ge 0$ hay $m \le - 1$.

Theo hệ thức Viète, ta có ${x_1} + {x_2} = 2\,{\kern 1pt} ;\,\,\,{x_1}{x_2} = m + 2$.

Khi đó $x_1^2 + x_2^2 = 10$

$${\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 10$$

$$4 - 2\left( {m + 2} \right) = 10$$

$$- 2m = 10$$

$m = - 5$ (thỏa điều kiện $m \le - 1)$.

Vậy để phương trình có nghiệm ${x_1},\,\,{x_2}$ thỏa mãn điều kiện $x_1^2 + x_2^2 = 10$ thì $m = - 5.$

Cách 2: Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm ${x_1},\,\,{x_2}$.

Theo hệ thức Viète, ta có ${x_1} + {x_2} = 2\,{\kern 1pt} ;\,\,\,{x_1}{x_2} = m + 2$

Khi đó $x_1^2 + x_2^2 = 10$

$${\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 10$$

$$4 - 2\left( {m + 2} \right) = 10$$

$$- 2m = 10$$

$m = - 5$.

Thử lại: Với $m = - 5$ ta có phương trình ${x^2} - 2x - 3 = 0.$

Vì $ac = - 3 < 0$ nên phương trình có hai nghiệm.

Ta có: $a = 3\,;\,\,b = - 7\,;\,\,c = - 4$ nên $ac = - 12 < 0.$

Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt ${x_1},\,\,{x_2}$.

Theo định lí Viète, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{7}{3}\\{x_1}{x_2} = \frac{{ - 4}}{3}.\end{array} \right.$

a) Ta có ${A^2} = {\left| {{x_1} - {x_2}} \right|^2} = x_1^2 - 2{x_1}{x_2} + x_2^2$

$= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2}$

$= {\left( {\frac{7}{3}} \right)^2} - 4 \cdot \left( {\frac{{ - 4}}{3}} \right) = \frac{{97}}{9}\;.$

Vậy $A = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \frac{{\sqrt {97} }}{3}.$

b) Ta có $B = \frac{{x_1^2 + x_2^3}}{{{x_1}{x_2}}}$

$= \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{x_1}{x_2}}}$

$= \frac{{{{\left( {\frac{7}{3}} \right)}^3} - 3 \cdot \left( {\frac{{ - 4}}{3}} \right) \cdot \frac{7}{3}}}{{\frac{{ - 4}}{3}}} = - \frac{{595}}{{36}}{\rm{.\;}}$

Vậy $B = \frac{{x_1^2 + x_2^3}}{{{x_1}{x_2}}} = - \frac{{595}}{{36}}{\rm{.\;}}$

Ta có $a = 1\,{\kern 1pt} ;\,\,\,b' = - m\,{\kern 1pt} ;\,\,\,c = 2m - 3.$

Phương trình đã cho có hai nghiệm ${x_1},\,\,{x_2}$ khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' \ge 0\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}1 \ne 0\\{\left( { - m} \right)^2} - \left( {2m - 3} \right) \ge 0\end{array} \right.$

Khi đó ${m^2} - 2m + 3 \ge 0$

$${m^2} - 2m + 1 + 2 \ge 0$$

${\left( {m - 1} \right)^2} + 2 \ge 0$ (luôn đúng vì ${\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0{\kern 1pt}$ với mọi $m$)

Theo hệ thức Viète, ta có: ${x_1} + {x_2} = 2m{\kern 1pt} ;\,{x_1}{x_2} = 2m - 3$

Do đó $A = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 4{m^2} - 2\left( {2m - 3} \right)$

$$= 4{m^2} - 4m + 6 = 4{m^2} - 4m + 1 + 5$$

$= {\left( {2m - 1} \right)^2} + 5 \ge 5$ (luôn đúng vì ${\left( {2m - 1} \right)^2} \ge 0$)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi $2m - 1 = 0$ hay $m = \frac{1}{2}$.

a) Xét phương trình ${x^2} - 2x + m = 0$.

Ta có $a = 1\,{\kern 1pt} ;\,\,\,b = 1\,{\kern 1pt} ;\,\,\,c = m.$

Phương trình đã cho có hai nghiệm ${x_1},\,\,{x_2}$ khi và chỉ khi

$\Delta ' \ge 0$ hay $1 - m \ge 0$ nên $m \le 1.$

Theo hệ thức Viète, ta có ${x_1} + {x_2} = - 2$ và ${x_1}{x_2} = m$.

Xét hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2\\3{x_1} + 2{x_2} = 1\end{array} \right.$.

Từ phương trình thứ nhất, ta có ${x_2} = - 2 - {x_1}$ thay vào phương trình thứ hai ta được

$3{x_1} + 2\left( { - 2 - {x_1}} \right) = 1$ hay $3{x_1} - 4 - 2{x_1} = 1$ nên ${x_1} = 5$ suy ra ${x_2} = - 7.$

Thay ${x_1} = 5$ và ${x_2} = - 7$ vào phương trình ${x_1}{x_2} = m$, ta có:

$m = 5.\left( { - 7} \right) = - 35$ (thỏa điều kiện $m \le 1$).

Vậy $m = - 35$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

b) Xét phương trình ${x^2} - 2x + m = 0$.

Ta có $a = 1\,{\kern 1pt} ;\,\,\,b' = - 1\,{\kern 1pt} ;\,\,\,c = m\,{\kern 1pt} ;\,\,$$\Delta ' = 1 - m$.

Phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi:

$\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P = \frac{c}{a} > 0\\S = - \frac{b}{a} > 0\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}1 - m > 0\\m > 0\\2 > 0\end{array} \right.$, do đó $0 < m < 1$.

Vậy để phương trình ${x^2} - 2x + m = 0$ có hai nghiệm phân biệt dương thì $0 < m < 1$.

Đặt $t = x + 1$ suy ra $x = t - 1$. Thế $x$ vào phương trình đã cho, ta được:

${\left( {t - 1} \right)^2} + \left( {2 - m} \right)\left( {t - 1} \right) + 1 = 0$ hay ${t^2} - mt + m = 0\;\,\,\left( * \right)$.

Ta có $a = 1$; $b = - m$; $c = m$.

Điều kiện $- 1 < {x_1} < {x_2}$ hay $0 < {x_1} + 1 < {x_2} + 1$

Đặt ${t_1} = {x_1} + 1$; ${t_2} = {x_2} + 1$, ta đưa về bài toán. Tìm $m$ để phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm ${t_1}$; ${t_2}$ thỏa mãn $0 < {t_1} < {t_2}$.

Khi đó $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{\rm{\Delta }} > 0}\\{P = \frac{c}{a} > 0}\\{S = - \frac{b}{a} > 0}\end{array}} \right.$ hay $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{m^2} - 4m > 0}\\{m > 0}\\{m > 0}\end{array}} \right.$ nên $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{m\left( {m - 4} \right) > 0}\\{m > 0}\end{array}} \right.$ suy ra $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{m > 0}\\{m > 4}\end{array}} \right.$ nên $m > 4.$

Vậy để phương trình đã cho có nghiệm ${x_1},\,\,{x_2}$ thỏa mãn điều kiện $- 1 < {x_1} < {x_2}$ thì $m > 4.$

Ta có $a = 1$; $c = - 3$ suy ra $ac = - 3 < 0$ nên phương trình đã cho có hai nghiệm (trái dấu) ${x_1},\,\,{x_2}$.

Do đó ${x_1} + {x_2} = - 1$; ${x_1}\,\,.\,\,{x_2} = - 3$.

Mặt khác: $\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{1}{3}$; $\frac{1}{{{x_1}}}\,\, \cdot \,\,\frac{1}{{{x_2}}} = - \frac{1}{3}$.

Vậy $\frac{1}{{{x_1}}}$ và $\frac{1}{{{x_2}}}$ là hai nghiệm của phương trình bậc hai ${x^2} - \frac{1}{3}x - \frac{1}{3} = 0$ hay $3{x^2} - x - 1 = 0$.

Thay $x = - 3$ vào phương trình đã cho, ta có

${\rm{3}} \cdot {\left( { - 3} \right)^2} + 2 \cdot \left( { - 3} \right) - 21 = 0{\rm{\;}}$ hay $27 - 6 - 21 = 0$ (luôn đúng)

Vậy $x = - 3$ ${\rm{x}} = - 3$ là một nghiệm của phương trình.

Đặt ${x_1} = - 3$, nghiệm còn lại là ${x_2}$.

Theo hệ thức Viète, ta có: ${x_1}{x_2} = \frac{{\rm{c}}}{{\rm{a}}} = \frac{{ - 21}}{3} = - 7$

Với ${x_1} = - 3$ thì $\left( { - 3} \right) \cdot {x_2} = - 7$ nên ${x_2} = \frac{7}{3}$.

Gọi số tự nhiên là $x\,\,\left( {x \in \mathbb{N}*} \right)$. Khi đó, số liền sau số đó là $x + 1$.

Theo bài ra, ta có phương trình: $x\left( {x + 1} \right) - \left( {x + x + 1} \right) = 109$

${x^2} + x - x - x - 1 - 109 = 0$

${x^2} - x - 110 = 0$

$x = 11$ (TMĐK) hoặc $x = - 10$ (loại).

Vậy hai số cần tìm là 11 và 12.

Gọi số bé là $x\,\,\left( {x \in \mathbb{N}*} \right)$. Khi đó, số lớn sẽ là $x + 5$.

Theo đề ra, ta có phương trình:

${x^2} + {(x + 5)^2} = 4153$

$2{x^2} + 10x - 4128 = 0$

Ta có $a = 2\,;\,\,b' = 5\,;\,\,c = - 4128$; $\Delta ' = 25 + 2 \cdot 4128 = 8281 > 0$.

Do đó $x = - 48$ (loại) hoặc $x = 43$ (TMĐK).

Vậy số bé là 43; số lớn là $43 + 5 = 48.$

Gọi $x\,\,\left( {\rm{\% }} \right)$ là phần trăm tăng mỗi năm $\left( {x > 0} \right)$.

Sau năm thứ nhất số dân của tỉnh là:

$$2\,\,000\,\,000 + 2\,\,000\,\,000 \cdot \frac{{\rm{x}}}{{100}} = 2\,\,000\,\,000 + 20\,\,000{\rm{x}}$$

Số dân sau năm thứ hai là:

$\left( {2\,\,000\,\,000 + 20\,\,000x} \right) \cdot \frac{x}{{100}} = 200x\left( {x + 100} \right)$

Theo bài ra, ta có phương trình:

$2\,\,000\,\,000 + 20\,\,000x + 200x\left( {x + 100} \right) = 2\,\,048\,\,288$

$20\,\,000x + 200x\left( {x + 100} \right) - 48\,\,288 = 0$

$100x + x\left( {x + 100} \right) - 241{,}44 = 0$

${x^2} + 200x - 241{,}44 = 0$

Ta có ${\rm{a}} = 1\,;\,\,{\rm{b'}} = 100\,;\,\,{\rm{c}} = - 241{,}44\,;\,\,{\rm{\Delta '}} = 10\,\,241{,}44 > 0.$

Do đó $x = - 201{,}2$ hoặc $x = 1{,}2.$

Vậy hàng năm dân số tỉnh A tăng $1{,}2\,{\rm{\% }}$.

Gọi $x\,\,\left( {\rm{\% }} \right)$ là lăi suất trong một năm của ngân hàng $\left( {x > 0} \right)$.

Sau năm thứ nhất người đó phải trả:

$20\,\,000\,\,000 + 20\,\,000\,\,000 \cdot \frac{x}{{100}} = 200\,\,000\left( {100 + x} \right)$

Số tiền sau năm thứ hai tăng thêm là:

$200\,\,000\left( {100 + x} \right)\frac{x}{{100}} = 2\,\,000x\left( {x + 100} \right)$

Theo bài ra, ta có phương trình:

$200\,\,000\left( {100 + x} \right) + 2\,\,000x\left( {x + 100} \right) = 24\,\,200\,\,000$

$100\left( {100 + x} \right) + x\left( {x + 100} \right) = 12\,\,100$

${x^2} + 200x - 2\,\,100\,\,000 = 0$

$x = 10$ (TMĐK) hoặc $x = - 210$ (loại).

Vậy lãi của ngân hàng một năm là $10{\rm{\% }}$.

Gọi thời gian để vòi thứ nhất chảy đầy bể là $x$ (giờ) $\left( {x > 0} \right)$.

Khi đó, thời gian để vòi thứ hai chảy đầy bể $x + 5$ (giờ).

Khi đó, mỗi giờ vòi thứ nhất chảy được $\frac{1}{x}$ bể; vòi thứ hai chảy dược: $\frac{1}{{x + 5}}$ bể và cả hai vòi chảy được $\frac{1}{6}$ bể.