Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 7 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Tự luận

a) $\frac{x}{4} = \frac{{ - 1}}{3}$

$$3x = - 4$$

$x = \frac{{ - 4}}{3}$.

Vậy $x = \frac{{ - 4}}{3}$.

b) $\frac{{x + 1}}{5} = \frac{3}{4}$

Suy ra $4\left( {x + 10} \right) = 5 \cdot 3$

$$4x + 40 = 15$$

$$4x = --25$$

$x = - \frac{{25}}{4}$

Vậy $x = - \frac{{25}}{4}$.

c) $\frac{{2x + 1}}{6} = \frac{{3 - x}}{9}$

$9\left( {2x + 1} \right) = 6\left( {3 - x} \right)$

$18x + 9 = 18 - 6x$

$18x + 6x = 18 - 9$

$24x = 9$

$x = \frac{3}{8}$.

Vậy $x = \frac{3}{8}$.

d) $\frac{{2 - x}}{4} = \frac{{x - 3}}{{ - 5}}$

$- 5\left( {2 - x} \right) = 4\left( {x - 3} \right)$

$- 10 + 5x = 4x - 12$

$5x - 4x = - 12 + 10$

$x = - 2$

Vậy $x = - 2$.

a) Ta có $\frac{x}{y} = \frac{4}{5}$ suy ra $\frac{x}{4} = \frac{y}{5}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{4} = \frac{y}{5} = \frac{{2x + y}}{{4.2 + 5}} = \frac{{39}}{{13}} = 3$.

Suy ra $x = 4 \cdot 3 = 12\,;{\rm{ }}y = 5 \cdot 3 = 15.$

Vậy $x = 12$ và $y = 15$.

b) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{7} = \frac{y}{3} = \frac{{x - y}}{{7 - 3}} = \frac{8}{4} = 2$.

Suy ra $x = 2 \cdot 7 = 14\,;\,\,y = 2 \cdot 3 = 6$.

Vậy $x = 14\,,\,\,y = 6.$

c) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{{x + y}}{{3 + 4}} = \frac{{14}}{7} = 2$.

Suy ra $x = 3 \cdot 2 = 6$; $y = 4 \cdot 2 = 8$.

Vậy $x = 6\,,\,\,y = 8.$

d) Ta có $5x = 7y$ suy ra $\frac{x}{7} = \frac{y}{5}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{7} = \frac{y}{5} = \frac{{y - x}}{{5 - 7}} = \frac{{10}}{{ - 2}} = - 5$.

Suy ra $x = 7 \cdot \left( { - 5} \right) = - 35$; $y = 5 \cdot \left( { - 5} \right) = - 25$.

Vậy $x = - 35\,,\,\,y = - 25.$

a) Đặt $\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{z}{4} = k$.

Suy ra $x = 3k\,,\,\,y = 5k\,,\,\,z = 4k.$

Ta có: $3x + 7y + z = 144.$

$$3.3k + 7.5k + 4k = 144$$

$$9k + 35k + 4k = 144$$

$$48k = 144$$

$k = 3$.

Khi đó $x = 3 \cdot 3 = 9$; $y = 5 \cdot 3 = 15\,;$$z = 4 \cdot 3 = 12.$

Vậy $x = 9$; $y = 15\,;$ $z = 12.$

b) Ta có $x:y:z = 3:5:7$ suy ra $\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{z}{8}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{z}{8} = \frac{{5x}}{{15}} = \frac{y}{5} = \frac{{2z}}{{16}}$$= \frac{{5x + y - 2z}}{{15 + 5 - 16}} = \frac{{40}}{4} = 10$.

Khi đó $x = 10 \cdot 3 = 30$; $y = 10 \cdot 5 = 50\,;$$z = 10 \cdot 8 = 80.$

Vậy $x = 30\,,y = 50\,,\,\,z = 80$.

Gọi $x\,,\,\,y\,,\,\,z$ lần lượt là số cây mà ba lớp 7A, 7B, 7C trồng được $\left( {x\,,\,\,y\,,\,\,z \in \mathbb{N}*} \right)$.

Vì số cây ba lớp 7A, 7B, 7C trồng được lần lượt tỉ lệ với $6\,;\,\,4\,;\,\,5$ nên ta có:

$\frac{x}{6} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}$.

Vì tổng số cây của hai lớp 7A, 7B trồng được nhiều hơn lớp 7C là 50 cây nên $x + y - z = 50$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{6} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5} = \frac{{x + y - z}}{{6 + 4 - 5}} = \frac{{50}}{5} = 10$.

Do đó:

• $\frac{x}{6} = 10$ nên $x = 60$ (thỏa mãn)

• $\frac{y}{4} = 10$ nên $y = 40$ (thỏa mãn)

• $\frac{z}{5} = 10$ nên $z = 50$ (thỏa mãn)

Vậy số cây ba lớp 7A, 7B, 7C trồng được lần lượt là $60$ cây, $40$ cây, $50$ cây.

Gọi số tiền ba bạn Tùng, Huy và Minh nhận được lần lượt là $x\,,\,\,y\,,\,\,z{\rm{ }}\left( {x\,,\,\,y\,,\,\,z > 0} \right)$ (triệu đồng).

Vì tổng số tiền 3 bạn nhận được khi bán hết chậu hoa là $1{,}5$ triệu đồng nên $x + y + z = 1{,}5$.

Vì số tiền mỗi bạn nhận được tỉ lệ với số chậu hoa trồng được nên ta có: $\frac{x}{6} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{x}{6} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5} = \frac{{x + y + z}}{{6 + 4 + 5}} = \frac{{1{,}5}}{{15}} = 0{,}1$.

Do đó, $\frac{x}{6} = 0{,}1$ suy ra $x = 0{,}1 \cdot 6 = 0{,}6$ (thỏa mãn)

$\frac{y}{4} = 0{,}1$ suy ra $y = 0{,}1 \cdot 4 = 0{,}4$ (thỏa mãn)

$\frac{z}{5} = 0{,}1$ suy ra $y = 0{,}1 \cdot 5 = 0{,}5$ (thỏa mãn).

Vậy số tiền bạn Tùng, Huy và Minh nhận được lần lượt là: $0{,}6$ triệu đồng; $0{,}4$ triệu đồng; $0{,}5$ triệu đồng.

Gọi số quần áo mà mỗi xưởng A, B, C phải may lần lượt là $x,y,z$$\left( {x,y,z \in {\mathbb{N}^*}} \right)$.

Theo đề, ba xưởng cần may $720$ bộ quần áo nên ta có: $x + y + x = 720$ (bộ)

Số bộ quần áo mỗi xưởng phải may tỉ lệ thuận với số công nhân mỗi xưởng.

Do đó, ta có: $\frac{x}{{12}} = \frac{y}{{13}} = \frac{z}{{11}}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{{12}} = \frac{y}{{13}} = \frac{z}{{11}} = \frac{{x + y + z}}{{12 + 11 + 13}} = \frac{{720}}{{36}} = 20$

Do đó, $\frac{x}{{12}} = 20$ nên $x = 240.$

• $\frac{y}{{13}} = 20$ nên $y = 13.20 = 260$.

• $\frac{z}{{11}} = 20$ nên $z = 220$.

Vậy số bộ quần áo mà mỗi xưởng A, B, C cần may lần lượt là 240 bộ, 260 bộ và 220 bộ.

a) Thay $x = - 2$ và $y = 4$ vào biểu thức $A$, ta được:

$A = 2 \cdot {\left( { - 2} \right)^2} \cdot 4 - 3 \cdot \left( { - 2} \right) \cdot 4 = 32 + 24 = 56$.

b) Ta có $B = \left( {2{x^2} + x - 1} \right) - \left( {{x^2} + 5x - 1} \right) = {x^2} - 4x$.

Thay $x = - 2$ vào biểu thức $B$, ta được:

$B = {\left( { - 2} \right)^2} - 4 \cdot \left( { - 2} \right) = 4 + 8 = 12$.

a) Để $x$ là nghiệm của đa thức $A\left( x \right)$ thì $2x - 1 = 0$ hay $x = \frac{1}{2}$.

Vậy $x = \frac{1}{2}$ là nghiệm của đa thức $A\left( x \right)$.

b) Để $x$ là nghiệm của đa thức $B\left( x \right)$ thì $3 - \frac{5}{6}x = 0$ nên $\frac{5}{6}x = 3$ hay $x = \frac{{18}}{5}$.

Vậy $x = \frac{{18}}{5}$ là nghiệm của đa thức $B\left( x \right)$.

c) Để $x$ là nghiệm của đa thức $C\left( x \right)$ thì ${x^2} - 1 = 0$ nên ${x^2} = 1$ hay $x = \pm 1$.

Vậy $x = \pm 1$ là nghiệm của đa thức $C\left( x \right)$.

d) Để $x$ là nghiệm của đa thức $D\left( x \right)$ thì $8{x^3} + 27 = 0$ nên ${x^3} = \frac{{ - 27}}{8}$ nên $x = - \frac{3}{2}$.

Vậy $x = - \frac{3}{2}$ là nghiệm của đa thức $D\left( x \right)$.

e) Để $x$ là nghiệm của đa thức $E\left( x \right)$ thì ${x^2} + 2x = 0$ hay $x\left( {x + 2} \right) = 0$.

Do đó, $x = 0$ hoặc $x = - 2$.

Vậy $x = 0$ và $x = - 2$ là nghiệm của đa thức $E\left( x \right)$.

Ta có $g\left( x \right) = - {x^5} + 4x - 5{x^3} + 2 = - {x^5} - 5{x^3} + 4x + 2$.

a) Theo đề bài, $f\left( x \right) + h\left( x \right) = g\left( x \right)$.

Suy ra $h\left( x \right) = g\left( x \right) - f\left( x \right)$

$$= \left( { - {x^5} - 5{x^3} + 4x + 2} \right) - \left( {{x^5} - 3{x^3} + 2x - 1} \right)$$

$$= - {x^5} - 5{x^3} + 4x + 2 - {x^5} + 3{x^3} - 2x + 1$$

$$= \left( { - {x^5} - {x^5}} \right) + \left( {3{x^3} - 5{x^3}} \right) + \left( {4x - 2x} \right) + \left( {2 + 1} \right)$$

$= - 2{x^5} - 2{x^3} + 2x + 3$.

Vậy $h\left( x \right) = - 2{x^5} - 2{x^3} + 2x + 3$.

b) Theo đề bài, $g\left( x \right) + h\left( x \right) = f\left( x \right)$

Suy ra $h\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right)$

$$= \left( {{x^5} - 3{x^3} + 2x - 1} \right) - \left( { - {x^5} - 5{x^3} + 4x + 2} \right)$$

$$= {x^5} - 3{x^3} + 2x - 1 + {x^5} + 5{x^3} - 4x - 2$$

$$= \left( {{x^5} + {x^5}} \right) + \left( {5{x^3} - 3{x^3}} \right) + \left( {2x - 4x} \right) - \left( {1 + 2} \right)$$

$= 2{x^5} + 2{x^3} - 2x - 3$.

Vậy $h\left( x \right) = 2{x^5} + 2{x^3} - 2x - 3.$

a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức $f\left( x \right),\,\,g\left( x \right)$ theo lũy thừa giảm dần của biến:

• $f\left( x \right) = 3{x^3} + 5x - 4 - {x^3} + 2{x^2} + 11$

$$= \left( {3 - 1} \right){x^3} + 2{x^2} + 5x - 4 + 11$$

$= 2{x^3} + 2{x^2} + 5x + 7$.

• $g\left( x \right) = {x^2} + 4 - 3{x^2} - \left( {3{x^2} - 7{x^3} - 1} \right)$

$$= {x^2} + 4 - 3{x^2} - 3{x^2} + 7{x^3} + 1$$

$$= 7{x^3} + (1 - 3 - 3){x^2} + 4 + 1$$

$= 7{x^3} - 5{x^2} + 5$.

b) Ta có $f\left( x \right) + g\left( x \right) = \left( {2{x^3} + 2{x^2} + 5x + 7} \right) + \left( {7{x^3} - 5{x^2} + 5} \right)$

$$= 2{x^3} + 2{x^2} + 5x + 7 + 7{x^3} - 5{x^2} + 5$$

$$= \left( {2 + 7} \right){x^3} + \left( {2 - 5} \right){x^2} + 5x + \left( {7 + 5} \right)$$

$= 9{x^3} - 3{x^2} + 5x + 12$.

Vậy $f\left( x \right) + g\left( x \right) = 9{x^3} - 3{x^2} + 5x + 12$.

c) Ta có $f\left( x \right) - g\left( x \right) = \left( {2{x^3} + 2{x^2} + 5x + 7} \right) - \left( {7{x^3} - 5{x^2} + 5} \right)$

$$= 2{x^3} + 2{x^2} + 5x + 7 - 7{x^3} + 5{x^2} - 5$$

$$= \left( {2 - 7} \right){x^3} + \left( {2 + 5} \right){x^2} + 5x + \left( {7 - 5} \right)$$

$= - 5{x^3} + 7{x^2} + 5x + 2$.

Vậy $f\left( x \right) - g\left( x \right) = - 5{x^3} + 7{x^2} + 5x + 2$.

a) Rút gọn và sắp xếp đa thức $M\left( x \right)$ theo lũy thừa giảm dần của biến, ta được:

$M\left( x \right) = 3x + {x^4} - 4{x^3} - {x^2} - 2{x^4} + 4{x^3} - x - 5$

$= \left( {{x^4} - 2{x^4}} \right) + \left( {4{x^3} - 4{x^3}} \right) - {x^2} + \left( {3x - x} \right) - 5$

$= - {x^4} - {x^2} + 2x - 5$.

Vậy $M\left( x \right) = - {x^4} - {x^2} + 2x - 5$.

b) • $A\left( x \right) = M\left( x \right) + N\left( x \right) = \left( { - {x^4} - {x^2} + 2x - 5} \right) + \left( {2x + 3} \right)$

$= - {x^4} - {x^2} + 2x - 5 + 2x + 3$

$$= - {x^4} - {x^2} + \left( {2x + 2x} \right) + \left( {3 - 5} \right)$$

$= - {x^4} - {x^2} + 4x - 2$.

• $B\left( x \right) = N\left( x \right) - M\left( x \right) = \left( {2x + 3} \right) - \left( { - {x^4} - {x^2} + 2x - 5} \right)$

$$= 2x + 3 + {x^4} + {x^2} - 2x + 5$$

$= {x^4} + {x^2} + \left( {2x - 2x} \right) + \left( {3 + 5} \right) = {x^4} + {x^2} + 8$.

Vậy $A\left( x \right) = - {x^4} - {x^2} + 4x - 2$; $B\left( x \right) = {x^4} + {x^2} + 8$.

c) Nghiệm của đa thức $N\left( x \right)$ là

$2x + 3 = 0$

$2x = - 3$

$x = - \frac{3}{2}$.

Vậy nghiệm của đa thức $N\left( x \right)$ là $x = - \frac{3}{2}$.

d) Ta có $B\left( x \right) = {x^4} + {x^2} + 8 = {x^4} + 2 \cdot \frac{1}{2}{x^2} + \frac{1}{4} + \frac{{31}}{4}$

$= {\left( {{x^2} + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{31}}{4} > 0{\kern 1pt} \,\,\forall x \in \mathbb{R}$

Do đó $B\left( x \right)$ vô nghiệm.

a) Ta có: $P\left( x \right) = - 2 - 3{x^4} - x - 5{x^3} + 10x - 17{x^2} + \frac{1}{2}{x^3} - 5 + {x^3}$

$P\left( x \right) = - 3{x^4} + \left( { - 5{x^3} + \frac{1}{2}{x^3} + {x^3}} \right) - 17{x^2} + \left( {10x - x} \right) - 5 - 2$

$P\left( x \right) = - 3{x^4} - \frac{7}{2}{x^3} - 17{x^2} + 9x - 7$.

b) Ta có bậc của đa thức $P\left( x \right)$ là 4, hệ số cao nhất là $- 3$ và hệ số tự do là $- 7$.

Ta có: $P\left( { - 2} \right) = - 3.{\left( { - 2} \right)^4} - \frac{7}{2}.{\left( { - 2} \right)^3} - 17.{\left( { - 2} \right)^2} + 9.\left( { - 2} \right) - 7$

$P\left( { - 2} \right) = - 49$.

c) Ta có: $Q\left( x \right) - P\left( x \right) = 2{x^4} - \frac{1}{2}{x^3} - 19x - 1$

Do đó, $Q\left( x \right) = P\left( x \right) + 2{x^4} - \frac{1}{2}{x^3} - 19x - 1$

$Q\left( x \right) = - 3{x^4} - \frac{7}{2}{x^3} - 17{x^2} + 9x - 7 + 2{x^4} - \frac{1}{2}{x^3} - 19x - 1$

$Q\left( x \right) = \left( { - 3{x^4} + 2{x^4}} \right) + \left( { - \frac{7}{2}{x^3} - \frac{1}{2}{x^3}} \right) - 17{x^2} + \left( {9x - 19x} \right) - 7 - 1$

$Q\left( x \right) = - {x^4} - 4{x^3} - 17{x^2} - 10x - 8$.

d) Thực hiện phép chia $P\left( x \right):\left( {2 - x} \right),$ ta có:

Vậy dư của phép chia $P\left( x \right):\left( {2 - x} \right)$ là $- 33$.

a) Các cạnh của phần diện tích hình vuông còn lại là $a - 1{,}2$ m.

Do đó, biểu thức biểu thị phần diện tích còn lại của mảnh vườn là: ${\left( {a - 1{,}2} \right)^2}$ m$^{2}$.

b) Khi $a = 25{,}5$ thì diện tích phần còn lại của mảnh vườn là:

${\left( {25{,}5 - 1{,}2} \right)^2} = 590{,}49$ (m$^{2}$)

Biểu thức biểu thức số xe được bán ra trong khoảng thời gian nêu trên là:

$- 0{,}016{t^4} + 0{,}49{t^3} - 4{,}8{t^2} + 14t + 70 + \left( { - 0{,}01{t^4}} \right) + 0{,}31{t^3} - 3{t^2} + 11t + 23$

$= \left( { - 0{,}016{t^4} - 0{,}01{t^4}} \right) + \left( {0{,}49{t^3} + 0{,}31{t^3}} \right) + \left( { - 4{,}8{t^2} - 3{t^2}} \right) + \left( {14t + 11t} \right) + 70 + 23$

$= - 0{,}026{t^4} + 0{,}8{t^3} - 7{,}8{t^2} + 28t + 93$.

a) Tất cả các thẻ trong hộp đều ghi số nhỏ nhỏ hơn 25.

Do đó, xác suất của biến cố A là $100\%$.

b) Tất cả các thẻ trong hộp đều ghi số tự nhiên hay không có thẻ nào ghi số thập phân.

Do đó, xác suất của biến cố B là $0\%$.

c) Trong 20 thẻ trong hộp thì có 19 thẻ ghi số nhỏ hơn 20 gồm $\left\{ {1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,...\,;\,\,19} \right\}.$

Do đó, xác suất của biến cố C là $\frac{{19}}{{20}}$.

d) Trong 20 thẻ trong hộp thì có 3 thẻ ghi số lớn hơn 17 gồm $\left\{ {18\,;\,\,19\,;\,\,20} \right\}.$

Do đó, xác suất của biến cố D là $\frac{3}{{20}}$.

e) Trong 20 thẻ trong hộp thì có 10 thẻ ghi số chẵn và 10 thẻ ghi số lẻ.

Do đó, xác suất của biến cố E là $50\%$.

g) Trong 20 thẻ trong hộp có các số chia hết cho 4 là $4\,;\,\,8\,;\,\,12\,;\,\,16\,;\,\,20$.

Xác suất số chia hết cho 4 là $\frac{5}{{20}}$.

h) Các số nguyên tố trên thẻ là $2\,;\,\,3\,;\,\,5\,;\,\,7\,;\,\,13\,;\,\,17\,;\,\,19$;

Xác suất xuất hiện số nguyên tố là $\frac{7}{{20}}$;

Xác suất xuất hiện là $\frac{7}{{20}}$.

a) Tập hợp $A$ gồm các kết quả thuận lợi cho biến cố "Số chấm trên mặt xuất hiện của xúc xắc là số chia 3 dư 2" là $A = \left\{ {2\,;\,\,5} \right\}$.

b) Xác suất gieo được mặt 5 chấm là $\frac{1}{6}$.

c) Số nguyên tố xuất hiện ở trên mặt con xúc xắc là $2\,;\,\,3\,;\,\,5.$

Xác suất của biến cố gieo được mặt có chấm là số nguyên tố là $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

a) Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố A: “Số được chọn là số nguyên tố” là:

$\left\{ {2;3;5;7} \right\}$. Do đó, có 4 kết quả thuận lợi.

Vậy xác suất của biến cố này là: $\frac{4}{7}.$

b) Kết quả thuận lợi cho biến cố B: “Số được chọn là số chia hết cho 2 và 5” là: $10$.

Do đó, có 1 kết quả thuận lợi.

Vậy, xác suất cho biến cố này là: $\frac{1}{7}.$

a) Xác suất để lấy ngẫu nhiên được một chiếc bút bi màu xanh là: $\frac{3}{{10}}.$

b) Xác suất để lấy ngẫu nhiên được một chiếc bút bi màu đỏ là: $\frac{2}{{10}} = \frac{1}{5}.$

a) Xác suất của biến cố “Thẻ được ra là hình bông hoa” là $\frac{2}{{15}}.$

b) Xác suất của biến cố “Thẻ được rút ra là hình vuông” là $\frac{8}{{15}}.$

c) Biến cố “Thẻ được rút ra không phải hình ngôi sao” tức là thẻ được rút ra có hình bông hoa hoặc hình vuông.

Do đó, xác suất của biến cố này là: $\frac{8}{{15}} + \frac{2}{{15}} = \frac{{10}}{{15}} = \frac{2}{3}.$

a) Xét $\Delta ABN$ và $\Delta BCM$ có:

$AB = BC$ (tam giác$ABC$ đều)

$\widehat B = \widehat C$ (tam giác $ABC$ đều)

$BN = CM$ (gt)

Do đó $\Delta ABN = \Delta BCM\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.g}}{\rm{.c}}} \right)$.

Suy ra $AN = BM$ (hai cạnh tương ứng)

b) Từ câu a: $\Delta ABN = \Delta BCM$ suy ra $\widehat {BAN} = \widehat {MBC}$ (hai góc tương ứng)

Theo tính chất góc ngoài của tam giác, ta có:

$\widehat {AGM} = \widehat {GBA} + \widehat {BAN} = \widehat {GBA} + \widehat {MBC} = \widehat {ABC} = 60^\circ$.

Vậy $\widehat {AGM} = 60^\circ$.

a) Trên tia đối của tia $MA$ lấy $D$ sao cho $MA = MD$ suy ra $AM = \frac{{AD}}{2}\,\,\,\left( 1 \right)$

• Xét $\Delta ABM$ và $\Delta CMD$ có

$AM = MD$ (theo cách vẽ)

$\widehat {AMB} = \widehat {CMD}$ (hai góc đối đỉnh)

$BM = CM$ (gt)

Do đó $\Delta AMB = \Delta DMC\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.g}}{\rm{.c}}} \right)$

Suy ra $AB = CD$ (hai cạnh tương ứng)

Và $\widehat {ABC} = \widehat {DCM}$ (hai góc tương ứng)

Do đó $\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = \widehat {DCM} + \widehat {ACB}$ nên $\widehat {ACD} = 90^\circ$.

• Xét $\Delta ABC$ và $\Delta DCA$ có:

$AB = CD$ (cmt)

$\widehat {ABC} = \widehat {DCM}$ (cmt)

Cạnh $AC$ chung

Do đó $\Delta ABC = \Delta CDA\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.g}}{\rm{.c}}} \right)$.

Suy ra $BC = AD\,\,\,\left( 2 \right)$ (hai cạnh tương ứng).

Từ (1) và (2) suy ra $AM = \frac{{BC}}{2}$.

b) Vì $AM = \frac{{BC}}{2};\,\,BM = \frac{{BC}}{2}$ nên $AM = BM$ suy ra $\Delta ABM\,$ cân.

Nếu $\widehat C = 30^\circ$ thì $\widehat {ABC} = 60^\circ$ nên $\Delta ABM$ đều.

Do đó $AB = AM = \frac{{BC}}{2}\widehat {BAC} = \widehat {ACD}\,\,\,\left( { = 90^\circ } \right)$ (tính chất tam giác đều).

Vậy $AB = \frac{{BC}}{2}$.

a) Xét $\Delta CAB$ và $\Delta CAD$ có $\widehat {CAB} = \widehat {CAD} = 90^\circ$

$AD = AB$

Cạnh $CA$ chung

Do đó $\Delta CAB = \Delta CAD\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}$.

Suy ra $CB = CD$ (hai cạnh tương ứng)

Mặt khác $BD = 2AB = 2 \cdot 3 = 6 = CB.$

Do đó $CB = CD = BD$.

Vậy tam giác $BCD$ là tam giác đều.

b) Theo giả thiết $CA = CM$ nên $\Delta CAM$ cân tại $C$.

Suy ra $\widehat {CAM} = \widehat {CMA} = \frac{{180^\circ - \widehat {ACM}}}{2} = \frac{{180^\circ - 30^\circ }}{2} = 75^\circ$.

• Xét $\Delta AHM$ vuông ta có

$\widehat {MAH} = 180^\circ - \widehat {AHM} - \widehat {AMH}$$= 180^\circ - 90^\circ - 75^\circ = 15^\circ$.

• Xét $\Delta AHB$ ta có

$\widehat {HAB} = 180^\circ - \widehat {AHB} - \widehat {HBA}$$= 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Mặt khác $\widehat {MAN} = \widehat {MAB} - \widehat {MAH}$$= 30^\circ - 15^\circ = 15^\circ$.

Do đó $\widehat {MAH} = \widehat {MAN} = 15^\circ$.

• Xét $\Delta MAN$ và $\Delta MAH$ có:

$AN = AH$, $\widehat {MAH} = \widehat {MAN}$ và cạnh $AM$ chung.

Do đó $\Delta MAN = \Delta MAH\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}$.

Suy ra $\widehat {ANM} = \widehat {AHM} = 90^\circ$. Vậy $MN \bot AB$.

a) Theo giả thiết, ta có $CH \bot AB\,;{\rm{ }}BH \bot AC$ nên $H$ là trực tâm tam giác $ABC$.

Suy ra $AH \bot BC$ hay $AM \bot BC$

Xét tam giác $BAM$ ta có

$\widehat {BAM} = 180^\circ - \widehat {AMB} - \widehat {MBA}$$180^\circ - 90^\circ - \widehat {MBA} = 90^\circ - \widehat {MBA}\,\,\,\,\,(1)$

Xét tam giác $BCE$ ta có

$\widehat {ECB} = 180^\circ - \widehat {CEB} - \widehat {MBE}$$= 180^\circ - 90^\circ - \widehat {MBA} = 90^\circ - \widehat {MBA}\,\,\,\,\,(2)$

Từ $(1),\,\,(2)$ suy ra $\widehat {BAM} = \widehat {ECB}$.

b) Xét hai tam giác vuông $AKE$ và $AHE$ có

$EK = EH$, $AE$ là cạnh chung.

Do đó $\Delta AKE = \Delta AHE$ (hai cạnh góc vuông bằng nhau).

Suy ra $\widehat {KAE} = \widehat {HAE}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat {HAE} = \widehat {KCB}$ (câu a) nên $\widehat {KAB} = \widehat {KCB}$.

a) Xét $\Delta ABD$ và $\Delta HBD$ có:

$\widehat {BAD} = \widehat {BHD} = 90^\circ$

$BD$ là cạnh chung

$\widehat {ABD} = \widehat {HBD}$ (do $BD$ là tia phân giác của $\widehat {ABD}$).

Do đó $\Delta ABD = \Delta HBD$ (cạnh huyền – góc nhọn).

b) Từ $\Delta ABD = \Delta HBD$ (câu a) suy ra $AD = HD$ (hai cạnh tương ứng).

Xét $\Delta DHC$ vuông tại $H$ có $DC$ là cạnh huyền nên $DC$ là cạnh lớn nhất.

Do đó $DC > HD$ nên $DC > AD.$

c) Xét $\Delta BKC$ có $CA \bot BK,{\rm{ }}KH \bot BC$ và $CA$ cắt $KH$ tại $D.$

Do đó $D$ là trực tâm của $\Delta BKC$, nên $BD \bot KC$. (1)

Gọi $J$ là giao điểm của $BD$ và $KC.$

Xét $\Delta BKJ$ và $\Delta BCJ$ có:

$\widehat {BJK} = \widehat {BJC} = 90^\circ$,

$BJ$ là cạnh chung,

$\widehat {KBJ} = \widehat {CBJ}$ (do $BJ$ là tia phân giác của $\widehat {ABD}$).

Do đó $\Delta BKJ = \Delta BCJ$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra $KJ = CJ$ (hai cạnh tương ứng).

Hay $J$ là trung điểm của $KC.$

Mà theo bài $I$ là trung điểm của $KC$ nên I và $J$ trùng nhau.

Do đó ba điểm $B,{\rm{ }}D,{\rm{ }}I$ thẳng hàng.

a) Xét $\Delta ADE$ và $\Delta BED$ có

$AD = BE$ (gt)

$\widehat {AED} = \widehat {BDE} = 90^\circ$

Cạnh $AB$ chung

Do đó $\Delta ADE = \Delta BED$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat {EAB} = \widehat {ABD}$ (hai góc tương ứng)

Vậy tam giác $ABC$ cân tại $C$.

b) Vì tam giác $ABC$ cân tại $C$ nên $CA = CB$.

Suy ra $C$ thuộc đường trung trực của $AB$.

Vì $\Delta ADE = \Delta BED$ (cmt) nên $\widehat {EBA} = \widehat {DAB}$ (hai góc tương ứng).

Suy ra tam giác $HAB$ cân tại $H$nên $HA = HB$.

Do đó $H$ thuộc đường trung trực của $AB$.

Vậy đường thẳng $CH$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.

c) Tam giác $ABC$ cân tại $C$ nên $\widehat {CAB} = \frac{{180^\circ - \widehat {ACB}}}{2}$.

Ta có $AE = BD$ (vì $\Delta ADE = \Delta BED$).

Suy ra $CA - AE = CB - BD$ nên $CE = CD$.

Do đó tam giác $CED$ cân tại $C$ nên $\widehat {CED} = \frac{{180^\circ - \widehat {ACB}}}{2}$.

Suy ra $\widehat {CAB} = \widehat {CED}$

Mà $\widehat {CAB}$ và $\widehat {CED}$ ở vị trí đồng vị nên $ED\,{\rm{//}}\,BA.$

a) Trên tia đối của tia $DA$ lấy điểm $H$ sao cho $DA = DH$.

• Xét $\Delta ADB$ và $\Delta HDC$ có

$BD = CD$ ($D$ là trung điểm của $BC$)

$\widehat {ADB} = \widehat {HDC}$ (đối đỉnh)

$AD = HD$ (cách dựng)

Do đó $\Delta ADB = \Delta HCD\,\,{\rm{(c}}{\rm{.g}}{\rm{.c)}}$.

Suy ra $AB = HC$ (hai cạnh tương ứng).

• Xét $\Delta ACH$ có $AC + HC > AH$ (bất đẳng thức trong tam giác).