Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 12 cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Chương V. Phương pháp tọa độ trong không gian

Đáp án đúng là: C

$\left( P \right):\,\,2x - 3z - 1 = 0$ có vectơ pháp tuyến là $\vec n = \left( {2;\,0;\, - 3} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;m;m - 1} \right)$, $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2; - 1;3} \right)$.

Để $\left( P \right) \bot \left( Q \right)$ thì $1.2 + m.\left( { - 1} \right) + \left( {m - 1} \right).3 = 0$$\Leftrightarrow m = \frac{1}{2}$.

Đáp án đúng là: B

$\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow j } \right]$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa $AB$ và song song với trục tung.

Đáp án đúng là: A

Có $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( { - 1; - 4; - 7} \right) = - \left( {1;4;7} \right) = - \frac{1}{2}\left( {2;8;14} \right)$.

Do đó $\vec n = \left( {7;\,4;\,1} \right)$ không là pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.

Đáp án đúng là: B

Trục $Oz$có vectơ đơn vị $\overrightarrow k = (0;0;1)$.

Mặt phẳng $(Q)$ có VTPT $\overrightarrow {{n_Q}} = (2;1; - 1)$.

Mặt phẳng $(P)$song song với trục $Oz$ và vuông góc với $(Q):2x + y - z + 7 = 0$nên $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow k ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = (1; - 2;0)$.

Đáp án đúng là: A

Gọi $H,K$lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M$trên mặt phẳng$(\alpha )$ và trục $Oy$.

Ta có : $K(0;2;0)$

$d(M,(\alpha )) = MH \le MK$.

Vậy khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng$(\alpha )$ lớn nhất khi mặt phẳng$(\alpha )$qua $K$ và vuông góc với$MK.$

Nên$(\alpha )$ có một veto pháp tuyến là:$\overrightarrow n = \overrightarrow {MK} = \left( { - 1;0; - 3} \right) = - \left( {1;0;3} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $A\left( { - 1;1; - 2} \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {1; - 2; - 2} \right)$ nên có phương trình

$\left( {x + 1} \right) - 2\left( {y - 1} \right) - 2\left( {z + 2} \right) = 0$$\Leftrightarrow x - 2y - 2z - 1 = 0$.

Vậy mặt phẳng cần tìm có phương trình: $x - 2y - 2z - 1 = 0$.

Đáp án đúng là: D

Gọi $\left( Q \right)$là mặt phẳng cần tìm.

Theo bài $\left( Q \right)//\left( P \right) \Rightarrow \left( Q \right):\,2x - y + 3z + m = 0\,\,\left( {m \ne 5} \right)$.

Mà $\left( Q \right)$ qua $A \Leftrightarrow 2.0 - \left( { - 3} \right) + 3.2 + m = 0 \Leftrightarrow m = - 9$.

Vậy mp$\left( Q \right):2x - y + 3z - 9 = 0$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {2;2;1} \right)$, vectơ pháp tuyến mặt phẳng $\left( Q \right):\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;2; - 1} \right)$.

Theo đề bài ta có vectơ pháp tuyến mặt phẳng $\left( P \right):\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {4; - 3; - 2} \right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ có dạng $4x - 3y - 2z + C = 0$.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $A\left( {0;1;0} \right)$ nên: $- 3 + C = 0 \Leftrightarrow C = 3$.

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là $4x - 3y - 2z + 3 = 0$.

Đáp án đúng là: C

$\overrightarrow {AB} = \left( { - 6;3;1} \right)$.

$\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {3;1;1} \right)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( Q \right)$.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa hai điểm $A\left( {3;2;1} \right),B\left( { - 3;5;2} \right)$và vuông góc với mặt phẳng $\left( Q \right)$.

$\Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {2;9; - 15} \right)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$.

Mà $A\left( {3;2;1} \right) \in \left( P \right)$

$\Rightarrow \left( P \right):2x + 9y - 15z - 9 = 0$.

Suy ra $a = 2;b = 9;c = - 15$. Do đó $a + b + c = - 4$.

Đáp án đúng là: B

Ta có, $\left( Q \right)$song song $\left( P \right)$nên phương trình mặt phẳng $\left( Q \right):2x - 2y + z + C = 0$; $C \ne - 5$

Chọn $M\left( {0\,;\,0\,;\,5} \right) \in \left( P \right)$

Ta có $d\left( {\left( P \right)\,,\,\left( Q \right)} \right) = d\left( {M\,,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {5 + C} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = 3$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}C = 4\\C = - 14\end{array} \right.$

$C = 4 \Rightarrow \left( Q \right):2x - 2y + z + 4 = 0$ khi đó $\left( Q \right)$ cắt $Ox$ tại điểm ${M_1}\left( { - 2\,;\,0\,;\,0} \right)$có hoành độ âm nên trường hợp này $\left( Q \right)$ không thỏa đề bài.

$C = - 14 \Rightarrow \left( Q \right):2x - 2y + z - 14 = 0$ khi đó $\left( Q \right)$cắt $Ox$ tại điểm ${M_2}\left( {7\,;\,0\,;\,0} \right)$có hoành độ dương do đó $\left( Q \right):2x - 2y + z - 14 = 0$ thỏa đề bài.

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( Q \right):2x - 2y + z - 14 = 0$.

Đáp án đúng là: A

Gọi ba điểm$A\left( {a;0;0} \right)$, $B\left( {0;{\rm{ }}b;{\rm{ }}0} \right)$, $C\left( {0;{\rm{ }}0;{\rm{ }}c} \right)$ với $abc \ne 0$, khi đó phương trình có dạng:

$(P):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$.

Để $H\left( {2;{\rm{ }}1;{\rm{ }}1} \right)$ là trực tâm$\Delta ABC$, điều kiện là:

$\{\begin{matrix}HA\perp BC \\ HB\perp AC \\ H\in (P)\end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix}\overrightarrow{HA}.\overrightarrow{BC}=0 \\ \overrightarrow{HB}.\overrightarrow{AC}=0 \\ \frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix}b-c=0 \\ 2a-c=0 \\ \frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix}a=3 \\ b=c=6\end{matrix}.$

Thay $a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c$ vào (1), ta được: $(P):\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{6} = 1$$\Leftrightarrow 2x + y + z - 6 = 0$.

Đáp án đúng là: D

Phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm $A( - 3;0;0),B(0;4;0),C(0;0; - 2)$là:

$\frac{x}{{ - 3}} + \frac{y}{4} + \frac{z}{{ - 2}} = 1$.

Đáp án đúng là: D

Gọi $A\left( {a;0;0} \right),\,B\left( {0;a;0} \right),\,C\left( {0;0;a} \right)$$\left( {a \ne 0} \right)$là giao điểm của mặt phẳng$\left( \alpha \right)$và các tia $Ox,$$Oy,$$Oz$.

Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$qua A, B, C là: $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} + \frac{z}{a} = 1$.

Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ qua điểm $M\left( {5;4;3} \right) \Rightarrow a = 12$

Ta có $\frac{x}{{12}} + \frac{y}{{12}} + \frac{z}{{12}} = 1 \Leftrightarrow x + y + z - 12 = 0$.

Đáp án đúng là: A

Có $AB = \sqrt {{{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {{\left( {4 - 2} \right)}^2} + {{\left( {4 - 3} \right)}^2}} = 3$.

Vì $d\left( {A,\left( P \right)} \right) = 3$ nên $\frac{{\left| {2.1 + 2 + m.3 - 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {m^2}} }} = 3$$\Leftrightarrow \frac{{\left| {3 + 3m} \right|}}{{\sqrt {5 + {m^2}} }} = 3$$\Leftrightarrow \left| {1 + m} \right| = \sqrt {5 + {m^2}}$

$\Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 = 5 + {m^2}$$\Leftrightarrow m = 2$.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng $AB$ nhận $\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;0;2} \right) = \overrightarrow a$ làm vectơ chỉ phương.

Đáp án đúng là: B

Gọi $M$là giao điểm của $\Delta$ và $d$. Suy ra $M\left( {2 + t; - 4t;3} \right)$.

Đường thẳng $\Delta$ nhận $\overrightarrow {AM} = \left( {2 + t; - 4t - 1;1} \right)$.

Vì $\Delta //\left( P \right)$ nên $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {{n_P}} = 0 \Leftrightarrow \left( {2 + t} \right).2 + \left( { - 4t - 1} \right).\left( { - 1} \right) + 1.1 = 0$$\Leftrightarrow t = - 1$.

Suy ra $\overrightarrow {AM} = \left( {1;3;1} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$ là: $\frac{{x - 4}}{3} = \frac{{y - 2}}{4} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}.$

Đáp án đúng là: D

Điểm $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC \Rightarrow M\left( { - 2;\,2;\,3} \right).$

Đường thẳng $AM$ đi qua điểm$A$ và nhận$\overrightarrow {AM} = \left( { - 5;\,4;\,3} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Phương trình đường thẳng $AM$ là: $\frac{{x - 3}}{{ - 5}} = \frac{{y + 2}}{4} = \frac{z}{3}.$

Đáp án đúng là: A

Vì đường thẳng $\Delta$ song song với đường thẳng$d$ nên $\overrightarrow {{u_\Delta }} = \overrightarrow {{u_d}} = \left( {4;\,2;\,3} \right).$

Phương trình đường thẳng $\Delta$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + 4t\\y = - 2 + 2t\\z = 2 + 3t\end{array} \right..$

Đáp án đúng là: C

Vì đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ nên $\overrightarrow {{u_\Delta }} = \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {2;\, - 3;\,6} \right)$.

Phương trình đường thẳng $\Delta$ là: $\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 4}}{{ - 3}} = \frac{{z - 3}}{6}.$

Đáp án đúng là: B

$\Delta$ đi qua điểm $A\left( {1;1; - 1} \right)$ có véctơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1; - 2;2} \right)$ và $d$ đi qua điểm $B\left( {1; - 1;1} \right)$

có véctơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;2;1} \right)$

Ta có $\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow {{u_d}} = 1.2 - 2.2 + 2.1 = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} \bot \overrightarrow {{u_d}}$ suy ra $\Delta$ vuông góc với $d$

Mặt khác $\left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( { - 6;3;6} \right),\overrightarrow {AB} = \left( {0; - 2;2} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right].\overrightarrow {AB} = - 6.0 + 3.\left( { - 2} \right) + 6.2 = 6 \ne 0$

Suy ra $\Delta$ và $d$ chéo nhau.

Đáp án đúng là: D

Tọa độ giao điểm $I$ của$d$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ là nghiệm của hệ:

$\{\begin{matrix}x=1+t \\ y=t \\ z=-1+2t \\ 2x+2y-z-5=0\end{matrix}\Leftrightarrow t=1\Leftrightarrow I(2;1;1)$ . Suy ra $M=2+1+1=4$

Đáp án đúng là: A

Gọi $H$là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $\left( P \right)$ $\Rightarrow MH:\left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\y = 5 + t\\z = 2\end{array} \right.$

$H \in MH \Rightarrow H\left( { - 4;5 + t;2} \right)$.

$H \in \left( P \right) \Leftrightarrow 5 + t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = - 6 \Rightarrow H\left( { - 4; - 1;2} \right)$.

Đáp án đúng là: C

$\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;\,4;\,1} \right)$

Gọi $N$ là giao điểm của $\Delta$ và $d.$

$N \in d \Rightarrow N\left( {2t;\,4t;\,3 + t} \right)$

$\begin{array}{l}\overrightarrow {MN} = \left( {2t - 2;\,\,4t - 3;\,\,t + 4} \right)\\\Delta \bot d \Rightarrow \overrightarrow {MN} .\overrightarrow u = 0 \Leftrightarrow t = \frac{4}{7}.\end{array}$

Khi đó: $\overrightarrow {MN} = \left( { - \frac{6}{7};\,\, - \frac{5}{7};\,\frac{{32}}{7}} \right)$

Đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}qua\,\,M\left( {2;\,3;\, - 1} \right)\\\overrightarrow {{u_\Delta }} = - 7.\overrightarrow {MN} = \left( {6;\,5;\, - 32} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( \Delta \right):\frac{{x - 2}}{6} = \frac{{y - 3}}{5} = \frac{{z + 1}}{{ - 32}}$.

Đáp án đúng là: C

Gọi $M = d \cap {d_2},\,\,{{\rm{d}}_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 1 - t\\z = 1 + t\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {t + 2,\,\, - t - 1,\,\,t + 1} \right).$

Đường thẳng $d$ nhận $\overrightarrow {AM} = \left( {t + 1;\, - t;\,t - 2} \right)$ là một vectơ chỉ phương.

Đường thẳng ${d_1}$ có $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;\,4;\, - 2} \right).$

Ta có: $d \bot {d_1} \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow u = 0 \Leftrightarrow \left( {t + 1} \right) - 4t - 2\left( {t - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \left( {2;\, - 1;\, - 1} \right).$

Đường thẳng $d$ qua $A\left( {1;\, - 1;\,3} \right)$ và nhận $\overrightarrow {AM} = \left( {2;\, - 1;\, - 1} \right)$ là một vectơ chỉ phương nên

$d:\,\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}.$

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {3; - 5; - 1} \right)$ là vectơ chỉ phương của $d$.

$\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;0;1} \right)$ là vectơ pháp tuyến của $\left( P \right):2x + z - 2 = 0$.

Ta có $\left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( { - 5; - 5;10} \right)$.

Do $\Delta$ vuông góc với $d$ và song song với $\left( P \right)$ nên $\overrightarrow u = \left( {1;1; - 2} \right)$ là vectơ chỉ phương của $\Delta$.

Khi đó, phương trình của $\Delta$ là $\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 3}}{1} = \frac{{z - 4}}{{ - 2}}$.

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng ${d_1}:\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 4}}{3}$ đi qua điểm $M\left( {1; - 2;4} \right)$, có một VTCP là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 2;1;3} \right)$.

Đường thẳng ${d_2}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{3}$ có một VTCP là $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1; - 1;3} \right)$.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau ${d_1},{d_2}$$\Rightarrow$$\left( P \right)$ qua điểm $M\left( {1; - 2;4} \right),$ có một VTPT là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {6;9;1} \right)$. Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là :

$\left( P \right):6\left( {x - 1} \right) + 9\left( {y + 2} \right) + \left( {z - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow 6x + 9y + z + 8 = 0$.

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng $\Delta :\frac{{x - 10}}{5} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 2}}{1}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {5;1;1} \right)$.

Mặt phẳng $\left( P \right):10x + 2y + mz + 11 = 0$có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {10\,;\,2\,;\,m} \right)$.

Để mặt phẳng $\left( P \right)$ vuông góc với đường thẳng $\Delta$ thì $\overrightarrow u$ phải cùng phương với $\overrightarrow n$ $\Rightarrow \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2} = \frac{1}{m} \Leftrightarrow m = 2$.

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng ${d_1}$ đi qua điểm $A\left( {2;0;0} \right)$ có VTCP là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 1;1;1} \right)$ và đường thẳng ${d_2}$ đi qua điểm $B\left( {0;1;2} \right)$ có VTCP là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 2;1;1} \right)$

Mặt phẳng $\left( P \right)$ song song ${d_1};{d_2}$ nên $\left( P \right)$ có VTPT là $n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {0; - 1;1} \right)$

Do đó: Mặt phẳng $\left( P \right)$ có dạng $y - z + m = 0$

Mặt khác: $\left( P \right)$ cách đều hai đường thẳng ${d_1};{d_2}$ nên

$d\left( {{d_1},\left( P \right)} \right) = d\left( {{d_2},\left( P \right)} \right) \Leftrightarrow d\left( {A,\left( P \right)} \right) = d\left( {B,\left( P \right)} \right) \Leftrightarrow \left| m \right| = \left| {m - 1} \right| \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}$

Vậy $\left( P \right)$:$y - z + \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow 2y - 2z + 1 = 0$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 1;2} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 1;1;1} \right)$.

Ta có $\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.\left( { - 1} \right) - 1.1 + 2.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {1^2}} }} = 0$.

Vậy $\left( {{d_1},{d_2}} \right) = 90^\circ$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1;1} \right)$, vectơ chỉ phương của trục $Ox$ là $\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)$.

Vậy $\cos \left( {d,Ox} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow i } \right)} \right| = \frac{{\left| {2 + 0 + 0} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}$.

Đáp án đúng là: B

Gọi $\varphi$ là góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $\left( P \right)$.

Ta có $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {5;1;0} \right)$ và $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {3; - 2;0} \right)$.

Khi đó $\sin \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{n_p}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_p}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_p}} } \right|}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \varphi = 45^\circ$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {2; - 1;2} \right),\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1;1; - 1} \right)$.

Ta có $\sin \left( {\Delta ,\left( \alpha \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\sqrt 3 }}{9}$$\Rightarrow \cos \left( {\Delta ,\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\sqrt {78} }}{9}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 1; - 1} \right),\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;0; - 1} \right)$.

Ta có $\cos \left[ {\left( P \right),\left( Q \right)} \right] = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_p}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_p}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_p}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}} = \frac{{\left| {2 + 0 + 1} \right|}}{{\sqrt {4 + 1 + 1} .\sqrt {1 + 1} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Vậy $\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = 30^\circ$.

Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = \left( {1;1;1} \right)$.

Mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$.

Gọi $\varphi$ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ và $\left( {Oxy} \right)$.

Ta có $\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow k } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.0 + 1.0 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$.

Đáp án đúng là: C

Từ hệ trục tọa độ $Oxyz$ với $A \equiv O\left( {0;0;0} \right)\,,\,B\left( {a;0;0} \right)\,,\,C\left( {a;a;0} \right)\,,\,D\left( {0;a;0} \right)$,$A'\left( {0;0;a} \right)\,,\,$

$B'\left( {a;0;a} \right)\,,\,$$C'\left( {a;a;a} \right)\,,\,D'\left( {0;a;a} \right).$

Ta thấy $OC \bot \left( {BB'D'D} \right)$ và $\overrightarrow {OC} = \left( {a;a;0} \right)$ nên suy ra mặt phẳng $\left( {BB'D'D} \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1;1;0.} \right)$.

Đường thẳng $A'B$có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {A'B} = \left( {a;0; - a} \right)$ ta chọn $\overrightarrow u = \left( {1;0; - 1} \right).$

Ta có $\sin \alpha = \frac{{\left| {\,\overrightarrow n .\overrightarrow {u\,} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \frac{{\left| {1.1 + 1.0 + 0.( - 1)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {0^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{1}{2}.$

Đáp án đúng là: A

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ $O \equiv A',\,Ox \equiv A'D',\,Oy \equiv A'B',\,\,Oz \equiv A'A.$

Khi đó:$A'(0;0;0)$, $D'(a;0;0)$, $B'(0;a;0)$, $C'(a;a;0)$,

$A(0;0;a)$, $D(a;0;a)$, $B(0;a;a)$, $C(a;a;a)$.

$$\Rightarrow \overrightarrow {A'B'} = (0;a;0),\,\overrightarrow {A'D} = (a;0;a),\,\overrightarrow {A'A} = (0;0;a),\,\overrightarrow {A'C'} = (a;a;0).$$

$\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'D} } \right] = ({a^2};0; - {a^2}).$

Chọn $\overrightarrow {{n_1}} = (1;0; - 1)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {A'B'CD} \right)$.

$\left[ {\overrightarrow {A'A} ,\overrightarrow {A'C} } \right] = ( - {a^2};{a^2};0).$

Chọn $\overrightarrow {{n_2}} = ( - 1;1;0)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {ACC'A'} \right)$.

Góc giữa hai mặt phẳng $\left( {A'B'CD} \right)$ và $\left( {ACC'A'} \right)$là:

$${\rm{cos}}\alpha {\rm{ = }}\left| {{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| { - 1} \right|}}{{\sqrt 2 .\sqrt 2 }} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 60^\circ .$$

Đáp án đúng là: C

Gọi $\Delta$ là đường thẳng biểu thị cho hướng chuyển động bay lên của máy bay.

Ta có $\Delta$ nhận vectơ $\overrightarrow v = \left( {150;150;40} \right) = 10\left( {15;15;4} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {0;0;1} \right)$.

Gọi $\varphi$ là góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$.

Suy ra $\sin \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow v ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow v .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow v } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {15.0 + 15.0 + 4.1} \right|}}{{\sqrt {{{15}^2} + {{15}^2} + {4^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {466} }}$.

Vậy góc nâng của máy bay là $\varphi \approx 11^\circ$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {0; - 1;2} \right)$, $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;m; - 1} \right)$.

Theo đề ta có $\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {0.1 + \left( { - 1} \right).m + 2.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {m^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}$

$\Leftrightarrow \frac{{\left| {m + 2} \right|}}{{\sqrt 5 .\sqrt {{m^2} + 2} }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}$$\Leftrightarrow \left| {m + 2} \right| = \sqrt {{m^2} + 2}$ $\Leftrightarrow {m^2} + 4m + 4 = {m^2} + 2$$\Leftrightarrow m = - \frac{1}{2}$.

Đáp án đúng là: B

Giả sử $d \cap {\Delta _1} = M \in {\Delta _1}$. Suy ra $M\left( {1 + 2t;2 + t; - 2 - t} \right)$.

Đường thẳng $d$ nhận $\overrightarrow {AM} = \left( {2 + 2t;2 + t; - 1 - t} \right)$ làm một vectơ chỉ phương.

$\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 1;2;2} \right)$ là một vectơ chỉ phương của ${\Delta _2}$.

Khi có $\cos \left( {d,{\Delta _2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| { - 2 - 2t + 4 + 2t - 2 - 2t} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {2 + 2t} \right)}^2} + {{\left( {2 + t} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - t} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {2^2}} }}$

$= \frac{{\left| { - 2t} \right|}}{{3\sqrt {6{t^2} + 14t + 9} }}$$= \frac{1}{3}\sqrt {\frac{{4{t^2}}}{{6{t^2} + 14t + 9}}}$.

Xét hàm số $y = \frac{{4{t^2}}}{{6{t^2} + 14t + 9}}$.

Có $y' = \frac{{8t\left( {6{t^2} + 14t + 9} \right) - \left( {12t + 14} \right)4{t^2}}}{{{{\left( {6{t^2} + 14t + 9} \right)}^2}}}$$= \frac{{48{t^3} + 112{t^2} + 72t - \left( {48{t^3} + 56{t^2}} \right)}}{{{{\left( {6{t^2} + 14t + 9} \right)}^2}}}$$= \frac{{56{t^2} + 72t}}{{{{\left( {6{t^2} + 14t + 9} \right)}^2}}}$.

Có $y' = 0 \Leftrightarrow 56{t^2} + 72t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0 \Rightarrow y = 0\\t = - \frac{9}{7} \Rightarrow y = 7{,}2\end{array} \right.$.