Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 11 cấu trúc mới (có đáp án) - Tự luận

Hướng dẫn giải

a) Hàm số $y = {\log _3}\left( {2x - {x^2}} \right)$ xác định khi và chỉ khi $2x - {x^2} > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 2$.

Vậy tập xác định của hàm số $D = \left( {0\,;\,2} \right)$.

b) Hàm số $y = \sqrt {{3^x} - 1} - {\log _2}{(x - 2)^2}$ xác định$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^x} - 1 \ge 0\\x - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 2\end{array} \right.$.

Vậy tập xác định của hàm số $D = \left[ {0\,;\, + \infty } \right)\backslash \left\{ 2 \right\}$.

Hướng dẫn giải

a) $\log \left( {100{a^3}} \right) = \log 100 + \log {a^3} = 2 + 3\log a = 3$.

b) Ta có ${1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3} = \frac{{{{\left( {n\left( {n + 1} \right)} \right)}^2}}}{4}$.

Mặt khác $D = 1 + {2^2}{\log _{\sqrt 2 }}2 + {3^2}{\log _{\sqrt[3]{2}}}2 + .... + {2018^2}{\log _{\sqrt[{2018}]{2}}}2$$= 1 + {2^2}{\log _{{2^{\frac{1}{2}}}}}2 + {3^2}{\log _{{2^{\frac{1}{3}}}}}2 + .... + {2018^2}{\log _{{2^{\frac{1}{{2018}}}}}}2$$= 1 + {2^3}{\log _2}2 + {3^3}{\log _2}2 + .... + {2018^3}{\log _2}2$$= 1 + {2^3} + {3^3} + ... + {2018^3}$$= {\left[ {\frac{{2018\left( {2018 + 1} \right)}}{2}} \right]^2}$$= {1009^2}{.2019^2}$.

Hướng dẫn giải

a) ${3^x} = \frac{1}{9} \Leftrightarrow {3^x} = {3^{ - 2}} \Leftrightarrow x = - 2$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x = - 2.$

b) ${2^x}{.15^{x + 1}} = {3^{x + 3}}$$\Leftrightarrow$${2^x}{.5^{x + 1}} = {3^2}$$\Leftrightarrow$${10^x} = \frac{9}{5}$$\Leftrightarrow$$x = \log \frac{9}{5} = \log 9 - \log 5$ $\Leftrightarrow$$x = 2\log 3 - \log 5$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 2\log 3 - \log 5$.

c) ${4^{x - 1}} = {8^{3 - 2x}} \Leftrightarrow \frac{{{2^{2x}}}}{4} = \frac{{512}}{{{2^{6x}}}}$$\Leftrightarrow {2^{8x}} = 2048$$\Leftrightarrow {2^{8x}} = {2^{11}}$$\Leftrightarrow 8x = 11$$\Leftrightarrow x = \frac{{11}}{8}$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{{11}}{8}.$

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện $2x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}$.

${\log _3}\left( {2x - 1} \right) = 2 \Leftrightarrow 2x - 1 = {3^2} \Leftrightarrow x = 5$ (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 5$.

b) Điều kiện: ${x^2} - 5x + 6 > 0$$\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}x > 3\\x < 2\end{array} \right.$;

$\left( {x - 2} \right)\left[ {{{\log }_{0{,}5}}\left( {{x^2} - 5x + 6} \right) + 1} \right] = 0$$\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\{\log _{0{,}5}}\left( {{x^2} - 5x + 6} \right) + 1 = 0\end{array} \right.$.

+) $x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2$(không thỏa mãn điều kiện).

+) ${\log _{0{,}5}}\left( {{x^2} - 5x + 6} \right) + 1 = 0$$\Leftrightarrow$${x^2} - 5x + 6 = 2$$\Leftrightarrow$${x^2} - 5x + 4 = 0$$\Leftrightarrow$$\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 4\end{array} \right.$( thỏa mãn).

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ {1;\,4} \right\}$.

c) Điều kiện: $x > 0$.

Ta có: ${\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{\frac{1}{3}}}x = 6 \Leftrightarrow {\log _3}x + 2{\log _3}x - {\log _3}x = 6 \Leftrightarrow {\log _3}x = 3 \Leftrightarrow x = 27$(nhận).

Vậy phương trình có nghiệm là $x = 27$.

Hướng dẫn giải

a) ${5^{x - 1}} \ge {5^{{x^2} - x - 9}}$$\Leftrightarrow x - 1 \ge {x^2} - x - 9 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 8 \le 0 \Leftrightarrow - 2 \le x \le 4$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S = \left[ { - 2;4} \right]$.

b) ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{x^2} - 2x}} \ge \frac{1}{8}$$\Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{x^2} - 2x}} \ge {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} \Leftrightarrow {x^2} - 2x \le 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 3$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S = \left[ { - 1;3} \right].$

c) Ta có: ${3^{x - 1}}{.5^x} \le 75 \Leftrightarrow \frac{1}{3}{.3^x}{.5^x} \le 75 \Leftrightarrow {15^x} \le 225 = {15^2} \Leftrightarrow x \le 2$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( { - \infty \,;2} \right]$.

Hướng dẫn giải

a) Bất phương trình ${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 3} \right) \ge {\log _{\frac{1}{2}}}4$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 \le 4\\x - 3 > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 7\\x > 3\end{array} \right. \Leftrightarrow 3 < x \le 7$ .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S = \left( {3;7} \right]$.

b) Điều kiện của bất phương trình là $x > \frac{9}{4}$.

Khi đó bất phương trình đã cho thành

${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {4x - 9} \right) > {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 10} \right)$$\Leftrightarrow 4x - 9 < x + 10 \Leftrightarrow x < \frac{{19}}{3}$. (Do $a = \frac{1}{2} < 1$).

So điều kiện ta được $\frac{9}{4} < x < \frac{{19}}{3}$.

c) Ta có ${\log _2}\left( {x + 1} \right) - 2{\log _4}\left( {5 - x} \right) < 1 - {\log _2}\left( {x - 2} \right)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 < x < 5\\{\log _2}\left( {x + 1} \right) - {\log _2}\left( {5 - x} \right) < 1 - {\log _2}\left( {x - 2} \right)\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 < x < 5\\{\log _2}\left( {x + 1} \right) + {\log _2}\left( {x - 2} \right) < {\log _2}2 + {\log _2}\left( {5 - x} \right)\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 < x < 5\\{\log _2}\left[ {\left( {x + 1} \right).\left( {x - 2} \right)} \right] < {\log _2}\left( {10 - 2x} \right)\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 < x < 5\\\left( {x + 1} \right).\left( {x - 2} \right) < 10 - 2x\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 < x < 5\\{x^2} + x - 12 < 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 < x < 5\\ - 4 < x < 3\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,2 < x < 3$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left( {2\,;\,\,3} \right)$.

Hướng dẫn giải

a) Tam giác ABC vuông cân tại A có AH là trung tuyến cũng là đường cao $\Rightarrow BC \bot AH$

$\left. \begin{array}{l}BC \bot AH\\BC \bot SA\,\,(SA \bot \left( {ABC} \right),BC \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAH} \right)$.

b) Ta có: $\left. \begin{array}{l}AI \bot AH\,\,(gt)\\AI \bot BC\,\,(BC \bot \left( {SAH} \right),AI \subset \left( {SAH} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AI \bot \left( {SBC} \right)$

Mà $AI \subset \left( {AIC} \right) \Rightarrow \left( {AIC} \right) \bot \left( {SBC} \right)$

c) Tam giác ABC vuông cân tại A, có $AB = a\sqrt 2 \Rightarrow BC = 2a \Rightarrow AH = a$

Tam giác SAH có: $SA = AH = a \Rightarrow \Delta SAH$ vuông cân tại A

$\Rightarrow$I là trung điểm của SH

Gọi K là trung điểm của AH$\Rightarrow IK$là đường trung bình của tam giác SAH $\Rightarrow IK//SA$

$\Rightarrow IK \bot \left( {ABC} \right)$

$\Rightarrow$K là hình chiếu của I lên (ABC)

$\Rightarrow$BK là hình chiếu của BI lên (ABC)

$\Rightarrow \left( {BI,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {BI,BK} \right) = \widehat {IBK}$

$KH = \frac{{AH}}{2} = \frac{a}{2}$

$BH = \frac{{BC}}{2} = a$ $\Rightarrow BK = \sqrt {B{H^2} + K{H^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}$

$IK = \frac{{SA}}{2} = \frac{a}{2}$$\Rightarrow \tan \widehat {IBK} = \frac{{IK}}{{BK}} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AC \bot BD{\rm{ }}\\AC \bot SI\,{\rm{ }}\,\left( {SI \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.$

$\Rightarrow AC \bot \left( {SBD} \right)$$\Rightarrow \left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)$.

Vì $I$ là trung điểm của $BO$$\Rightarrow BI = \frac{1}{4}BD$ mà $AM = \frac{1}{4}AD$ nên $IM//AB$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}IM \bot AD{\rm{ }}\,\left( {IM{\rm{//}}AB,AB \bot AD} \right)\\SI \bot AD\,{\rm{ }}\,\left( {SI \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.$

$\Rightarrow AD \bot \left( {SIM} \right)$$\Rightarrow \left( {SAD} \right) \bot \left( {SIM} \right)$.

b) Ta có $IC$ là hình chiếu của $SC$ lên $\left( {ABCD} \right)$$\Rightarrow \,\left( {SC,\,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,\,IC} \right)$.

Do $ABCD$ là hình vuông cạnh $2a$ nên $BD = 2a\sqrt 2$.

$IB = \frac{1}{4}BD = \frac{1}{4}.2a\sqrt 2 = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$; $OI = BI = \frac{{a\sqrt 2 }}{2};OC = a\sqrt 2$.

Xét $\Delta SIB$ vuông tại $I$, có

$SI = \sqrt {S{B^2} - B{I^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}$$= \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

$IC = \sqrt {O{I^2} + O{C^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {10} }}{2}$.

Xét $\Delta SIC$ ta có $\tan \widehat {SCI} = \frac{{SI}}{{IC}} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}$$\Rightarrow \,\widehat {SCI} \approx {24^{\rm{o}}}$.

c) Trong $\Delta SIM$, gọi $IH$ là đường cao.

Ta có: $\left. \begin{array}{l}\left( {SIM} \right) \bot \left( {SAD} \right)\\\left( {SIM} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SM\\IH \bot SM;IH \subset \left( {SIM} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \,\,IH \bot \left( {SAD} \right)$$\Rightarrow d\left( {I,\,\left( {SAD} \right)} \right) = IH$.

Ta có: $\frac{{d\left( {G,\,\left( {SAD} \right)} \right)}}{{d\left( {I,\,\left( {SAD} \right)} \right)}} = \frac{{GA}}{{IA}} = \frac{2}{3}$$\Rightarrow d\left( {G,\,\left( {SAD} \right)} \right) = \frac{2}{3}.d\left( {I,\,\left( {SAD} \right)} \right) = \frac{2}{3}IH$.

Ta có: $\frac{{IM}}{{AB}} = \frac{{MD}}{{AD}} = \frac{3}{4}$$\Rightarrow \,\,IM = \frac{3}{4}.2a = \frac{{3a}}{2}$.

Xét $\Delta SIM$, ta có: $\frac{1}{{I{H^2}}} = \frac{1}{{S{I^2}}} + \frac{1}{{I{M^2}}} = \frac{2}{{{a^2}}} + \frac{4}{{9{a^2}}} = \frac{{22}}{{9{a^2}}} \Rightarrow IH = \frac{{3a\sqrt {22} }}{{22}}\,\,.$

$\Rightarrow d\left( {G,\,\left( {SAD} \right)} \right) = \frac{2}{3}.\frac{{3a\sqrt {22} }}{{22}} = \frac{{a\sqrt {22} }}{{11}}$ .

Hướng dẫn giải

a) Do $ABCD$ là hình chữ nhật nên $CD \bot AD$.

Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot CD$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right)$.

b) $\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AM\\BD \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAM} \right)$.

c) Hình chiếu của $A$ lên $\left( {SAM} \right)$ là $A$

Hình chiếu của $D$ lên $\left( {SAM} \right)$ là $M$ (do $BD \bot \left( {SAM} \right)$ tại $M$)

$\Rightarrow$ Hình chiếu của $AD$ lên $\left( {SAM} \right)$ là $AM$

$\Rightarrow \left( {AD,\left( {SAM} \right)} \right) = \left( {AD,AM} \right) = \widehat {MAD}$.

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $A,AM$ là đường cao, ta có:$AM = \frac{{AB.AD}}{{BD}} = \frac{{AB.AD}}{{\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} }} = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}a$.

Xét $\Delta AMD$vuông tại $M$, ta có $\cos \widehat {MAD} = \frac{{AM}}{{AD}} = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}} \Rightarrow \widehat {MAD} \approx 18{,}43^\circ$.

d) $O = AC \cap BD$

$CA \cap \left( {SBD} \right) = O$ $\Rightarrow \frac{{d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right)}} = \frac{{CO}}{{AO}} = 1$

$\Rightarrow d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right)$

Vẽ $AH \bot SM$ tại $H$.

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

Theo sơ đồ trên, ta có

a) Xác suất cả hai động cơ đều chạy tốt là: 0,48

b) Xác suất cả hai động cơ đều không chạy tốt là 0,08

c) Xác suất động cơ I chạy tốt, động cơ II chạy không tốt là: 0,32

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

Có .

Hướng dẫn giải

a) Chọn trục Oy theo phương thẳng đứng, chiều dương hướng từ dưới mặt đất lên trời, gốc O ở mặt đất và M là vị trí viên đạn bắt đầu được bắn lên (thời điểm t = 0). Khi đó chuyển động của viên đạn là chuyển động biến đổi với vận tốc ban đầu v$_{o}$ = 196m/s với gia tốc g = -9,8 m/s$^{2}$ (gia tốc nhận giá trị âm vì vectơ gia tốc ngược chiều với chiều dương của trục). Sau khi bắn được t (s), viên đạn đi được quãng đường s(t) = 1 + 196t 4,9t$^{2}$ .