Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 11 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\sqrt x .\sqrt[3]{{{x^2}.\sqrt x }} = {x^{\frac{1}{2}}}.\sqrt[3]{{{x^2}.{x^{\frac{1}{2}}}}} = {x^{\frac{1}{2}}}.\sqrt[3]{{{x^{\frac{5}{2}}}}} = {x^{\frac{1}{2}}}.{x^{\frac{5}{6}}} = {x^{\frac{1}{2} + \frac{5}{6}}} = {x^{\frac{4}{3}}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $P = \frac{{{a^{2 + \sqrt 3 }}.{{\left( {{a^{1 - \sqrt 3 }}} \right)}^{1 + \sqrt 3 }}}}{{{a^{1 + \sqrt 3 }}}} = \frac{{{a^{2 + \sqrt 3 }}.{a^{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}}}}{{{a^{1 + \sqrt 3 }}}} = \frac{{{a^{2 + \sqrt 3 }}.{a^{ - 2}}}}{{{a^{1 + \sqrt 3 }}}} = \frac{{{a^{\sqrt 3 }}}}{{{a^{1 + \sqrt 3 }}}} = \frac{1}{a}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: .$T = {4^{x + 1}} + {2^{2 - x}} = {4^x}.4 + \frac{{{2^2}}}{{{2^x}}} = {\left( {{2^x}} \right)^2}.4 + \frac{4}{{{2^x}}} = {4.5^2} + \frac{4}{5} = \frac{{504}}{5}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Số lượng gỗ sau 10 năm là : ${4.10^5}.{(1 + 0{,}04)^{10}} = 592097{,}714$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Lãi suất $10{,}8$%/năm nên lãi suất hàng tháng là 0,9%/tháng.

Sau tháng thứ nhất số tiền còn lại là ${T_1} = 500\left( {1 + 0{,}9\% } \right) - 15$.

Sau tháng thứ hai số tiền còn lại là

${T_2} = {T_1}\left( {1 + 0{,}9\% } \right) - 15 = 500{\left( {1 + 0{,}9\% } \right)^2} - 15\left( {1 + 0{,}9\% } \right) - 15$.

Sau tháng thứ $n$ số tiền còn lại là ${T_n} = {T_{n - 1}}\left( {1 + 0{,}9\% } \right) - 15$.

$\begin{array}{l} = 500{\left( {1 + 0{,}9\% } \right)^n} - 15{\left( {1 + 0{,}9\% } \right)^{n - 1}} - 15{\left( {1 + 0{,}9\% } \right)^{n - 2}} - ...15\left( {1 + 0{,}9\% } \right) - 15\\ = 500{\left( {1 + 0{,}9\% } \right)^n} - 15\frac{{1 - {{\left( {1 + 0{,}9\% } \right)}^n}}}{{1 - \left( {1 + 0{,}9\% } \right)}}\end{array}$

Để ${T_n} = 0 \Rightarrow {\left( {1 + 0{,}9\% } \right)^n} = \frac{{10}}{7} \Leftrightarrow n \approx 39{,}81$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

${\log _a}x$ có nghĩa $\forall x > 0$ $\Rightarrow$ câu B sai

${\log _a}a = 1$ $\Rightarrow$ câu C sai.

${\log _a}\left( {x.y} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y;\forall x,y > 0$ $\Rightarrow$ câu D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

$\log {a^3} = 3\log a \Rightarrow$A sai, D đúng.

$\log (3a) = \log 3 + \log a \Rightarrow$B,C sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì $a,b > 0$ nên ta có: $P = \frac{3}{2}{\log _a}b = \frac{3}{2}.3 = \frac{9}{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

$\log 4000 = \log \left( {{{4.10}^3}} \right) = \log 4 + \log {10^3} = \log 4 + 3 = a + 3$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có ${\log _{\sqrt 3 }}50 = {\log _{{3^{\frac{1}{2}}}}}50 = 2{\log _3}50 = 2{\log _3}\left( {10.5} \right)$

$= 2\left( {{{\log }_3}10 + {{\log }_3}5} \right)$

$= 2\left( {{{\log }_3}10 + {{\log }_3}15 - {{\log }_3}3} \right)$

$= 2\left( {a + b - 1} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

$\left\{ \begin{array}{l}{a^x} > {a^y}\\0 < a < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x < y$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hàm số $y = {a^x}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi $a > 1$.

Mà $\frac{1}{{\sqrt 7 - \sqrt 5 }} > 1$ nên $y = \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right)}^x}}}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta thấy (C1) là hàm đồng biến nên $a > 1.$

Và (C2) là hàm nghịch biến nên $0 < b < 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hàm số xác định $\Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 3\\x < - 1\end{array} \right..$

Vậy tập xác định của hàm số là ${\rm{D}} = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Từ đồ thị, suy ra:

${x_1}$ là nghiệm của phương trình ${\log _b}x = 3$ nên ${\log _b}{x_1} = 3 \Leftrightarrow {x_1} = {b^3}.$

${x_2}$ là nghiệm của phương trình ${\log _a}x = 3$ nên ${\log _a}{x_2} = 3 \Leftrightarrow {x_2} = {a^3}.$

Do ${x_2} = 2{x_1} \Rightarrow {a^3} = 2.{b^3} \Leftrightarrow {\left( {\frac{a}{b}} \right)^3} = 2 \Leftrightarrow \frac{a}{b} = \sqrt[3]{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

${3^{{x^2} - 3x + 8}} = {9^{2x - 1}}$$\Leftrightarrow {3^{{x^2} - 3x + 8}} = {3^{2\left( {2x - 1} \right)}}$$\Leftrightarrow {x^2} - 3x + 8 = 4x - 2$$\Leftrightarrow {x^2} - 7x + 10 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 5\end{array} \right.$.

Vậy tổng hai nghiệm của phương trình là 7.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}x + 1 > 0\\x - 5 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 1\\x > 5\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 5$.

$\begin{array}{l}{\log _7}\left( {x + 1} \right) = 1 - {\log _7}\left( {x - 5} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _7}\left( {x + 1} \right) + {\log _7}\left( {x - 5} \right) = 1\\ \Leftrightarrow {\log _7}\left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 5} \right)} \right] = 1\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 5} \right) = 7\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 12 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 6\\x = - 2\end{array} \right.\end{array}$

So với điều kiện, phương trình đã cho có $1$ nghiệm $x = 6$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có:

$\begin{array}{l}{2.9^x} - {5.6^x} + {3.4^x} < 0\\ \Leftrightarrow 2.{\left( {\frac{9}{4}} \right)^x} - 5.{\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} + 3 < 0\\ \Leftrightarrow 1 < {\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} < \frac{3}{2} \Leftrightarrow 0 < x < 1\end{array}$.

Vậy tập nghiệm bất phương trình là $S = \left( {0;1} \right)$ suy ra $a = 0;\;b = 1 \Rightarrow a + 3b = 3$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

TXĐ: $D = \left( {0; + \infty } \right)$.

Ta có

$\begin{array}{l}4\log _4^2\frac{x}{2} - {\log _2}x + 1 \le 0\\ \Leftrightarrow 4.\frac{1}{2}\log _2^2\frac{x}{2} - {\log _2}x + 1 \le 0\\ \Leftrightarrow 2{\left( {{{\log }_2}x - 1} \right)^2} - {\log _2}x + 1 \le 0\end{array}$.

Đặt $t = {\log _2}x$, ta được: $2{\left( {t - 1} \right)^2} - t + 1 \le 0 \Leftrightarrow 2{t^2} - 5t + 3 \le 0 \Leftrightarrow 1 \le t \le \frac{3}{2}$.

Suy ra $1 \le {\log _2}x \le \frac{3}{2} \Leftrightarrow 2 \le x \le {2^{\frac{3}{2}}}$.

Vậy bất phương trình có 1 nghiệm nguyên $x = 2$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Điều kiện $x > 0$.

Đặt $t = {\log _2}x$, bất phương trình trở thành ${t^2} - 3yt + 2{y^2} < 0\,\,\left( * \right)$.

$\Delta = {\left( {3y} \right)^2} - 4.2{y^2} = {y^2} > 0,\,\forall y$nguyên dương, tam thức có hai nghiệm $t = y \vee t = 2y$.

Do đó $\left( * \right) \Leftrightarrow y < t < 2y$ hay $y < {\log _2}x < 2y \Leftrightarrow {2^y} < x < {2^{2y}}$.

Vì $x,y \in {\mathbb{Z}^ + }$ nên $x\in A=\{{2}^{y}+1\ ;\ {2}^{y}+2\ ;\ ...\ ;\ {2}^{2y}-1\}$

Số phần tử của tập $A$ là $\left( {{2^{2y}} - 1} \right) - \left( {{2^y} + 1} \right) + 1 = {2^{2y}} - {2^y} - 1$.

Giả thiết bài toán có không quá $4031$ số nguyên $x$ nên ta có: ${2^{2y}} - {2^y} - 1 \le 4031$.

$\Leftrightarrow {2^{2y}} - {2^y} - 4032 \le 0\,\,\, \Leftrightarrow - 63 \le {2^y} \le 64\,\,\, \Leftrightarrow y \le 6$.

Vì $y \in {\mathbb{Z}^ + }$ nên $y \in E = \left\{ {1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6} \right\}$. Số phần tử của tập hợp $E$ là 6.

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Điều kiện: $5x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{3}{5}$.

Do đó tập xác định của hàm số là $D = \left( {\frac{3}{5}; + \infty } \right)$.

b) Vì $a = 3 > 1$ nên hàm số đồng biến trên $\left( {\frac{3}{5}; + \infty } \right)$.

c) Thay $x = 2$ vào hàm số ta có $y = {\log _3}7$.

Do đó đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( {2;{{\log }_3}7} \right)$.

d) Vì $x \in \left[ {\frac{4}{5};\frac{{12}}{5}} \right]$ hàm số đồng biến nên $\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{4}{5};\frac{{12}}{5}} \right]} f\left( x \right) = f\left( {\frac{4}{5}} \right) = {\log _3}\left( {5.\frac{4}{5} - 3} \right) = 0$;

$\mathop {\max }\limits_{\left[ {\frac{4}{5};\frac{{12}}{5}} \right]} f\left( x \right) = f\left( {\frac{{12}}{5}} \right) = {\log _3}\left( {5.\frac{{12}}{5} - 3} \right) = 2$.

Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\left[ {\frac{4}{5};\frac{{12}}{5}} \right]$ là $0 + 2 = 2$.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Dựa vào đồ thị hàm số ta có đồ thị các hàm số trên đều đi qua điểm $A\left( {1;0} \right)$.

b) Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số $y = {\log _c}x$ nghịch biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.

c) Vì hàm số $y = {\log _c}x$nghịch biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$ nên $0 < c < 1$.

Hàm số $y = {\log _a}x;{\log _b}x$ đồng biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$ nên $a > 1;b > 1$.

Với $x > 1$ thì ${\log _b}x < {\log _a}x$$\Leftrightarrow {\log _a}x > \frac{1}{{{{\log }_x}b}}$$\Leftrightarrow {\log _a}x.{\log _x}b > 1$$\Leftrightarrow {\log _a}b > 1$$\Leftrightarrow b > a$.

Do đó $0 < c < 1 < a < b$.

d) Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{\log _a}{x_1} = 3\\{\log _b}{x_2} = 3\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {a^3}\\{x_2} = {b^3}\end{array} \right.$.

Mà ${x_2} = 2{x_1}$ nên ${b^3} = 2{a^3}$$\Leftrightarrow \frac{{{a^3}}}{{{b^3}}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{a}{b} = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}$.

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Điều kiện: $5x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{3}{5}$.

b) Ta có $f\left( {\frac{9}{5}} \right) - f\left( 1 \right) = {\log _3}\left( {5.\frac{9}{5} - 3} \right) - {\log _3}\left( {5.1 - 3} \right) = {\log _3}6 - {\log _3}2 = {\log _3}3 = 1$.

c) Có $f\left( x \right) = 1$ $\Leftrightarrow {\log _3}\left( {5x - 3} \right) = 1$$\Leftrightarrow 5x - 3 = 3$$\Leftrightarrow x = \frac{6}{5}$ (thỏa mãn điều kiện câu a).

Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{6}{5}$.

d) Có $f\left( x \right) \le 2$ $\Leftrightarrow {\log _3}\left( {5x - 3} \right) \le 2$$\Leftrightarrow 5x - 3 \le 9$$\Leftrightarrow x \le \frac{{12}}{5}$.

Kết hợp với điều kiện $x > \frac{3}{5}$, ta có tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( {\frac{3}{5};\frac{{12}}{5}} \right]$.

Mà $x \in \mathbb{Z}$ nên $x \in \left\{ {1;2} \right\}$. Vậy tập nghiệm của bất phương trình có đúng 2 số nguyên.

Hướng dẫn giải

a) S, b) S, c) Đ, d) S

a) Với $m = 0$ thì phương trình có dạng ${\log _2}\left( {x - 1} \right) - {\log _2}\left( {{x^2} - 5x} \right) = 0$.

Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0\\{x^2} - 5x > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\\left[ \begin{array}{l}x < 0\\x > 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 5$.

b) ${\log _2}\left( {x - 1} \right) - {\log _2}\left( {{x^2} - 5x} \right) = 0$$\Leftrightarrow {\log _2}\left( {x - 1} \right) = {\log _2}\left( {{x^2} - 5x} \right)$$\Leftrightarrow x - 1 = {x^2} - 5x$

$\Leftrightarrow {x^2} - 6x + 1 = 0$$\Leftrightarrow x = 3 + 2\sqrt 2$ hoặc $x = 3 - 2\sqrt 2$.

Kết hợp với điều kiện ở câu a, ta có nghiệm của phương trình là $x = 3 + 2\sqrt 2$.

c) Với $m = 7$ thì phương trình có dạng ${\log _2}\left( {x - 1} \right) - {\log _2}\left( {{x^2} - 5x + 7} \right) = 0$.

Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0\\{x^2} - 5x + 7 > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow x > 1$.

${\log _2}\left( {x - 1} \right) - {\log _2}\left( {{x^2} - 5x + 7} \right) = 0$$\Leftrightarrow {\log _2}\left( {x - 1} \right) = {\log _2}\left( {{x^2} - 5x + 7} \right)$$\Leftrightarrow x - 1 = {x^2} - 5x + 7$

$\Leftrightarrow {x^2} - 6x + 8 = 0$$\Leftrightarrow x = 2$ hoặc $x = 4$.

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ {2;4} \right\}$.

Do đó tổng các nghiệm của phương trình là $2 + 4 = 6$.

d) ${\log _2}\left( {x - 1} \right) - {\log _2}\left( {{x^2} - 5x + m} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0\\{\log _2}\left( {x - 1} \right) = {\log _2}\left( {{x^2} - 5x + m} \right)\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x - 1 = {x^2} - 5x + m\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\m = - {x^2} + 6x - 1\end{array} \right.$.

Xét hàm số $f\left( x \right) = - {x^2} + 6x - 1$ với $x > 1$.

Ta có $f'\left( x \right) = - 2x + 6;f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 3$.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $4 < m < 8$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Tập xác định của hàm số $f\left( x \right)$ là $D = \mathbb{R}$.

b) Ta có $f\left( x \right) = {25^x} - {5^{1 + x}} - 6$$= {5^{2x}} - {5.5^x} - 6$$= \left( {{5^x} + 1} \right)\left( {{5^x} - 6} \right)$.

c) Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ với trục hoành là nghiệm của phương trình

$f\left( x \right) = 0$$\Leftrightarrow \left( {{5^x} + 1} \right)\left( {{5^x} - 6} \right) = 0$$\Leftrightarrow {5^x} - 6 = 0$$\Leftrightarrow {5^x} = 6$$\Leftrightarrow x = {\log _5}6$.

Vậy phương trình có 1 nghiệm.

Do đó số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ với trục hoành bằng 1.

d) Ta có $f\left( x \right) \ge 0$$\Leftrightarrow \left( {{5^x} + 1} \right)\left( {{5^x} - 6} \right) \ge 0$$\Leftrightarrow {5^x} \ge 6$$\Leftrightarrow x \ge {\log _5}6$$\Leftrightarrow x \ge {\log _5}2 + {\log _5}3$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $S = \left[ {{{\log }_5}2 + {{\log }_5}3; + \infty } \right)$.

Suy ra $a = 2;b = 3$. Do đó ${e^{\ln a + 2\ln b}} = {e^{\ln 2 + 2\ln 3}}{e^{\ln 18}} = 18$.

Hướng dẫn giải

a) S, b) S, c) S, d) S

a) Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ne 0\\4 - x > 0\\4 + x > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 1\\ - 4 < x < 4\end{array} \right.$.

b) $f\left( x \right) = {\log _{\sqrt 2 }}\sqrt {4 - x} + {\log _8}{\left( {4 + x} \right)^3} - {\log _4}{\left( {x + 1} \right)^2} - 2$

$f\left( x \right) = \frac{1}{2}.2{\log _2}\left( {4 - x} \right) + \frac{1}{3}.3{\log _2}\left( {4 + x} \right) - \frac{1}{2}.2{\log _2}\left| {x + 1} \right| - 2$

$f\left( x \right) = {\log _2}\left( {4 - x} \right) + {\log _2}\left( {4 + x} \right) - {\log _2}\left| {x + 1} \right| - 2$.

c) d) Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x \ne - 1\\ - 4 < x < 4\end{array} \right.$

$$f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {4 - x} \right) + {\log _2}\left( {4 + x} \right) - {\log _2}\left| {x + 1} \right| - 2 = 0$$

$$\Leftrightarrow {\log _2}\left( {16 - {x^2}} \right) = {\log _2}4\left| {x + 1} \right|$$

$\Leftrightarrow 16 - {x^2} = 4\left| {x + 1} \right|$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}16 - {x^2} = 4\left( {x + 1} \right)\\16 - {x^2} = - 4\left( {x + 1} \right)\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 4x - 12 = 0\\{x^2} - 4x - 20 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 6\\x = 2 + 2\sqrt 6 \\x = 2 - 2\sqrt 6 \end{array} \right.$.

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình là $x = 2;x = 2 - 2\sqrt 6$.

Vậy tổng các nghiệm là $4 - 2\sqrt 6$.

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Vì $a = \frac{1}{{\sqrt 3 }} < 1$ nên hàm số $y = f\left( x \right) = {\log _{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}x$ nghịch biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

b) Thay $x = 3$ vào hàm số ta được $y = {\log _{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}3$$= - 2{\log _3}3 = - 2$.

c) Vì hàm số nghịch biến với $x \in \left[ {\frac{1}{3};9} \right]$ nên $\mathop {\max }\limits_{\left[ {\frac{1}{3};9} \right]} f\left( x \right) = f\left( {\frac{1}{3}} \right) = {\log _{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}\frac{1}{3} = 2$;

$\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{1}{3};9} \right]} f\left( x \right) = f\left( 9 \right) = {\log _{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}9 = - 4$.

Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\left[ {\frac{1}{3};9} \right]$ là $- 2$.

d) Ta có $f\left( {\frac{1}{a}} \right) = {\log _{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}\frac{1}{a} = 2{\log _3}a$; $f\left( b \right) = - 2\log b$.

Do đó $2f\left( {\frac{1}{a}} \right) + f\left( b \right) = 4{\log _3}a - 2{\log _3}b$$= {\log _3}\frac{{{a^4}}}{{{b^2}}} = {\log _3}\frac{{{{81}^2}{b^2}}}{{{b^2}}} = {\log _3}{81^2} = 8$.

Hướng dẫn giải

a) S, b) S, c) S, d) Đ

a) Hàm số $y = {a^x}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, hàm số $y = {b^x}$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

b) Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình ${a^x} = {b^x}$ luôn có duy nhất một nghiệm $x = 0$.

c) Hai hàm số $y = {a^x},y = {b^x}$ có tập xác định là $\mathbb{R}$.

d) Hàm số $y = {a^x}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên $a > 1$; hàm số $y = {b^x}$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ nên $0 < b < 1$.

Do đó $0 < b < 1 < a$.

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Khối lượng vi khuẩn ban đầu là $M\left( 0 \right) = {50.1{,}06^0} = 50$(g).

b) Vì $1{,}06 > 1$ nên hàm số $M\left( t \right) = {50.1{,}06^t}$ đồng biến.

Do đó khối lượng vi khuẩn tăng dần theo thời gian.

c) Khối lượng vi khuẩn sau 6 giờ là $M\left( 6 \right) = {50.1{,}06^6} \approx 70{,}9$(g).

d) Khối lượng vi khuẩn sau 24 giờ là $M\left( {24} \right) = {50.1{,}06^{24}} \approx 202{,}4$ (g).

Có $202{,}4:50 \approx 4{,}05$.

Khối lượng vi khuẩn sau 24 giờ gấp khoảng 4,05 lần số lượng vi khuẩn ban đầu.

Hướng dẫn giải

a) S, b) S, c) Đ, d) S

a) Điều kiện: $x + 8 > 0 \Leftrightarrow x > - 8$.

Tập xác định của hàm số $y = g\left( x \right)$ là $D = \left( { - 8; + \infty } \right)$.

b) $f\left( x \right) \ge 0$$\Leftrightarrow 9 - {3^x} \ge 0$$\Leftrightarrow {3^x} \le 9 \Leftrightarrow x \le 2$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( { - \infty ;2} \right]$.

c) $f\left( x \right) = - 6$$\Leftrightarrow 9 - {3^x} = - 6$$\Leftrightarrow {3^x} = 15 \Leftrightarrow x = {\log _3}15 > 0$.

d) $g\left( x \right) \le 2$$\Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + 8} \right) \le 2$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 8 > 0\\x + 8 \le 9\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 8\\x \le 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow - 8 < x \le 1$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( { - 8;1} \right]$.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 3

$P = {\log _a}\left( {{a^2}\sqrt[5]{b}} \right) = {\log _a}{a^2} + {\log _a}\sqrt[5]{b}$$= 2 + \frac{1}{5}{\log _a}b$$= 2 + \frac{1}{5}.5 = 3$.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 5

Ta có $P = {2^x} + {2^{ - x}} > 0$.

Ta có ${P^2} = {\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)^2} = {4^x} + {4^{ - x}} + {2.2^x}{.2^{ - x}} = 23 + 2 = 25$.

Do đó $P = 5$.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 10

Áp dụng công thức tính lãi kép, sau 10 năm số tiền cả gốc và lãi bà Hạnh thu về là:

$A{\left( {1 + r} \right)^n} = 100{\left( {1 + 0{,}08} \right)^{10}} \approx 215{,}892$ triệu đồng.

Suy ra số tiền lãi bà Hạnh thu về sau 10 năm là 215,892 – 100 = 115,892 triệu đồng.

Do đó $a = 1;b = 9$ $\Rightarrow ab + 1 = 10$.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 4

Ta có $A = 150$ (triệu đồng), $r = 8{,}4\%$.

Vốn và tiền lãi hơn 200 triệu đồng nghĩa là ${T_n} > 200$ (triệu đồng).

Ta có $150{\left( {1 + 8{,}4\% } \right)^n} > 200$$\Leftrightarrow {1{,}084^n} > \frac{4}{3}$$\Leftrightarrow n > {\log _{1{,}084}}\frac{4}{3} \approx 3{,}6$.

Vậy thực tế thì sau ít nhất 4 năm người đó thu được cả vốn và tiền lãi hơn 200 triệu đồng.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 3

$M = {\log _a}\left( {\frac{{{a^2}.\sqrt[3]{{{a^2}}}.\sqrt[5]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[{15}]{{{a^7}}}}}} \right)$$= {\log _a}\left( {\frac{{{a^2}.{a^{\frac{2}{3}}}.{a^{\frac{4}{5}}}}}{{{a^{\frac{7}{{15}}}}}}} \right)$$= {\log _a}\left( {\frac{{{a^{\frac{{52}}{{15}}}}}}{{{a^{\frac{7}{{15}}}}}}} \right)$$= {\log _a}{a^3} = 3$.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 5

Ta có $p{H_A} = - \log {x_A};p{H_B} = - \log {x_B}$.

Vì $p{H_A} - p{H_B} = 0{,}7$ nên $- \log {x_A} + \log {x_B} = 0{,}7$$\Leftrightarrow \log \frac{{{x_B}}}{{{x_A}}} = 0{,}7$$\Leftrightarrow \frac{{{x_B}}}{{{x_A}}} = {10^{0{,}7}} \approx 5$.

Vậy dung dịch B có nồng độ ion ${H^ + }$ gấp 5 lần nồng độ ion ${H^ + }$ của dung dịch A.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 726

Điều kiện: $x > 0$

TH1: $\left\{ \begin{array}{l}{7^x} - 49 > 0\\\log _3^2x - 7{\log _3}x + 6 < 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{7^x} > {7^2}\\1 < {\log _3}x < 6\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 2\\3 < x < 729\end{array} \right. \Leftrightarrow 3 < x < 729$.

TH2: $\left\{ \begin{array}{l}{7^x} - 49 < 0\\\log _3^2x - 7{\log _3}x + 6 > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{7^x} < {7^2}\\\left[ \begin{array}{l}{\log _3}x < 1\\{\log _3}x > 6\end{array} \right.\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 2\\\left[ \begin{array}{l}x < 3\\x > 729\end{array} \right.\end{array} \right.$$\Leftrightarrow x < 2$.

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( {0;2} \right) \cup \left( {3;729} \right)$.

Vậy có tất cả 726 số nguyên thỏa mãn.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 14

Điều kiện ${5^x} - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 0$.

Ta có ${\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right) \le m \Leftrightarrow {5^x} - 1 \le {2^m}$.

Ta có ${5^x} - 1 \ge 4$ với mọi $x \ge 1$.

Để bất phương trình có nghiệm $x \ge 1$ thì ${2^m} \ge 4 \Leftrightarrow m \ge 2$.

Vì $m \in \left[ {0;5} \right]$ nên $m = \left\{ {2;3;4;5} \right\}$.

Do đó tổng tất cả các giá trị của tham số $m$ bằng 14.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 4

Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y > 0\\x > 2y\end{array} \right.$. Đặt ${\log _4}x = {\log _9}y = {\log _6}\left( {x - 2y} \right) = t$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {4^t}\\y = {9^t}\\x - 2y = {6^t}\end{array} \right.$$\Rightarrow {4^t} - {2.9^t} = {6^t}$$\Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{9}} \right)^t} - {\left( {\frac{2}{3}} \right)^t} - 2 = 0$$\Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^t} = 2$.

Từ đó $\frac{x}{y} = {\left[ {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^t}} \right]^2} = {2^2} = 4$.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 0,08

Gọi $A$ là dân số của một quốc gia ban đầu (triệu người) và $r$ là tỉ lệ tăng dân số hằng năm của quốc gia đó.

Dân số của quốc gia đó sau năm thứ nhất là: ${A_1} = A + A.r = A\left( {1 + r} \right)$.

Dân số của quốc gia đó sau năm thứ hai là:

${A_2} = {A_1} + {A_1}.r = {A_1}\left( {1 + r} \right) = A{\left( {1 + r} \right)^2} = 30000000{\left( {1 + r} \right)^2} = 30048288$

$\Rightarrow {\left( {1 + r} \right)^2} = 1{,}0016096 \Rightarrow 1 + r \approx 1{,}0008 \Rightarrow r \approx 0{,}08\%$.