Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 8 Kết nối tri thức cấu trúc mới (Tự luận) có đáp án - Phần 3

Hướng dẫn giải

Xét $\Delta ABC$ có $AB{\rm{ }}\,{\rm{//}}\,EF,$ theo định lí Thalès ta có $\frac{{EC}}{{EB}} = \frac{{CF}}{{FA}},$ hay $\frac{{42}}{{BE}} = \frac{{35}}{{50}}.$

Suy ra $BE = \frac{{42 \cdot 50}}{{35}} = 60{\rm{\;m}}{\rm{.}}$

Thời gian để bạn Hải đi từ $A$ đến $C$ là: $6$ giờ $30$ phút $- \,\,6$ giờ $= 30$ phút $= 0{,}5$ giờ.

Quãng đường mà bạn Hải đi từ $A$ đến $C$ trong $0{,}5$ giờ với tốc độ trung bình lên dốc 4 km/h là: $AC = {S_{A \to C}} = 4 \cdot 0{,}5 = 2$ (km).

Xét $\Delta ACB$ có $CH$ là đường phân giác của $\widehat {ACB},$ nên ta có: $\frac{{HA}}{{HB}} = \frac{{CA}}{{CB}}$ hay $\frac{{0{,}32}}{{0{,}4}} = \frac{2}{{CB}}$

Suy ra $CB = \frac{{0{,}4 \cdot 2}}{{0{,}32}} = 2{,}5$ (km).

Thời gian để bạn Hải đi hết quãng đường $2{,}5$ km với tốc độ trung bình xuống dốc 10 km/h là: $\frac{{2{,}5}}{{10}} = 0{,}25$ (giờ).

Như vậy, tổng thời gian bạn Hải đi từ $A$ đến trường $B$ là

$0{,}5 + 0{,}25 = 0{,}75$ (giờ) $= 45$ (phút).

Vậy nếu tốc độ trung bình xuống dốc là 10 km/h thì bạn Hải đến trường lúc 6 giờ 45 phút.

Ta có $MH = DE = 0{,}5\,\,{\rm{m}};$$HK = EA = 4\,{\rm{m}}.$

Suy ra $MK = MH + HK = 0{,}5 + 4 = 4{,}5\,\,\left( {\rm{m}} \right).$

Lại có $KA = HE = MD = 1{,}7\,\,{\rm{m}}\,;\,\,NE = 2\,\,{\rm{m}}$ nên

$NH = NE - HE$$= 2 - 1{,}7 = 0{,}3\,\,\left( {\rm{m}} \right).$

Vì $NH \bot MK;\,\,CK \bot MK$ nên $NH\,{\rm{//}}\,CK.$

Với $NH\,{\rm{//}}\,CK$, áp dụng định lí Thalès, ta có

$\frac{{HM}}{{KM}} = \frac{{NH}}{{KC}}$ nên $CK = \frac{{KM \cdot NH}}{{HM}} = \frac{{4{,}5 \cdot 0{,}3}}{{0{,}5}} = 2{,}7\,\,\left( {\rm{m}} \right).$

Do đó $CA = CK + KA$$= 2{,}7 + 1{,}7 = 4{,}4\,\,\left( {\rm{m}} \right).$

Vậy chiều cao của cây là $4{,}4\,\,{\rm{m}}.$

Hướng dẫn giải

a) Phương pháp thu thập dữ liệu đề xuất: thu thập từ nguồn có sẵn như sách, báo, mạng Internet. Đây là phương pháp thu thập gián tiếp.

b) Phương pháp thu thập dữ liệu đề xuất: thu thập từ nguồn có sẵn như sách, báo, mạng Internet. Đây là phương pháp thu thập gián tiếp.

c) Phương pháp thu thập dữ liệu đề xuất: lập phiếu hỏi. Đây là phương pháp thu thập trực tiếp.

Hướng dẫn giải

1 – c; 2 – b; 3 – a; 4 – d.

Hướng dẫn giải

1) a) Bạn An có thể thu thập bằng phương pháp trực tiếp.

b) Dữ liệu thu được thuộc loại dữ liệu số.

2) a) Biểu đồ đoạn thẳng thể hiện bảng thống kê đã cho như sau:

b) Tổng số học sinh nữ của khối 8 là: $15 + 14 + 25 + 22 + 16 + 28 + 30 = 150$ (học sinh nữ).

Số học sinh nữ lớp 8A chiếm $\frac{{15}}{{150}} \cdot 100\% = 10\%$.

Tương tự, ta có bảng sau:

Biểu đồ hình quạt tròn thể hiện bảng thống kê đã cho như sau:

Hướng dẫn giải

a) Trong các mặt hàng trên, sản phẩm được giảm giá nhiều nhất là áo sơ mi giảm $35\% ,$ sản phẩm được giảm giá ít nhất là quần Jean giảm $10\% .$

b) Bạn An đã biểu diễn tỉ lệ giảm giá của các mặt hàng trên bằng biều đồ hình quạt tròn. Biểu đồ An sử dụng không phù hợp. Vì tỉ lệ phần trăm được giảm ở đây không phải tỉ lệ so với tổng thể.

c) An nên dùng biểu đồ cột để biểu diễn.

d) Áo sơ mi giảm $35\% ,$ giá sau giảm là $325\,\,000$ đồng. Do đó mỗi chiếc áo sơ mi nguyên giá sẽ là $325\,\,000:\left( {100\% - 35\% } \right) = 500\,\,000$ (đồng).

Giá một chiếc quần Âu sau giảm là $\frac{{1\,\,850\,\,000 - 325\,\,000 \cdot 2}}{4} = 300\,\,000$ (đồng).

Quần âu giảm giá $25\% ,$ do đó mỗi chiếc quần âu nguyên giá sẽ là

$300\,\,000:\left( {100\% - 25\% } \right) = 400\,\,000$ (đồng).

Hướng dẫn giải

a) Bảng thống kê:

b) Lớp 8A3 đăng kí tham gia cầu lông ít hơn lớp 8A4 (ít hơn $7$ bạn) và đăng kí tham gia cờ vua nhiều hơn lớp lớp 8A4 (nhiều hơn 4 bạn).

c) Vì số lượng tham gia Câu lạc bộ cầu lông của lớp 8A1 chiếm $25\%$ tổng số học sinh cả lớp nên số học sinh của lớp 8A1 là: $10:25\% = 40$ (học sinh).

d) Tổng số học sinh tham gia Câu lạc bộ cầu lông là: $10 + 8 + 5 + 12 = 35$ (học sinh).

Tổng số học sinh tham gia Câu lạc bộ cờ vua là: $12 + 14 + 14 + 10 = 50$ (học sinh).

Vậy tổng số học sinh tham gia Câu lạc bộ cầu lông ít hơn tổng số học sinh tham gia Câu lạc bộ cờ vua.

Hướng dẫn giải

a) Dữ liệu biểu diễn trên hai biểu đồ là như nhau.

Ta có bảng thông kê sau:

b) Không thể căn cứ và độ dốc để đánh giá về tốc độ doanh thu trong trong 5 năm của các dữ liệu được biểu diễn. Vì độ dốc của biểu đồ phụ thuộc vào việc chọn đơn vị của trục đứng.

Hướng dẫn giải

a) Yếu tố Phân bón (chiếm $34\% )$ ảnh hưởng đến sinh trưởng của cây trồng nhiều nhất.

b) Trong các yếu tố ảnh hưởng đến sinh trưởng của cây thì Yếu tố kiểm soát dịch hại gấp số lần Yếu tố khác là: $\frac{{12\% }}{{4\% }} = 3$ (lần).

c) Một vài biện pháp khắc phục tình trạng vấn đề tưới nước để làm giảm thiệt hại trong việc trồng trọt: khoan thêm giếng, lắp đặt thêm ống dẫn nước từ các hồ chứa, xây dựng phương án tưới cho phù hợp với từng loại cây trồng, áp dụng phương pháp tưới tiết kiệm nước theo hình thức khô – nước xen kẽ, chỉ vô nước giai đoạn bón phân.

Hướng dẫn giải

a) Ta hoàn thành được biểu đồ cột kép biểu diễn dữ liệu trong biểu đồ đoạn thẳng như sau:

b) Trong năm 2020 lượng gia cầm ở Kon Tum nhiều nhất, là 1698 nghìn con.

c) Tổng số lượng gia cầm ở Kon Tum trong năm $2015,$$2018,{\rm{ }}2019,{\rm{ }}2020$ là:

$853 + 1\,\,431 + 1\,\,608 + 1\,\,698 = 5\,\,590$ (nghìn con).

Trong năm 2018, số lượng gia cầm ở TP. HCM $(375$ nghìn con) ít hơn so với số lượng gia cầm ở Kon Tum $(1{\rm{ }}431$ nghìn con) nên nhận định trên bài báo không chính xác.

d) Một vài giải pháp để tăng số lượng gia cầm ở Kon Tum trong những năm tới để đạt hiệu quả trong chăn nuôi:

⦁ Đẩy mạnh tuyên truyền, vận động nhân dân chăm sóc tốt đàn gia cầm hiện có;

⦁ Mạnh dạn đầu tư phát triển quy mô chăn nuôi, đa dạng các loại gia cầm;

⦁ Chú trọng việc lai tạo và cải thiện giống gia cầm địa phương;

⦁ Thường xuyên thực hiện vệ sinh tiêu độc khử trùng; …

Hướng dẫn giải

a) Ta lập bảng số liệu thống kê số giờ nắng của các tháng trong năm 2022 như sau:

b) Ta hoàn thành được biểu đồ đoạn thẳng biểu diễn số giờ nắng của các tháng trong năm 2022 tại trạm quan trắc Nam Định như sau:

c) Số giờ nắng tại Nam Định trong tháng 7 là cao nhất $\left( {190{,}7\,\,\,h} \right)$ và tháng 2 là thấp nhất $\left( {27{,}5\,\,h} \right).$

d) Số giờ nắng của các tháng trong năm 2022 tại Nam Định giảm trong các khoảng thời gian: tháng 1 – tháng 2; tháng 4 – tháng 5; tháng 7 – tháng 8; tháng 8 – tháng 9; tháng 10 – tháng 11; tháng 11 – tháng 12.

Số giờ nắng của các tháng trong năm 2022 tại Nam Định tăng trong các khoảng thời gian: tháng 2 – tháng 3; tháng 3 – tháng 4; tháng 5 – tháng 6; tháng 6 – tháng 7; tháng 9 – tháng 10.

e) So với tháng 9, số giờ nắng tại Nam Định trong tháng 10 bằng $\frac{{165}}{{133{,}2}} \cdot 100\% \approx 123{,}87\% .$

Khi đó tháng 10 tăng khoảng $123{,}87\% - 100\% = 23{,}87\%$ so với tháng 9.

Vậy thông tin của bài báo đó không chính xác.

a) $A = {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} - {\left( {y + 4} \right)^2}$

$= {y^2} + 2y + 1 + {y^2} - 4y + 4 + {y^2} - 6y + 9 - \left( {{y^2} + 8y + 16} \right)$

$= 2{y^2} - 16y - 2$

$= 2\left( {{y^2} - 8y} \right) - 2$

$= 2\left( {{y^2} - 8y + 16} \right) - 32 - 2$

$= 2{\left( {y - 4} \right)^2} - 34$

Vì ${\left( {y - 4} \right)^2} \ge 0$ với mọi $y$ nên $2{\left( {y - 4} \right)^2} - 34 \ge - 34$, suy ra $A \ge - 34$.

Dấu xảy ra khi $y = 4$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A$ là $- 34$ khi $y = 4$.

b) $B = {x^2} + 4xy + 5{y^2} - 6y + 11$

$= \left( {{x^2} + 4xy + 4{y^2}} \right) + {y^2} - 6y + 11$

$$= {\left( {x + 2y} \right)^2} + \left( {{y^2} - 6y + 9} \right) + 2$$

$= {\left( {x + 2y} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + 2$.

Với mọi $x,\,\,y$ ta có ${\left( {x + 2y} \right)^2} \ge 0,\,\,{\left( {y - 3} \right)^2} \ge 0$ nên ${\left( {x + 2y} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + 2 \ge 2$ hay $B \ge 2.$

Dấu “=” xảy ra khi $x + 2y = 0$ và $y - 3 = 0$ hay $x = - 6;\,\,y = 3.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $B$ là $2$ khi $x = - 6;\,\,y = 3.$

c) $C = {x^2} - 2xy + 2{y^2} + 2x - 10y + 17$

$$= {x^2} - 2xy + {y^2} + {y^2} + 2x - 10y + 17$$

$$= {\left( {x - y} \right)^2} + 2 \cdot \left( {x - y} \right) \cdot 1 + 1 + {y^2} - 8y + 16$$

$= {\left( {x - y + 1} \right)^2} + \left( {{y^2} - 8y + 16} \right)$

$= {\left( {x - y + 1} \right)^4} + {\left( {y - 4} \right)^2}$.

Với mọi $x,\,\,y$ ta có: ${\left( {x - y + 1} \right)^2} \ge 0;\,\,{\left( {y - 4} \right)^2} \ge 0$ nên ${\left( {x - y + 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} \ge 0$ hay $C \ge 0.$

Dấu “=” xảy ra khi $x - y + 1 = 0$ và $y - 4 = 0$, hay $x = 3,\,\,y = 4$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $C$ là $0$ khi $x = 3,\,\,y = 4$.

d) $D = \left( {x - 3} \right)\left( {x - 5} \right)\left( {{x^2} - 8x + 17} \right)$

$= \left( {x - 3} \right)\left( {x - 5} \right)\left[ {\left( {{x^2} - 8x + 16} \right) + 1} \right]$

$= \left( {x - 3} \right)\left( {x - 5} \right)\left[ {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + 1} \right]$

Đặt $t = x - 4$ suy ra $x - 3 = t + 1$ và $x - 5 = t - 1$.

Khi đó, ta có:

$D = \left( {t + 1} \right)\left( {t - 1} \right)\left( {{t^2} + 1} \right)$$= \left( {{t^2} - 1} \right)\left( {{t^2} + 1} \right) = {t^4} - 1.$

Vì ${t^4} \ge 0$ với mọi $t$ nên $D \ge - 1$.

Dấu xảy ra khi $t = 0$ hay $x = 4$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $D$ là $- 1$ khi $x = 4$.

a) $A = {\left( {{x^2} - 2} \right)^2} + 2{\left( {x - 1} \right)^2} + \left( {2 - {x^2}} \right)\left( {2 + {x^2}} \right)$

$$= {x^4} - 4{x^2} + 4 + 2\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + \left( {4 - {x^4}} \right)$$

$$= {x^4} - 4{x^2} + 4 + 2{x^2} - 4x + 2 + 4 - {x^4}$$

$= - 2{x^2} - 4x + 10$$= - 2\left( {{x^2} + 2x - 5} \right)$

$= - 2\left( {{x^2} + 2x + 1 - 6} \right)$$= - 2{\left( {x + 1} \right)^2} + 12.$

Với mọi $x$, ta luôn có ${\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0,$ nên $- 2{\left( {x + 1} \right)^2} \le 0$, suy ra $- 2{\left( {x + 1} \right)^2} + 12 \le 12$

Do đó $A \le 12.$ Dấu xảy ra khi $x = - 1$.

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $A$ là $12$ khi $x = - 1$.

b) $B = - 7{x^2} - 4{y^2} - 8xy + 18x + 9$

$= - \left( {4{x^2} + 8xy + 4{y^2}} \right) - 3{x^2} + 18x + 9$

$= - 4\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) - 3\left( {{x^2} - 6x + 9} \right) + 36$

$= - 2{\left( {x + y} \right)^2} - 3{\left( {x - 3} \right)^2} + 36$.

Với mọi $x,\,\,y$ ta có ${\left( {x + y} \right)^2} \ge 0,\,\,{\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0$ nên $- 2{\left( {x + y} \right)^2} - 3{\left( {x - 3} \right)^2} \le 0$

Suy ra $- 2{\left( {x + y} \right)^2} - 3{\left( {x - 3} \right)^2} + 36 \le 36$ hay $B \le 36.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x + y = 0$ và $x - 3 = 0$ hay $x = 3,\,\,y = - 3.$

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $B$ là $36$ khi $x = 3,\,\,y = - 3.$

c) $C = - {x^2} + 2xy - 4{y^2} + 2x + 10y - 3$

$$= - \left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) - 3{y^2} + 2x + 10y - 3$$

$$= - \left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} - 2 \cdot \left( {x - y} \right) \cdot 1 + 1} \right] - 3{y^2} + 12y - 2$$

$$= - {\left( {x - y - 1} \right)^2} - 3\left( {{y^2} - 4y + 4} \right) + 10$$

$= - {\left( {x - y - 1} \right)^2} - 3{\left( {y - 2} \right)^2} + 10$.

Với mọi $x,\,\,y$ ta có ${\left( {x - y - 1} \right)^2} \ge 0,\,\,{\left( {y - 2} \right)^2} \ge 0$ nên $- {\left( {x - y - 1} \right)^2} - 3{\left( {y - 2} \right)^2} \le 0$

Suy ra $- {\left( {x - y - 1} \right)^2} - 3{\left( {y - 2} \right)^2} + 10 \le 10$ hay $C \le 10.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x - y - 1 = 0$ và $y - 2 = 0$ hay $x = 3,\,\,y = 2.$

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $C$ là $10$ khi $x = 3,\,\,y = 2.$

d) $D = \left( {y - 2} \right)\left( {y - 5} \right)\left( {y - 6} \right)\left( {9 - y} \right)$

$$= \left[ {\left( {y - 2} \right)\left( {9 - y} \right)} \right]\left[ {\left( {y - 5} \right)\left( {y - 6} \right)} \right]$$

$$= \left( { - {y^2} + 11y - 18} \right)\left( {{y^2} - 11y + 30} \right)$$

Đặt $t = {y^2} - 11y$, ta có

$D = \left( { - t - 18} \right)\left( {t + 30} \right)$$= - {t^2} - 48t - 540$

$= - \left( {{t^2} + 48t + 576} \right) + 36$$= - {\left( {t + 24} \right)^2} + 36.$

Với mọi $t,$ ta có ${\left( {t + 24} \right)^2} \ge 0$ nên $- {\left( {t + 24} \right)^2} \le 0$ suy ra $- {\left( {t + 24} \right)^2} + 36 \le 36$.

Do đó $D \le 36$.

Dấu xảy ra khi $t = - 24$ hay ${y^2} - 11y = - 24$

$${y^2} - 11y + 24 = 0$$

$$\left( {y - 3} \right)\left( {y - 8} \right) = 0$$

$y = 3$ hoặc $y = 8$

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $D$ là $36$ khi $y = 3$; $y = 8$.

Hướng dẫn giải

Ta có: ${x^2} + 5{y^2} - 3xy - 3x - y + 5 = 0$

Suy ra $2{x^2} + 10{y^2} - 6xy - 6x - 2y + 10 = 0$

${x^2} - 6xy + 9{y^2} + {x^2} - 6x + 9 + {y^2} - 2y + 1 = 0$

$\left( {{x^2} - 6xy + 9{y^2}} \right) + \left( {{x^2} - 6x + 9} \right) + \left( {{y^2} - 2y + 1} \right) = 0$

${\left( {x - 3y} \right)^2} + {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 0$

Với mọi $x,\,\,y$ ta có: ${\left( {x - 3y} \right)^2} \ge 0,\,\,{\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0,\,\,{\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0$

Suy ra ${\left( {x - 3y} \right)^2} + {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0$

Do đó, để ${\left( {x - 3y} \right)^2} + {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 0$ thì $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{{\left( {x - 3y} \right)}^2} = 0}\\{{{\left( {x - 3} \right)}^2} = 0}\\{{{\left( {y - 1} \right)}^2} = 0}\end{array}} \right.$ hay $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x - 3y = 0}\\{x - 3 = 0}\\{y - 1 = 0}\end{array}} \right.$, tức là $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 3}\\{y = 1}\end{array}} \right.$.

Thay $x = 3,\,\,y = 1$ vào biểu thức $A,$ ta được:

$$A = \frac{{{{\left( {3 + 1 - 4} \right)}^{2222}} - {1^{2222}}}}{3} = \frac{{ - 1}}{3}.$$

Hướng dẫn giải

Cách 1. Ta có: ${x^2} + 2xy + 6x + 6y + 2{y^2} + 8 = 0$

${x^2} + 2xy + {y^2} + 6x + 6y + 9 - 1 = - {y^2}$

${\left( {x + y} \right)^2} + 2\left( {x + y} \right) \cdot 3 + {3^2} - 1 = - {y^2}$

${\left( {x + y + 3} \right)^2} - 1 = - {y^2}$

$\left( {x + y + 3 + 1} \right)\left( {x + y + 3 - 1} \right) = - {y^2}$

$\left( {x + y + 4} \right)\left( {x + y + 2} \right) = - {y^2}$.

Với mọi $x,\,\,y$ ta luôn có ${y^2} \ge 0$ hay $- {y^2} \le 0$

Nên $\left( {x + y + 4} \right)\left( {x + y + 2} \right) \le 0.$

$\left( {x + y + 6 - 2} \right)\left( {x + y + 6 - 4} \right) \le 0$

$\left( {M - 2} \right)\left( {M - 4} \right) \le 0$ $(*)$

Với mọi $x,\,\,y$ và $M = x + y + 6$ ta lại có $M - 4 < M - 2$ nên để $(*)$ xảy ra thì $M - 4 \le 0$ và $M - 2 \ge 0.$

⦁ Xét $M - 4 \le 0$ ta có $M \le 4$.

Dấu “=” xảy ra khi $x + y + 2 = 0$ và $y = 0$, tức là $x = - 2,\,\,y = 0.$

⦁ Xét $M - 2 \ge 0$ ta có $M \ge 2$.

Dấu “=” xảy ra khi $x + y + 4 = 0$ và $y = 0$, tức là $x = - 4,\,\,y = 0.$

Vậy GTLN của $M$ bằng 4 khi $x = - 2,\,\,y = 0$ và GTNN của $M$ bằng 2 khi $x = - 4,\,\,y = 0.$

Cách 2. Ta có: ${x^2} + 2xy + 6x + 6y + 2{y^2} + 8 = 0$

${x^2} + 2xy + {y^2} + 6x + 6y + 9 = 1 - {y^2}$

${\left( {x + y} \right)^2} + 2\left( {x + y} \right) \cdot 3 + {3^2} = 1 - {y^2}$

${\left( {x + y + 3} \right)^2} = 1 - {y^2}$

Với mọi $x,\,\,y$ ta luôn có ${y^2} \ge 0$ hay $- {y^2} \le 0$ nên $1 - {y^2} \le 1$.

Suy ra: ${\left( {x + y + 3} \right)^2} \le 1$, do đó $\left| {x + y + 3} \right| \le 1$ hay $- 1 \le x + y + 3 \le 1$

Vì vậy, $2 \le x + y + 6 \le 4$

⦁ Xét $x + y + 6 \le 4$ hay $M \le 4$. Dấu “=” xảy ra khi $x + y + 6 = 4$ và $y = 0$, tức là $x = - 2,\,\,y = 0.$

⦁ Xét $2 \le x + y + 6$ hay $M \ge 2$. Dấu “=” xảy ra khi $x + y + 6 = 2$ và $y = 0$, tức là $x = - 4,\,\,y = 0.$

Vậy GTLN của $M$ bằng 4 khi $x = - 2,\,\,y = 0$ và GTNN của $M$ bằng 2 khi $x = - 4,\,\,y = 0.$

Hướng dẫn giải

a) Vì $x$ là số tự nhiên không chia hết cho $3$ nên ta có $x = 3k + 1$ hoặc $x = 3k + 2\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)$.

⦁ Với $x = 3k + 1$ ta có: $M = 2{\left( {3k + 1} \right)^2} - 5$$= 2\left( {9{k^2} + 6k + 1} \right) - 5$

$= 18{k^2} + 12k + 2 - 5$$= 18{k^2} + 12k - 3 = 3\left( {6{k^2} + 4k - 1} \right)\,\, \vdots \,\,3$.

⦁ Với $x = 3k + 2$ ta có: $M = 2{\left( {3k + 2} \right)^2} - 5$$= 2\left( {9{k^2} + 12k + 4} \right) - 5$

$= 18{k^2} + 24k + 8 - 5$$= 18{k^2} + 24k + 3$$= 3\left( {6{k^2} + 8k + 1} \right)\,\, \vdots \,\,3$.

Vậy $x$ là số tự nhiên không chia hết cho $3$ thì $M = 2{x^2} - 5$ chia hết cho $3$.

b) Vì $x$ là số tự nhiên lẻ nên ta có $x = 2k + 1\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)$. Do đó:

$N = {\left( {2k + 1} \right)^3} + 3{\left( {2k + 1} \right)^2} - \left( {2k + 1} \right) - 3$

$= 8{k^3} + 12{k^2} + 6k + 1 + 12{k^2} + 12k + 3 - 2k - 1 - 3$

$= 8{k^3} + 24{k^2} + 16k$

$= 8\left( {{k^3} + 3{k^2} + 2k} \right)\,\, \vdots \,\,8$

Vậy $x$ là số tự nhiên lẻ thì $N = {x^3} + 3{x^2} - x - 3$ chia hết cho $8$.

c) Ta có $M = x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 1$$= x\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) + 1$

$= \left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) + 1$$= {\left( {{x^2} + 3x} \right)^2} + 2\left( {{x^2} + 3x} \right) + 1$$= {\left( {{x^2} + 3x + 1} \right)^2}$.

Với $x \in \mathbb{Z}$ ta có $\left( {{x^2} + 3x + 1} \right) \in \mathbb{Z}$. Do đó ${\left( {{x^2} + 3x + 1} \right)^2}$ là bình phương của một số nguyên.

Vậy đa thức $M = x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 1$ (với $x \in \mathbb{Z}$) là bình phương của một số nguyên.

Hướng dẫn giải

Ta có: $M = \frac{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}}{{\left( {b - 2} \right)\left( {c - 2} \right)}} + \frac{{{{\left( {b - 2} \right)}^2}}}{{\left( {a - 2} \right)\left( {c - 2} \right)}} + \frac{{{{\left( {c - 2} \right)}^2}}}{{\left( {a - 2} \right)\left( {b - 2} \right)}}$$= \frac{{{{\left( {a - 2} \right)}^3} + {{\left( {b - 2} \right)}^3} + {{\left( {c - 2} \right)}^3}}}{{\left( {a - 2} \right)\left( {b - 2} \right)\left( {c - 2} \right)}}$

Đặt $a - 2 = x;\,\,b - 2 = y;\,\,c - 2 = z.$

Khi đó $M = \frac{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}}{{xyz}}.$

Mặt khác, từ $a + b + c = 6$ suy ra $\left( {a - 2} \right) + \left( {b - 2} \right) + \left( {c - 2} \right) = 0$

Hay $x + y + z = 0$

Suy ra $x + y = - z$

$${\left( {x + y} \right)^3} = {\left( { - z} \right)^3}$$

${x^3} + {y^3} + 3xy\left( {x + y} \right) = - {z^3}$

${x^3} + {y^3} + 3xy\left( { - z} \right) = - {z^3}$

${x^3} + {y^3} + {z^3} = 3xyz$

Do đó $M = \frac{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}}{{xyz}} = \frac{{3xyz}}{{xyz}} = 3.$

Vậy $M = 3.$

Hướng dẫn giải

Từ $x + y + z = 0$ suy ra $z = - x - y;\,\,y = - x - z;\,\,x = - y - z.$

Ta có: $T = \frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} - {z^2}}} + \frac{{yz}}{{{y^2} + {z^2} - {x^2}}} + \frac{{xz}}{{{z^2} + {x^2} - {y^2}}}$

$= \frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} - {{\left( { - x - y} \right)}^2}}} + \frac{{yz}}{{{y^2} + {z^2} - {{\left( { - y - z} \right)}^2}}} + \frac{{xz}}{{{z^2} + {x^2} - {{\left( { - x - z} \right)}^2}}}$

$= \frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} - \left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right)}} + \frac{{yz}}{{{y^2} + {z^2} - \left( {{y^2} + 2yz + {z^2}} \right)}} + \frac{{xz}}{{{z^2} + {x^2} - \left( {{z^2} + 2xz + {x^2}} \right)}}$

$= \frac{{xy}}{{ - 2xy}} + \frac{{yz}}{{ - 2yz}} + \frac{{xz}}{{ - 2xz}}$

$= \frac{1}{{ - 2}} + \frac{1}{{ - 2}} + \frac{1}{{ - 2}} = - \frac{3}{2}$

Vậy $T = - \frac{3}{2}$.

Hướng dẫn giải

Vì tấm lưới dài $500\,\,{\rm{m}}$, hay chính là chu vi của mảnh vườn hình chữ nhật $ABCD$ trừ khu nhà kho $EF = 100\,\,{\rm{m}}$ bằng $500\,\,{\rm{m}}$.

Suy ra chu vi của mảnh vườn là $600\,\,{\rm{m}}$, nên nửa chu vi mảnh vườn là $300{\rm{\;m}}.$

Do đó chiều rộng của mảnh vườn rào được theo chiều dài $x{\rm{\;(m)}}$ là: $300 - x{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật là:

$S = x \cdot \left( {300 - x} \right)$$= - {x^2} + 300x$

$= - {x^2} + 2 \cdot x \cdot 150 - {150^2} + {150^2}$

$= - {\left( {x - 150} \right)^2} + 22\,\,500$

Với mọi $x > 0,$ ta có ${\left( {x - 150} \right)^2} \ge 0$ nên $- {\left( {x - 150} \right)^2} \le 0$ hay $- {\left( {x - 150} \right)^2} + 22\,\,500 \le 22\,\,500$.

Dấu “=” xảy ra khi $x = 150$.

Vậy diện tích mảnh vườn lớn nhất là $22\,\,500{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}$ khi $x = 150{\rm{\;m}}.$

Hướng dẫn giải

Diện tích tấm bìa hình chữ nhật này là: $50 \cdot 30 = 1\,\,500{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Chiều dài sau khi cắt tấm bìa là: $50 - 2x{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Chiều rộng sau khi cắt tấm bìa là: $30 - 2x{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Diện tích xung quanh của hộp là: $2x\left( {50 - 2x + 30 - 2x} \right) = 2x\left( {80 - 4x} \right) = - 8{x^2} + 160x{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Để diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật sau khi cắt là lớn nhất thì $- 8{x^2} + 160x$ đạt giá trị lớn nhất.

Ta có: $- 8{x^2} + 160x = - 8\left( {{x^2} - 20x + 100} \right) + 800 = - 8{\left( {x - 10} \right)^2} + 800$

Với mọi $x > 0,$ ta có: $- 8{\left( {x - 10} \right)^2} \le 0$ nên $- 8{\left( {x - 10} \right)^2} + 800 \le 800$.

Dấu “=” xảy ra khi $x - 10 = 0$ hay $x = 10$.

Vậy diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật là $800{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}$ khi $x = 10{\rm{ cm}}$.