Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 8 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (Tự luận) có đáp án - Phần 2

a) $\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) - x\left( {x + 6} \right) = 4$

${x^2} + 3x + 2x + 6 - {x^2} - 6x = 4$

$- x + 6 = 4$

$- x = - 2$

$x = 2$.

Vậy $x = 2.$

b) $\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) + x\left( {3 - {x^2}} \right) = x$

$\left( {{x^3} - {2^3}} \right) + \left( {3x - {x^3}} \right) - x = 0$

$2x - 8 = 0$

$2x = 8$

$x = 4$.

Vậy $x = 4$.

c) ${x^2} - 5x = 0$

$x\left( {x - 5} \right) = 0$

$x = 0$ hoặc $x - 5 = 0$

$x = 0$ hoặc $x = 5$

Vậy $x = 0$; $x = 5$.

d) $x\left( {x - 4} \right) - x + 4 = 0$

$x\left( {x - 4} \right) - \left( {x - 4} \right) = 0$

$\left( {x - 4} \right)\left( {x - 1} \right) = 0$

$x - 4 = 0$ hoặc $x - 1 = 0$

$x = 4$ hoặc $x = 1$.

Vậy $x = 4$; $x = 1$.

e) ${x^2} - 4 - \left( {x - 2} \right) = 0$

$\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) - \left( {x - 2} \right) = 0$

$\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2 - 1} \right) = 0$

$$\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) = 0$$

$x - 2 = 0$ hoặc $x + 1 = 0$

$x = 2$ hoặc $x = - 1$.

Vậy $x = 2$; $x = - 1$.

f) ${\left( {x + 2} \right)^2} - {\left( {2x - 1} \right)^2} = 0$

$$\left( {x + 2 + 2x - 1} \right)\left( {x + 2 - 2x + 1} \right) = 0$$

$$\left( {3x + 1} \right)\left( { - x + 3} \right) = 0$$

$3x + 1 = 0$ hoặc $- x + 3 = 0$

$3x = - 1$ hoặc $- x = - 3$

$x = - \frac{1}{3}$ hoặc $x = 3$

Vậy $x = - \frac{1}{3}$; $x = 3$.

g) $4{\left( {x - 2} \right)^2} = 25{\left( {1 - 3x} \right)^2}$

$${\left[ {2\left( {x - 2} \right)} \right]^2} = {\left[ {5\left( {1 - 3x} \right)} \right]^2}$$

$${\left( {2x - 4} \right)^2} - {\left( {5 - 15x} \right)^2} = 0$$

$$\left( {2x - 4 + 5 - 15x} \right)\left( {2x - 4 - 5 + 15x} \right) = 0$$

$$\left( { - 13x + 1} \right)\left( {17x - 9} \right) = 0$$

$- 13x + 1 = 0$ hoặc $17x - 9 = 0$

$- 13x = - 1$ hoặc $17x = 9$

$x = \frac{1}{{13}}$ hoặc $x = \frac{9}{{17}}$.

Vậy $x = \frac{1}{{13}}$; $x = \frac{9}{{17}}$.

h) $2{x^2} - 5x + 3 = 0$

$2{x^2} - 2x - 3x + 3 = 0$

$\left( {2{x^2} - 2x} \right) - \left( {3x - 3} \right) = 0$

$2x\left( {x - 1} \right) - 3\left( {x - 1} \right) = 0$

$\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 3} \right) = 0$

$x - 1 = 0$ hoặc $2x - 3 = 0$

$x = 1$ hoặc $x = \frac{3}{2}$

Vậy $x = 1$; $x = \frac{3}{2}$.

a) $\frac{9}{{x - 3}} + \frac{{3x}}{{3 - x}} = \frac{9}{{x - 3}} - \frac{{3x}}{{x - 3}}$

$= \frac{{9 - 3x}}{{x - 3}} = \frac{{ - 3\left( {x - 3} \right)}}{{x - 3}} = - 3.$

b) $\frac{{xy}}{{{x^2} - {y^2}}} - \frac{{{x^2}}}{{{y^2} - {x^2}}} = \frac{{xy}}{{{x^2} - {y^2}}} + \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - {y^2}}}$

$$= \frac{{xy + {x^2}}}{{{x^2} - {y^2}}} = \frac{{x\left( {x + y} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} = \frac{x}{{x - y}}.$$

c) $\frac{{x + 5}}{{2x - 3}} - \frac{{2x - 7}}{{3 - 2x}} - \frac{{x + 4}}{{3 - 2x}}$

$= \frac{{x + 5}}{{2x - 3}} + \frac{{2x - 7}}{{2x - 3}} + \frac{{x + 4}}{{2x - 3}}$$= \frac{{x + 5 + 2x - 7 + x + 4}}{{2x - 3}} = \frac{{4x + 2}}{{2x - 3}}.$

d) $\frac{{4 - {x^2}}}{{x - 3}} + \frac{{2x - 2{x^2}}}{{3 - x}} + \frac{{5 - 4x}}{{x - 3}}$

$$= \frac{{4 - {x^2}}}{{x - 3}} - \frac{{2x - 2{x^2}}}{{x - 3}} + \frac{{5 - 4x}}{{x - 3}}$$

$$= \frac{{4 - {x^2} - 2x + 2{x^2} + 5 - 4x}}{{x - 3}}$$

$$= \frac{{{x^2} - 6x + 9}}{{x - 3}} = \frac{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{x - 3}} = x - 3.$$

e) $\frac{{2{x^2} - 20x + 50}}{{3x + 3}} \cdot \frac{{{x^2} - 1}}{{4{{\left( {x - 5} \right)}^3}}}$

$$= \frac{{2{{\left( {x - 5} \right)}^2}}}{{3\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{4{{\left( {x - 5} \right)}^3}}} = \frac{{x - 1}}{{6\left( {x - 5} \right)}}.$$

f) $\frac{{x - 2}}{{x + 1}}:\frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{{x^2} - 2x - 3}} = \frac{{x - 2}}{{x + 1}} \cdot \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{x^2} - 5x + 6}}$

$= \frac{{x - 2}}{{x + 1}} \cdot \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} = 1.$

g) $\frac{x}{{x - 2y}} + \frac{x}{{x + 2y}} + \frac{{4xy}}{{4{y^2} - {x^2}}}$

$$= \frac{x}{{x - 2y}} + \frac{x}{{x + 2y}} - \frac{{4xy}}{{\left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right)}}$$

$$= \frac{{x\left( {x + 2y} \right) + x\left( {x - 2y} \right) - 4xy}}{{\left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right)}}$$

$$= \frac{{{x^2} + 2xy + {x^2} - 2xy - 4xy}}{{\left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right)}}$$

$$= \frac{{2{x^2} - 4xy}}{{\left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right)}}$$

$$= \frac{{2x\left( {x - 2y} \right)}}{{\left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right)}} = \frac{{2x}}{{x + 2y}}.$$

h) $\frac{1}{{x - y}} + \frac{{3xy}}{{{y^3} - {x^3}}} + \frac{{x - y}}{{{x^2} + xy + {y^2}}}$

$$= \frac{1}{{x - y}} - \frac{{3xy}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}} + \frac{{x - y}}{{{x^2} + xy + {y^2}}}$$

$$= \frac{{{x^2} + xy + {y^2} - 3xy + {{\left( {x - y} \right)}^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}}$$

$$= \frac{{{x^2} - 2xy + {y^2} + {x^2} - 2xy + {y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}}$$

$$= \frac{{2\left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}}$$

$= \frac{{2{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}}$$= \frac{{2\left( {x - y} \right)}}{{{x^2} + xy + {y^2}}}$.

i) $\left( {\frac{2}{{x + 2}} + \frac{2}{{x - 1}}} \right) \cdot \frac{{{x^2} - 4}}{{4{x^2} - 1}}$

$= \frac{{2x - 2 + 2x + 4}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}} \cdot \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}$

$= \frac{{4x + 2}}{{x - 1}} \cdot \frac{{x - 2}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}$

$= \frac{{2\left( {2x + 1} \right)}}{{x - 1}} \cdot \frac{{x - 2}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}$

$= \frac{{2\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 1} \right)}}.$

j) $1 + \frac{{{x^3} - x}}{{{x^2} + 1}} \cdot \left( {\frac{1}{{1 - x}} - \frac{1}{{1 - {x^2}}}} \right)$

$= 1 + \frac{{x\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{x^2} + 1}} \cdot \left[ {\frac{1}{{1 - x}} - \frac{1}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}} \right]$

$= 1 - \frac{{x\left( {1 - {x^2}} \right)}}{{{x^2} + 1}} \cdot \frac{{1 + x - 1}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}$
$= 1 - \frac{{x\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}{{{x^2} + 1}} \cdot \frac{x}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}$

$= 1 - \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{{x^2} + 1 - {x^2}}}{{{x^2} + 1}} = \frac{1}{{{x^2} + 1}}.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có $9 - {x^2} = - \left( {{x^2} - 9} \right) = - \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right).$

Khi đó, điều kiện xác định của biểu thức $A$ là $x + 3 \ne 0$ và $x - 3 \ne 0,$ tức là $x \ne - 3$ và $x \ne 3.$

b) Với $x \ne - 3$ và $x \ne 3,$ ta có:

$A = \frac{3}{{x + 3}} + \frac{1}{{x - 3}} - \frac{{18}}{{9 - {x^2}}}$$= \frac{3}{{x + 3}} + \frac{1}{{x - 3}} + \frac{{18}}{{{x^2} - 9}}$

$= \frac{3}{{x + 3}} + \frac{1}{{x - 3}} + \frac{{18}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}$

$= \frac{{3 \cdot \left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{1 \cdot \left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{18}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}$

$= \frac{{3x - 9}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{x + 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{18}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}$

$= \frac{{3x - 9 + x + 3 + 18}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}$$= \frac{{4x + 12}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}$$= \frac{{4\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}$$= \frac{4}{{x - 3}}.$

Vậy với $x \ne - 3$ và $x \ne 3,$ thì $A = \frac{4}{{x - 3}}.$

c) Với $x = - 1$ thoả mãn điều kiện xác định, thay vào biểu thức $A = \frac{4}{{x - 3}},$ ta được:

$A = \frac{4}{{ - 1 - 3}} = \frac{4}{{ - 4}} = - 1.$

Vậy $A = - 1$ khi $x = - 1.$

d) Với $x \ne - 3$ và $x \ne 3,$ thì $A = \frac{4}{{x - 3}}.$

Để $A = - 4$ thì$\frac{4}{{x - 3}} = - 4$, do đó $x - 3 = - 1,$ nên $x = 2$ (thoả mãn điều kiện xác định).

Vậy với $x = 2$ thì $A = - 4.$

Hướng dẫn giải

a) Với $x \ne 1$ và $x \ne - 1$ ta có:

$B = \frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} + \frac{4}{{1 - {x^2}}}$$= \frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} - \frac{4}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

$= \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {{\left( {x - 1} \right)}^2} - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$$= \frac{{\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) - \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

$= \frac{{4x - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$$= \frac{{4\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$$= \frac{4}{{x + 1}}$.

Vậy với $x \ne 1$ và $x \ne - 1$ thì $B = \frac{4}{{x + 1}}.$

b) Với $x = - \frac{1}{2}$ thoả mãn điều kiện xác định, thay vào biểu thức $B = \frac{4}{{x + 1}},$ ta được:

$B = \frac{4}{{ - \frac{1}{2} + 1}} = \frac{4}{{\frac{1}{2}}} = 8.$

Vậy với $x = - \frac{1}{2}$ thì $B = 8.$

c) Với $x \ne 1$ và $x \ne - 1$ thì $B = \frac{4}{{x + 1}}.$

Với $x$ là số nguyên, để $B$ nhận giá trị nguyên thì $x + 1$ là ước của $4.$

Mà Ư$\left( 4 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2;\,\,4;\,\, - 4} \right\}.$

Ta có bảng sau:

Do đó: $x \in \left\{ { - 5;\,\, - 3;\,\, - 2;\,\,0;\,\,3} \right\}.$

Vậy để $B$ nhận giá trị nguyên thì $x \in \left\{ { - 5;\,\, - 3;\,\, - 2;\,\,0;\,\,3} \right\}.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: ${x^2} + x - 6 = {x^2} - 2x + 3x - 6 = x\left( {x - 2} \right) + 3\left( {x - 2} \right) = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right).$

$2 - x = - \left( {x - 2} \right).$

Khi đó, điều kiện xác định của biểu thức $C$ là $x + 3 \ne 0$ và $x - 2 \ne 0$, tức là $x \ne - 3$ và $x \ne 2.$

Vậy biểu thức $C$ xác định khi $x \ne - 3$ và $x \ne 2.$

b) Với $x \ne - 3$ và $x \ne 2,$ ta có:

$C = \frac{{x + 2}}{{x + 3}} - \frac{5}{{{x^2} + x - 6}} + \frac{1}{{2 - x}}$$= \frac{{x + 2}}{{x + 3}} - \frac{5}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \frac{1}{{x - 2}}$

$= \frac{{\left( {x + 2} \right) \cdot \left( {x - 2} \right) - 5 - 1 \cdot \left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}}$$= \frac{{{x^2} - 4 - 5 - x - 3}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}}$

$$= \frac{{{x^2} - x - 12}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{{x^2} - 4x + 3x - 12}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{x\left( {x - 4} \right) + 3\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}}$$

$$= \frac{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{x - 4}}{{x - 2}}.$$

Vậy $x \ne - 3$ và $x \ne 2,$ thì $C = \frac{{x - 4}}{{x - 2}}.$

c) Ta có: ${x^2} - 9 = 0$

$$\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) = 0$$

$x = 3$ (thoả mãn điều kiện) hoặc $x = - 3$ (không thỏa mãn điều kiện).

Thay $x = 3$ vào biểu thức $C = \frac{{x - 4}}{{x - 2}},$ ta được: $C = \frac{{3 - 4}}{{3 - 2}} = \frac{{ - 1}}{1} = - 1.$

Vậy $C = - 1$ khi ${x^2} - 9 = 0.$

d) Với $x \ne - 3$ và $x \ne 2,$ ta có: $C = \frac{{x - 4}}{{x - 2}} = \frac{{x - 2 - 2}}{{x - 2}} = 1 - \frac{2}{{x - 2}}.$

Với $x$ là số nguyên, để $C$ cũng có giá trị nguyên thì $x - 2$ là ước của $2.$

Mà Ư$\left( 2 \right) = \left\{ { - 1;\,\,1;\,\, - 2;\,\,2} \right\}.$

Ta có bảng sau:

Do đó, để $C$ có giá trị là số nguyên dương lớn nhất thì $C = 3.$

Vậy $x = 1$ thì $C$ đạt giá trị nguyên dương lớn nhất là $C = 3.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

⦁ ${x^2} - 2x = x\left( {x - 2} \right).$

⦁ $\frac{{x + 2}}{x} - \frac{x}{{x - 2}} = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)}} - \frac{{{x^2}}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{{x^2} - 4 - {x^2}}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{ - 4}}{{x\left( {x - 2} \right)}}.$

Khi đó, điều kiện xác định của biểu thức $D$ là $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x \ne 0\\x - 2 \ne 0\\\frac{{x + 2}}{x} - \frac{x}{{x - 2}} \ne 0\end{array} \right.,$ hay $\left\{ \begin{array}{l}x\left( {x - 2} \right) \ne 0\\x \ne 2\\\frac{{ - 4}}{{x\left( {x - 2} \right)}} \ne 0\end{array} \right.,$ tức là $\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne 2\end{array} \right..$

Với $x \ne 0$ và $x \ne 2,$ ta có:

$$D = \left( {\frac{{x - 4}}{{{x^2} - 2x}} + \frac{2}{{x - 2}}} \right):\left( {\frac{{x + 2}}{x} - \frac{x}{{x - 2}}} \right)$$

$$= \left[ {\frac{{x - 4}}{{x\left( {x - 2} \right)}} + \frac{{2x}}{{x\left( {x - 2} \right)}}} \right]:\left[ {\frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)}} - \frac{{{x^2}}}{{x\left( {x - 2} \right)}}} \right]$$

$$= \frac{{x - 4 + 2x}}{{x\left( {x - 2} \right)}}:\frac{{{x^2} - 4 - {x^2}}}{{x\left( {x - 2} \right)}}$$

$$= \frac{{3x - 4}}{{x\left( {x - 2} \right)}}:\frac{{ - 4}}{{x\left( {x - 2} \right)}}$$

$$= \frac{{3x - 4}}{{x\left( {x - 2} \right)}} \cdot \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{ - 4}} = \frac{{ - 3x + 4}}{4}.$$

Vậy với $x \ne 0$ và $x \ne 2,$ thì $D = \frac{{ - 3x + 4}}{4}.$

b) Với $x \ne 0$ và $x \ne 2,$ ta có: $D > 0$ khi $\frac{{ - 3x + 4}}{4} > 0,$ do đó $- 3x + 4 > 0$ (vì $4 > 0).$

Suy ra $3x < 4,$ nên $x < \frac{4}{3}.$

Kết hợp với điều kiện $x \ne 0$ và $x \ne 2,$ ta được $x < \frac{4}{3}$ và $x \ne 0.$

Vậy với $x < \frac{4}{3}$ và $x \ne 0$ thì $D > 0.$

c) Để $D$ là số nguyên âm lớn nhất thì $D = - 1,$ khi đó:

$\frac{{ - 3x + 4}}{4} = - 1$

$- 3x + 4 = - 4$

$- 3x = - 8$

$x = \frac{8}{3}$ (thoả mãn điều kiện).

Vậy với $x = \frac{8}{3}$ thì $D$ có giá trị là số nguyên âm lớn nhất.

Hướng dẫn giải

a) Với $x \ne 0$ và $x \ne 2,$ ta có:

$$M = \frac{1}{{{x^2} - 2x}} \cdot \left( {\frac{{{x^2} + 4}}{x} - 4} \right) + 1 = \frac{1}{{x\left( {x - 2} \right)}} \cdot \left( {\frac{{{x^2} + 4}}{x} - \frac{{4x}}{x}} \right) + 1$$

$$= \frac{1}{{x\left( {x - 2} \right)}} \cdot \frac{{{x^2} + 4 - 4x}}{x} + 1 = \frac{1}{{x\left( {x - 2} \right)}} \cdot \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{x} + 1$$

$$= \frac{{x - 2}}{{{x^2}}} + \frac{{{x^2}}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2}}}.$$

Vậy với $x \ne 0$ và $x \ne 2,$ thì $M = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2}}}.$

b) Ta có $\left| {4 - x} \right| = 2$

Trường hợp 1. $4 - x = 2$

$x = 2$ (không thoả mãn).

Trường hợp 1. $4 - x = - 2$

$x = 6$ (thoả mãn).

Thay $x = 6$ vào biểu thức $M = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2}}},$ ta được:

$$M = \frac{{{6^2} + 6 - 2}}{{{6^2}}} = \frac{{36 + 6 - 2}}{{36}} = \frac{{10}}{9}.$$

Vậy $M = \frac{{10}}{9}$ khi $\left| {4 - x} \right| = 2.$

c) Với $x \ne 0$ và $x \ne 2,$ ta có $M = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2}}} = 1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{{{x^2}}}.$

Đặt $\frac{1}{x} = t\,\,\,\left( {t \ne 0;\,\,t \ne \frac{1}{2}} \right),$ khi đó:

$$M = 1 + t - 2{t^2} = - 2\left( {{t^2} - \frac{1}{2}t - \frac{1}{2}} \right) = - 2\left( {{t^2} - 2 \cdot t \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{{16}} - \frac{1}{2} - \frac{1}{{16}}} \right)$$

$$= - 2\left[ {{{\left( {t - \frac{1}{4}} \right)}^2} - \frac{9}{{16}}} \right] = \frac{9}{8} - 2{\left( {t - \frac{1}{4}} \right)^2}.$$

Vì ${\left( {t - \frac{1}{4}} \right)^2} \ge 0$ nên $- 2{\left( {t - \frac{1}{4}} \right)^2} \le 0,$ do đó $P \le \frac{9}{8}.$

Dấu đẳng thức xảy ra khi $t - \frac{1}{4} = 0,$ tức là $t = \frac{1}{4}$ (thoả mãn).

Với $t = \frac{1}{4},$ ta có $\frac{1}{x} = \frac{1}{4},$ suy ra $x = 4.$

Vậy giá trị lớn nhất của $M$ là $\frac{9}{8}$ khi $x = 4.$

a) Do $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AD = BC$ và $AD\,{\rm{//}}\,BC.$

Xét $\Delta AHD$ vuông tại $H$ và $\Delta CKB$ vuông tại $K$ có:

$AD = BC$ và $\widehat {ADH} = \widehat {CBK}$ (so le trong của $AD\,{\rm{//}}\,BC).$

Do đó $\Delta AHD = \Delta CKB$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra $DH = BK$ (hai cạnh tương ứng).

b) Ta có $\Delta AHD = \Delta CKB$ (câu a) nên $AH = CK$.

Mặt khác: $AH \bot BD,\,\,CK \bot BD$ nên $AH\,{\rm{//}}\,CK$

Do đó tứ giác $AHCK$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

c) Ta có: $AH = HE$ và $AH = CK$ nên $HE = CK$

Mà $HE\,{\rm{//}}\,CK$ ($AH\,{\rm{//}}\,CK$ và $E$ là điểm đối xứng với $A$ qua $H$)

Do đó tứ giác $CKHE$ là hình bình hành. Suy ra $HK\,{\rm{//}}\,CE$ hay $BD\,{\rm{//}}\,CE$ (1)

Xét $\Delta ADE$ có $DH$ là đường cao, vừa là trung tuyến nên $\Delta ADE$ cân tại $D$

Do đó $DH$ là đường phân giác của $\Delta ADE$, nên $\widehat {ADB} = \widehat {EDB}$

Mà $\widehat {ADB} = \widehat {CBD}$ nên $\widehat {EDB} = \widehat {CBD}$ (2)

Từ (1) và (2), suy ra tứ giác $CEDB$ là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết hình thang cân).

Hướng dẫn giải

Từ $x + y + z = 0$ suy ra $z = - x - y;\,\,y = - x - z;\,\,x = - y - z.$

Ta có: $T = \frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} - {z^2}}} + \frac{{yz}}{{{y^2} + {z^2} - {x^2}}} + \frac{{xz}}{{{z^2} + {x^2} - {y^2}}}$

$= \frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} - {{\left( { - x - y} \right)}^2}}} + \frac{{yz}}{{{y^2} + {z^2} - {{\left( { - y - z} \right)}^2}}} + \frac{{xz}}{{{z^2} + {x^2} - {{\left( { - x - z} \right)}^2}}}$

$= \frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} - \left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right)}} + \frac{{yz}}{{{y^2} + {z^2} - \left( {{y^2} + 2yz + {z^2}} \right)}} + \frac{{xz}}{{{z^2} + {x^2} - \left( {{z^2} + 2xz + {x^2}} \right)}}$

$= \frac{{xy}}{{ - 2xy}} + \frac{{yz}}{{ - 2yz}} + \frac{{xz}}{{ - 2xz}}$

$= \frac{1}{{ - 2}} + \frac{1}{{ - 2}} + \frac{1}{{ - 2}} = - \frac{3}{2}$

Vậy $T = - \frac{3}{2}$.