Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 6 Kết nối tri thức cấu trúc mới (Tự luận) có đáp án - Phần 3

a) Ta có $A = 5 + {5^2} + {5^3} + ... + {5^{100}}$ nên $5A = 5 \cdot \left( {5 + {5^2} + {5^3} + ... + {5^{100}}} \right) = {5^2} + {5^3} + {5^4} + ... + {5^{101}}$.

Suy ra $5A - A = \left( {{5^2} + {5^3} + {5^4} + ... + {5^{101}}} \right) - \left( {5 + {5^2} + {5^3} + ... + {5^{100}}} \right)$

Do đó $4A = {5^{101}} - 5$ nên $A = \frac{{{5^{101}} - 5}}{4}.$

b) Ta có $B = 1 + {3^2} + {3^4} + ... + {3^{100}}$ nên ${3^2} \cdot B = {3^2} \cdot \left( {1 + {3^2} + {3^4} + ... + {3^{100}}} \right) = {3^2} + {3^4} + {3^6} + ... + {3^{102}}$.

Suy ra ${3^2}B - B = \left( {{3^2} + {3^4} + {3^6} + ... + {3^{102}}} \right) - \left( {1 + {3^2} + {3^4} + ... + {3^{100}}} \right)$

Do đó $8B = {3^{102}} - 1$ nên $B = \frac{{{3^{102}} - 1}}{8}.$

c) Ta có $C = 2 - {2^2} + {2^3} - {2^4} + ... - {2^{100}}$ nên

$2C = 2 \cdot \left( {2 - {2^2} + {2^3} - {2^4} + ... + {2^{99}} - {2^{100}}} \right) = {2^2} - {2^3} + {2^4} - {2^5} + ... + {2^{100}} - {2^{101}}$

Suy ra $2C + C = \left( {{2^2} - {2^3} + {2^4} - {2^5} + ... + {2^{100}} - {2^{101}}} \right) + \left( {2 - {2^2} + {2^3} - {2^4} + ... + {2^{99}} - {2^{100}}} \right)$

Do đó $3C = 2 - {2^{101}}$ nên $C = \frac{{2 - {2^{101}}}}{3}.$

d) Ta có $D = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + ... + 99 \cdot 100$ nên $3D = 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 3 + ... + 99 \cdot 100 \cdot 3$

Suy ra $3D = 1 \cdot 2 \cdot \left( {3 - 0} \right) + 2 \cdot 3 \cdot \left( {4 - 1} \right) + ... + 99 \cdot 100 \cdot \left( {101 - 98} \right)$

$$= 1 \cdot 2 \cdot 3 - 1 \cdot 2 \cdot 0 + 2 \cdot 3 \cdot 4 - 2 \cdot 3 \cdot 1 + ... + 99 \cdot 100 \cdot 101 - 99 \cdot 100 \cdot 98$$

$$= \left( {1 \cdot 2 \cdot 3 - 2 \cdot 3 \cdot 1} \right) + \left( {2 \cdot 3 \cdot 4 - 3 \cdot 4 \cdot 2} \right) + ... + \left( {98 \cdot 99 \cdot 100 - 99 \cdot 100 \cdot 98} \right) + \left( {99 \cdot 100 \cdot 101 - 1 \cdot 2 \cdot 0} \right)$$

$= 99 \cdot 100 \cdot 101 - 0 = 99 \cdot 100 \cdot 101$.

Do đó $D = \frac{{99 \cdot 100 \cdot 101}}{3} = 33 \cdot 100 \cdot 101 = 333\,\,300$.

e) Ta có $E = 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + ... + 98 \cdot 99 \cdot 100$ nên $4E = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 + 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 4 + ... + 98 \cdot 99 \cdot 100 \cdot 4$

Suy ra $4E = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 + 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \left( {5 - 1} \right) + ... + 98 \cdot 99 \cdot 100 \cdot \left( {101 - 97} \right)$

$= 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 + 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 1 + ... + 98 \cdot 99 \cdot 100 \cdot 101 - 98 \cdot 99 \cdot 100 \cdot 97$

$= \left( {1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 1} \right) + \left( {2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 - 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 2} \right) + ...\left( {97 \cdot 98 \cdot 99 \cdot 100 - 98 \cdot 99 \cdot 100 \cdot 97} \right) + 98 \cdot 99 \cdot 100 \cdot 101$

$= 98 \cdot 99 \cdot 100 \cdot 101$

Do đó $E = \frac{{98 \cdot 99 \cdot 100 \cdot 101}}{4} = 24\,\,497\,\,550.$

f) $F = {1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {99^2} + {100^2}$

$= 1 \cdot \left( {2 - 1} \right) + 2 \cdot \left( {3 - 1} \right) + 3 \cdot \left( {4 - 1} \right) + ... + 99 \cdot \left( {100 - 1} \right) + 100 \cdot \left( {101 - 1} \right)$

$$= 1 \cdot 2 - 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 - 2 \cdot 1 + 3 \cdot 4 - 3 \cdot 1 + ... + 99 \cdot 100 - 99 \cdot 1 + 100 \cdot 101 - 100 \cdot 1$$

$$= 1 \cdot 2 - 1 + 2 \cdot 3 - 2 + 3 \cdot 4 - 3 + ... + 99 \cdot 100 - 99 + 100 \cdot 101 - 100$$

$$= \left( {1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 - 3 + ... + 99 \cdot 100 + 100 \cdot 101} \right) - \left( {1 + 2 + ... + 99 + 100} \right)$$

$= \frac{{100 \cdot 101 \cdot 102}}{3} - \frac{{100 \cdot \left( {100 + 1} \right)}}{2}$ (tương tự câu d)

$$= \frac{{100 \cdot 101 \cdot 102}}{3} - \frac{{100 \cdot 101}}{2}$$

$$= \frac{{100 \cdot 101 \cdot 102 \cdot 2 - 100 \cdot 101 \cdot 3}}{6}$$

$= \frac{{100 \cdot 101 \cdot 201}}{6} = 338\,\,350.$

g) $G = 1 \cdot 99 + 2 \cdot 98 + 3 \cdot 97 + ... + 98 \cdot 2 + 99 \cdot 1$

$= 1 \cdot 99 + 2 \cdot \left( {99 - 1} \right) + 3 \cdot \left( {99 - 2} \right) + ... + 98 \cdot \left( {99 - 97} \right) + 99 \cdot \left( {99 - 98} \right)$

$$= 1 \cdot 99 + 2 \cdot 99 - 2 \cdot 1 + 3 \cdot 99 - 3 \cdot 2 + ... + 98 \cdot 99 - 98 \cdot 97 + 99 \cdot 99 - 99 \cdot 98$$

$$= \left( {1 \cdot 99 + 2 \cdot 99 + 3 \cdot 99 + ... + 98 \cdot 99 + 99 \cdot 99} \right) - \left( {2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + ... + 98 \cdot 97 + 99 \cdot 98} \right)$$

$= 99 \cdot \left( {1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99} \right) - \frac{{98 \cdot 99 \cdot 100}}{3}$ (tương tự câu d)

$$= 99 \cdot \frac{{99 \cdot \left( {99 + 1} \right)}}{2} - 98 \cdot 33 \cdot 100$$

$$= 99 \cdot 99 \cdot 50 - 98 \cdot 33 \cdot 100 = 166\,\,650.$$

h) $H = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + ... + 97 \cdot 99 + 98 \cdot 100$

$= 1 \cdot \left( {2 + 1} \right) + 2 \cdot \left( {3 + 1} \right) + 3 \cdot \left( {4 + 1} \right) + ... + 97 \cdot \left( {98 + 1} \right) + 98 \cdot \left( {99 + 1} \right)$

$= 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 4 + 3 \cdot 1 + ... + 97 \cdot 98 + 97 \cdot 1 + 98 \cdot 99 + 98 \cdot 1$

$$= \left( {1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + ... + 97 \cdot 98 + 98 \cdot 99} \right) + \left( {1 + 2 + 3 + ... + 97 + 98} \right)$$

$= \frac{{98 \cdot 99 \cdot 100}}{3} + \frac{{98 \cdot \left( {98 + 1} \right)}}{2}$ (tương tự câu d)

$$= 98 \cdot 33 \cdot 100 + 49 \cdot 99 = 328\,\,251.$$

Hướng dẫn giải

Ta có:

⦁ $A = 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{119}} + {2^{120}}$

$= \left( {2 + {2^2} + {2^3} + {2^4}} \right) + \left( {{2^5} + {2^6} + {2^7} + {2^8}} \right) + ... + \left( {{2^{117}} + {2^{118}} + {2^{119}} + {2^{120}}} \right)$ (30 nhóm)

$= 2 \cdot \left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3}} \right) + {2^5} \cdot \left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3}} \right) + ... + {2^{117}} \cdot \left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3}} \right)$

$= \left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3}} \right) \cdot \left( {2 + {2^5} + ... + {2^{117}}} \right)$

$= 15 \cdot \left( {2 + {2^5} + ... + {2^{117}}} \right)$

$= 3 \cdot 5 \cdot \left( {2 + {2^5} + ... + {2^{117}}} \right)$

Kết quả trên chia hết cho 3 và 5 nên $A\,\, \vdots \,\,3,\,\,\,A\,\, \vdots \,\,5.$

⦁ $A = 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{119}} + {2^{120}} = \left( {2 + {2^2} + {2^3}} \right) + \left( {{2^4} + {2^5} + {2^6}} \right) + ... + \left( {{2^{118}} + {2^{119}} + {2^{120}}} \right)$ (40 nhóm)

$= 2 \cdot \left( {1 + 2 + {2^2}} \right) + {2^4} \cdot \left( {1 + 2 + {2^2}} \right) + ... + {2^{118}} \cdot \left( {1 + 2 + {2^2}} \right)$

$= \left( {1 + 2 + {2^2}} \right) \cdot \left( {2 + {2^4} + ... + {2^{118}}} \right)$

$= 7 \cdot \left( {2 + {2^4} + ... + {2^{118}}} \right)\,\,\, \vdots \,\,\,7.$

Do đó $A\,\, \vdots \,\,7.$

a) Vì $n \in \mathbb{Z}$ nên $5\,\, \vdots \,\,\left( {n + 1} \right)$ khi $\left( {n + 1} \right) \in$Ư$\left( 5 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,5;\,\, - 5} \right\}.$

⦁ Với $n + 1 = 1,$ suy ra $n = 0$ (thỏa mãn);

⦁ Với $n + 1 = - 1,$ suy ra $n = - 2$ (thỏa mãn);

⦁ Với $n + 1 = 5,$ suy ra $n = 4$ (thỏa mãn);

⦁ Với $n + 1 = - 5,$ suy ra $n = - 6$ (thỏa mãn).

Vậy $n \in \left\{ {0;\,\, - 2;\,\,4;\,\, - 6} \right\}.$

b) Vì $n \in \mathbb{Z}$ nên $\left( {n - 2} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {n - 2} \right)$.

Mà $\left( {n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {n - 2} \right)$ nên $\left[ {\left( {n + 3} \right) - \left( {n + 2} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,\left( {n - 2} \right)$ hay $1\,\, \vdots \,\,\left( {n - 2} \right)$.

Do đó $\left( {n - 2} \right) \in$Ư$\left( 1 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1} \right\}.$

⦁ Với $n - 2 = 1,$ suy ra $n = 3$ (thỏa mãn);

⦁ Với $n - 2 = - 1,$ suy ra $n = 1$ (thỏa mãn).

Vậy $n \in \left\{ {3;\,\,1} \right\}.$

c) Vì $n \in \mathbb{Z}$ nên $\left( {2n + 1} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {2n + 1} \right)$, suy ra $2\left( {2n + 1} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {2n + 1} \right)$ hay $\left( {4n + 2} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {2n + 1} \right)$.

Mà $\left( {4n - 1} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {2n + 1} \right)$ nên $\left[ {\left( {4n + 2} \right) - \left( {4n - 1} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,\left( {2n + 1} \right)$ hay $3\,\, \vdots \,\,\left( {2n + 1} \right)$

Do đó $\left( {2n + 1} \right) \in$Ư$\left( 3 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,3;\,\, - 3} \right\}.$

⦁ Với $2n + 1 = 1,$ suy ra $n = 0$ (thỏa mãn);

⦁ Với $2n + 1 = - 1,$ suy ra $n = - 1$ (thỏa mãn);

⦁ Với $2n + 1 = 3,$ suy ra $n = 1$ (thỏa mãn);

⦁ Với $2n + 1 = - 3,$ suy ra $n = - 2$ (thỏa mãn).

Vậy $n \in \left\{ {0;\,\, - 1;\,\,1;\,\, - 2} \right\}.$

d) Vì $n \in \mathbb{Z}$ nên $\left( {3n + 2} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {3n + 2} \right)$.

Mà $\left( {n + 1} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {3n + 2} \right)$ nên $3\left( {n + 1} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {3n + 2} \right)$ hay $\left( {3n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {3n + 2} \right)$.

Suy ra $\left[ {\left( {3n + 3} \right) - \left( {3n + 2} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,\left( {3n + 2} \right)$ hay $1\,\, \vdots \,\,\left( {3n + 2} \right)$

Do đó $\left( {3n + 2} \right) \in$Ư$\left( 1 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1} \right\}.$

⦁ Với $3n + 2 = 1,$ suy ra $n = - \frac{1}{3}$ (không thỏa mãn);

⦁ Với $3n + 2 = - 1,$ suy ra $n = - 1$ (thỏa mãn).

Thử lại, với $n = - 1$ ta có $n + 1 = 0$ và $3n + 2 = - 1,$ nên $\left( {n + 1} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {3n + 2} \right)$.

Vậy $n = - 1.$

a) Với $x \in \mathbb{Z},$ từ $\left( {x + 3} \right)\left( {y - 5} \right) = - 5$ ta có $x + 3 \in$Ư$\left( { - 5} \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,5;\,\, - 5} \right\}$.

Ta có bảng sau:

Vậy $\left( {x;\,\,y} \right) \in \left\{ {\left( { - 2;\,\,0} \right);\,\,\left( { - 4;\,\,10} \right);\,\,\left( {2;\,\,4} \right);\,\,\left( { - 8;6} \right)} \right\}.$

b) Với $x \in \mathbb{Z},$ từ $\left( {2x - 3} \right)\left( {y + 2} \right) = 12$

ta có $2x - 3 \in$Ư$\left( {12} \right) = \left\{ {1;\, - 1;\,\,2;\, - 2;\,\,3;\, - 3;\,\,4;\, - 4;\,\,6;\, - 6;\,\,12;\, - 12} \right\}$

Mà $2x - 3$ là số nguyên lẻ nên ta có $2x - 3 \in \left\{ {1;\, - 1;\,\,3;\, - 3} \right\}$.

Ta có bảng sau:

Vậy $\left( {x;\,\,y} \right) \in \left\{ {\left( {2;\,\,10} \right);\,\,\left( {2;\,\, - 14} \right);\,\,\left( {3;\,\,2} \right);\,\,\left( {0;\,\, - 6} \right)} \right\}.$

c) Ta có: $xy + 2x + 3y = 0$

$x\left( {y + 2} \right) + 3\left( {y + 2} \right) = 6$

$\left( {y + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 6$.

Với $x \in \mathbb{Z},$ từ $\left( {y + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 6$ ta có $x + 3 \in$Ư$\left( 6 \right) = \left\{ {1;\, - 1;\,\,2;\, - 2;\,\,3;\, - 3;\,\,6;\, - 6} \right\}$

Ta có bảng sau:

Vậy $\left( {x;\,\,y} \right) \in \left\{ {\left( { - 2;\,\,4} \right);\,\,\left( { - 4;\,\, - 8} \right);\,\,\left( { - 1;\,\,1} \right);\,\,\left( { - 5;\,\, - 5} \right);\,\,\left( {0;\,\,0} \right);\,\,\left( { - 6;\,\, - 4} \right);\,\,\left( {3;\,\, - 1} \right);\,\,\left( { - 9;\,\, - 3} \right)} \right\}.$

d) Ta có: $3xy - x + y - 2 = 0$

$$9xy - 3x + 3y - 6 = 0$$

$$3x\left( {3y - 1} \right) + \left( {3y - 1} \right) = 5$$

$\left( {3y - 1} \right)\left( {3x + 1} \right) = 5$.

Với $x \in \mathbb{Z},$ từ $\left( {3y - 1} \right)\left( {3x + 1} \right) = 5$ ta có $3x + 1 \in$Ư$\left( 5 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,5;\,\, - 5} \right\}$.

Ta có bảng sau:

Vậy $\left( {x;\,\,y} \right) = \left\{ {\left( {0;\,\,2} \right);\,\,\left( { - 2;\,\,0} \right)} \right\}.$

a) Gọi ƯCLN$\left( {n + 5,\,\,n + 6} \right) = d\,\,\left( {d \in {\mathbb{N}^*}} \right),$ suy ra $\left( {n + 5} \right)\,\, \vdots \,\,d$ và $\left( {n + 6} \right)\,\, \vdots \,\,d$.

Do đó $\left[ {\left( {n + 6} \right) - \left( {n + 5} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,d$ hay $1\,\, \vdots \,\,d$ nên $d = 1.$

Vậy $n + 5$ và $n + 6$ là hai số nguyên tố cùng nhau.

b) Gọi ƯCLN$\left( {5n + 3,\,\,3n + 2} \right) = d\,\,\left( {d \in {\mathbb{N}^*}} \right),$ suy ra $\left( {5n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d$ và $\left( {3n + 2} \right)\,\, \vdots \,\,d$.

Từ $\left( {5n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d$ ta có $3\left( {5n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d$ hay $\left( {15n + 9} \right)\,\, \vdots \,\,d$.

Từ $\left( {3n + 2} \right)\,\, \vdots \,\,d$ ta có $5\left( {3n + 2} \right)\,\, \vdots \,\,d$ hay $\left( {15n + 10} \right)\,\, \vdots \,\,d$

Do đó $\left[ {\left( {15n + 10} \right) - \left( {15n + 9} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,d$ hay $1\,\, \vdots \,\,d$ nên $d = 1.$

Vậy $5n + 3$ và $3n + 2$ là hai số nguyên tố cùng nhau.

Gọi ƯCLN$\left( {5a + 2b,\,\,7a + 3b} \right) = d\,\,\left( {d \in {\mathbb{N}^*}} \right),$ suy ra $\left( {5a + 2b} \right)\,\, \vdots \,\,d$ và $\left( {7a + 3b} \right)\,\, \vdots \,\,d$.

⦁ Từ $\left( {5a + 2b} \right)\,\, \vdots \,\,d$ ta có $3\left( {5a + 2b} \right)\,\, \vdots \,\,d$ hay $\left( {15a + 6b} \right)\,\, \vdots \,\,d$

Từ $\left( {7a + 3b} \right)\,\, \vdots \,\,d$ ta có $2\left( {7a + 3b} \right)\,\, \vdots \,\,d$ hay $\left( {14a + 6b} \right)\,\, \vdots \,\,d$

Do đó $\left[ {\left( {15a + 6b} \right) - \left( {14a + 6b} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,d$ hay $a\,\, \vdots \,\,d$ (1).

⦁ Từ $\left( {5a + 2b} \right)\,\, \vdots \,\,d$ ta có $7\left( {5a + 2b} \right)\,\, \vdots \,\,d$ hay $\left( {35a + 14b} \right)\,\, \vdots \,\,d$

Từ $\left( {7a + 3b} \right)\,\, \vdots \,\,d$ ta có $5\left( {7a + 3b} \right)\,\, \vdots \,\,d$ hay $\left( {35a + 15b} \right)\,\, \vdots \,\,d$

Do đó $\left[ {\left( {35a + 15b} \right) - \left( {35a + 14b} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,d$ hay $b\,\, \vdots \,\,d$ (2).

⦁ Từ (1) và (2) suy ra $d =$ƯC$\left( {a,\,\,b} \right)$.

Mà $a$ và $b$ là hai số nguyên tố cùng nhau nên ƯCLN$\left( {a,\,\,b} \right) = 1.$ Do đó $d = 1.$

Vậy $5a + 2b$ và $7a + 3b$ là hai số nguyên số cùng nhau.

Hướng dẫn giải

a) Gọi ƯCLN$\left( {3n + 4,\,\,9n + 5} \right) = d\,\,\left( {d \in {\mathbb{N}^*}} \right)$

Suy ra $\left( {3n + 4} \right)\,\, \vdots \,\,d$ và $\left( {9n + 5} \right)\,\, \vdots \,\,d$

Từ $\left( {3n + 4} \right)\,\, \vdots \,\,d$ ta có $3\left( {3n + 4} \right)\,\, \vdots \,\,d$ hay $\left( {9n + 12} \right)\,\, \vdots \,\,d$

Do đó $\left[ {\left( {9n + 12} \right) - \left( {9n + 5} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,d$ hay $7\,\, \vdots \,\,d$ nên $d \in \left\{ {1;\,\,7} \right\}.$

Để $3n + 4$ và $9n + 5$ là hai số nguyên tố cùng nhau thì $d \ne 7$, tức là $\left( {3n + 4} \right)\,\,\cancel{ \vdots }\,\,7,$ suy ra $\left( {3n + 4 - 7} \right)\,\,\cancel{ \vdots }\,\,7,$ do đó $\left( {3n - 3} \right)\,\,\cancel{ \vdots }\,\,7,$ hay $\left( {n - 1} \right)\,\,\cancel{ \vdots }\,\,7$ nên $n \ne 7k + 1\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)$.

Vậy $n \ne 7k + 1\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)$ thì $3n + 4$ và $9n + 5$ là hai số nguyên tố cùng nhau.

b) Gọi ƯCLN$\left( {n + 3,\,\,6n + 1} \right) = d\,\,\left( {d \in {\mathbb{N}^*}} \right)$

Suy ra $\left( {n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d$ và $\left( {6n + 1} \right)\,\, \vdots \,\,d$

Từ $\left( {n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d$ ta có $6\left( {n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d$ hay $\left( {6n + 18} \right)\,\, \vdots \,\,d$

Do đó $\left[ {\left( {6n + 18} \right) - \left( {6n + 1} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,d$ hay $17\,\, \vdots \,\,d$ nên $d \in \left\{ {1;\,\,17} \right\}.$

Để $18n + 3$ và $21n + 7$ là hai số nguyên tố cùng nhau thì $d \ne 17,$ tức là $\left( {n + 3} \right)\,\,\cancel{ \vdots }\,\,17$ suy ra $n \ne 17k - 3\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)$.

Vậy $n \ne 17k - 3\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)$ thì $n + 3$ và $6n + 1$ là hai số nguyên tố cùng nhau.

Hướng dẫn giải

Vì robot được lập trình cứ tiến 6 bước thì lùi 2 bước nên mỗi lượt thực hiện một lập trình, robot đi được quãng đường là: $6 \cdot 5 - 2 \cdot 5 = 20{\rm{\;dm}}{\rm{.}}$

Như vậy, mỗi lần thực hiện một lập trình robot đi được quãng đường $20{\rm{\;dm}}$ và bước tổng $6 + 2 = 8$ bước.

Ta có: $126:8 = 15$ dư 6.

Do đó để đến B thì robot đã thực hiện 15 lập trình và bước thêm 6 bước.

Khi đó, quãng đường robot đi được là: $15 \cdot 20 + 6 \cdot 5 = 330{\rm{\;(dm)}}{\rm{.}}$

Vậy khoảng cách từ A đến B dài 330 dm.

Hướng dẫn giải

Tổng khối lượng xoài và xam lúc đầu là:

$65 + 71 + 58 + 72 + 93 = 359$ (kg).

Vì sau khi bán một giỏ cam khối lượng xoài gấp ba lần số lượng cam còn lại nên tổng khối lượng xoài và cam còn lại là một số chia hết cho 4.

Mà số $359$ chia 4 dư 3 nên giỏ cam bán đi phải có khối lượng là một số chia 4 dư 3.

Trong các số $65,\,\,71,\,\,58,\,\,72,\,\,93$ thì chỉ có số $71$ chia 4 dư 3.

Như vậy, giỏ cam bán đi là giỏ có khối lượng $71{\rm{\;kg}}{\rm{.}}$

Khối lượng xoài và cam còn lại là: $359 - 71 = 288{\rm{\;(kg)}}{\rm{.}}$

Khối lượng cam còn lại là: $288:4 = 72{\rm{\;(kg)}}{\rm{.}}$

Vậy, các giỏ cam là các giỏ có khối lượng: $71{\rm{\;kg}},\,\,72{\rm{\;kg;}}$ các giỏ xoài là các giỏ có khối lượng $65{\rm{\;kg,}}\,\,58{\rm{\;kg}},\,\,93{\rm{\;kg}}.$

Hướng dẫn giải

Gọi $n$ là số ống mà hàng dưới cùng người công nhân đã xếp.

Theo bài, tổng số ống mà người công nhân xếp là: $1 + 2 + 3 + ... + n$ (ống).

Tổng trên là tổng của dãy số $1,\,\,2,\,\,3,\,\,...,\,\,\,n$ có $n$ số hạng và cách đều nhau 1 đơn vị.

Như vậy, tổng của dãy số trên là: $1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{{n \cdot \left( {n + 1} \right)}}{2}.$

Theo bài, người công nhân cần xếp 465 ống nên ta có: $\frac{{n \cdot \left( {n + 1} \right)}}{2} = 465.$

Suy ra $n \cdot \left( {n + 1} \right) = 930.$

Hai số $n$, $n + 1$ là hai số tự nhiên liên tiếp và ta thấy rằng $30 \cdot 31 = 930$ nên $n = 30.$

Vậy người công nhân cần xếp 30 hàng và hàng dưới cùng xếp 30 ống.

Hướng dẫn giải

⦁ Từ ngày 02/09/1945 đến ngày 02/09/2024 có $2\,\,024 - 1\,\,945 = 79$ (năm).

Vì cứ 4 năm lại có 1 năm nhuận, mà $79:4 = 19$ dư 3 nên trong 79 năm có 19 năm nhuận.

Như vậy, 79 năm này có số ngày là: $79 \cdot 365 + 19 = 28\,\,854$ (ngày).

⦁ Tháng 9 có 30 ngày và tháng 10 có 31 ngày.

Từ ngày 02/09/2024 đến ngày 14/11/2024 có: $29 + 31 + 14 = 74$ (ngày).

Như vậy, từ ngày 02/09/1945 đến ngày 31/10/2024 có: $28\,\,854 + 74 = 28\,\,928$ (ngày).

Ta có: $28\,\,928:7 = 4\,\,132$ dư 4.

Do đó từ ngày 02/09/1945 đến ngày 14/11/2024 có: $4\,\,132$ tuần và 4 ngày.

Vậy ngày Quốc Khánh 02/09/1945 vào Chủ Nhật.

Hướng dẫn giải

Gọi số học sinh của trường đó là $a$ học sinh $\left( {a \in \mathbb{N},600 > a > 13} \right)$.

Khi xếp thành 8 hàng, 12 hàng, 15 hàng thì dư lần lượt 6 học sinh, 10 học sinh, 13 học sinh nên ta có $a - 6$ chia hết cho 8, $a - 10$ chia hết cho 10; $a - 13$ chia hết cho 15.

Hay nhận thấy $\left( {a + 2} \right) \vdots 8$; $\left( {a + 2} \right) \vdots 10$; $\left( {a + 2} \right) \vdots 15$.

Do đó, $\left( {a + 2} \right)$ là BC$\left( {8,{\rm{ 12, 15}}} \right)$