Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 12 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

$y' = 3{x^4} - 12{x^3} + 12{x^2} = 3{x^2}{\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}$. Chọn B.

$y' = 4{x^3} - 4x = 4x\left( {{x^2} - 1} \right)$

$y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 1\end{array} \right.$.

Bảng biến thiên

Chọn B.

Ta có $y' = 3{x^2} - 4x + a$.

Đồ thị hàm số có điểm cực trị là $A\left( {1;3} \right)$, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}y'\left( 1 \right) = - 1 + a = 0\\y\left( 1 \right) = - 1 + a + b = 3\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 3\end{array} \right.$.
Khi đó ta có, $4a - b = 1$. Chọn A.

Xét hàm số $P = 12I - 0{,}5{I^2}$ với $I \ge 0$.

$P' = 12 - I;P' = 0 \Leftrightarrow I = 12$.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có công suất P tăng trong khoảng cường độ dòng điện $\left( {0;12} \right)$. Chọn D.

Điều kiện: $3{x^2} - {x^3} \ge 0 \Leftrightarrow x \le 3$.

Có $y' = \frac{{6x - 3{x^2}}}{{2\sqrt {3{x^2} - {x^3}} }},\forall x \ne 3;x \ne 0$.

$y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Hàm số nghịch biến $\left( { - \infty ;0} \right)$ và $\left( {2;3} \right)$.

Hàm số đồng biến $\left( {0;2} \right)$.

Đồ thị hàm số có hai cực trị .

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) Ta có $y = \frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 2}}$ suy ra $y' = \frac{{\left( {2x + 3} \right)\left( {x + 2} \right) - \left( {{x^2} + 3x + 3} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$.

b) $y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = - 1\end{array} \right.$$\Rightarrow y\left( { - 3} \right) = - 3$; $y\left( { - 1} \right) = 1$.

Suy ra $A\left( { - 3\,;\, - 3} \right)$ và $B\left( { - 1\,;\,1} \right)$

Do ${x_A}.{x_B} = 3 > 0$ nên $A$ và $B$ nằm ở cùng một phía của trục tung.

c) Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {2\,;\,4} \right)$.

Suy ra đường thẳng $AB$ có phương trình là $- 2\left( {x + 1} \right) + \left( {y - 1} \right) = 0$$\Leftrightarrow y = 2x + 3$.

d) Đường thẳng $\Delta$ có phương trình là $x + 2y + 4 = 0$ nên $\Delta$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {1\,;\,2} \right)$.

$\overrightarrow {AB} = \left( {2\,;\,4} \right)$

Suy ra $\overrightarrow {{n_\Delta }}$ và $\overrightarrow {AB}$ cùng phương với nhau. Do đó $AB \bot \Delta$.

Ta có $I\left( { - 2\,;\, - 1} \right)$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ và $I \in \Delta$.

Vậy $A$ và $B$ đối xứng nhau qua đường thẳng $\Delta$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

Dựa vào đồ thị hàm số ta có

a) Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên các khoảng $( - \infty ; - 1)$ và $(1; + \infty ).$

b) Giá trị cực đại là y = 3, giá trị cực tiểu là y = –1.

Do đó tổng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là 3 – 1 = 2.

c) Hàm số $y = f(x)$có hai cực trị là $x = \pm 1.$

d) Gọi $d:y = {\rm{ax}} + b$ là đường thẳng qua hai điểm cực trị $A( - 1;3),B(1; - 1).$

$A,B \in d \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a + b = 3\\a + b = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = 1\end{array} \right. \Rightarrow d:y = - 2x + 1$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{5}{x^5} - {x^4} + {x^3}$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$.

Ta có: $f'\left( x \right) = {x^4} - 4{x^3} + 3{x^2} = {x^2}\left( {{x^2} - 4x + 3} \right)$.

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} - 4x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 0\\{x^2} - 4x + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = 3\end{array} \right.$.

Bảng xét dấu của hàm số $f'\left( x \right)$ như sau:

Suy ra hàm số $f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( {1;3} \right)$ có độ dài bằng $2,$ nên ta có $a = 1;b = 3 \Rightarrow P = 1.3 = 3.$

Trả lời: 3.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 4} \right\}.$

Ta có $y' = \frac{{4 - {m^2}}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}.$

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi

$y' > 0\;\forall x \in D \Leftrightarrow \frac{{4 - {m^2}}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}} > 0\;\forall x \ne - 4 \Leftrightarrow - 2 < m < 2.$

Vì $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}$

Vậy có 3 giá trị m nguyên để bài toán thỏa mãn.

Trả lời: 3.

Có $h'\left( t \right) = - \frac{\pi }{6}\cos \left( {\frac{\pi }{6} - \frac{\pi }{{12}}t} \right)$;

$h'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - \frac{\pi }{6}\cos \left( {\frac{\pi }{6} - \frac{\pi }{{12}}t} \right) = 0$$\Leftrightarrow \frac{\pi }{6} - \frac{\pi }{{12}}t = \frac{\pi }{2} + k\pi$$\Leftrightarrow t = - 4 - 12k$.

Vì $0 \le t \le 24$ nên $\Leftrightarrow 0 \le - 4 - 12k \le 24$$\Leftrightarrow - \frac{7}{3} \le k \le - \frac{1}{3}$ mà$k \in \mathbb{Z}$ nên $k = - 2;k = - 1$.

Suy ra $t = 20;t = 8$.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiến ta thấy $\left( {8;20} \right)$ là khoảng thời gian trong ngày mà độ sâu của mực nước trong kênh tăng dần. Suy ra $a = 8;b = 20.$ Do đó $T = 2a + b = 36$.

Trả lời: 36.