Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 12 cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Bài 9. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp $12A$là: ${R_1} = 180 - 150 = 30$ (cm).

Trong mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp $12B$, khoảng đầu tiên chứa dữ liệu là [155; 160) và khoảng cuối cùng chứa dữ liệu là [175; 180).

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp $12B$là: ${R_2} = 180 - 155 = 25$ (cm). Chọn A.

Cỡ mẫu $n = 14 + 30 + 25 + 18 + 5 = 92 \Rightarrow \frac{n}{4} = 23$

Tần số tích lũy của nhóm 1 là $14 < 23$ và tần số tích lũy của nhóm 2 là $44 > 23$

Vậy nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{4} = 23$.

Nhóm 2 có đầu mút trái $s = 6$, độ dài $h = 11 - 6 = 5$, tần số ${n_2} = 30$; tần số tích lũy của nhóm 1 là $c{f_1} = 14$.

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q_1} = s + \left( {\frac{{23 - c{f_1}}}{{{n_2}}}} \right) \cdot h = 6 + \left( {\frac{{23 - 14}}{{30}}} \right) \cdot 5 = \frac{{15}}{2}$.

Ta có $\frac{{3n}}{4} = 69$ nên nhóm 3 là nhóm có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{{3n}}{4}$.

Nhóm 3 có đầu mút trái ${\rm{t}} = 11$, độ dài $l = 16 - 11 = 5$, tần số ${{\rm{n}}_3} = 25$; tần số tích lũy của nhóm 3 là $c{f_2} = 44$

Tứ phân vị thứ ba ${Q_3}$ của mẫu số liệu đã cho là

${Q_3} = t + \left( {\frac{{69 - c{f_2}}}{{{n_3}}}} \right) \cdot l = 11 + \left( {\frac{{69 - 44}}{{25}}} \right) \cdot 5 = 16$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _Q}\; = {Q_3}--{Q_1}\; = 16--\frac{{15}}{2} = \frac{{17}}{2}$. Chọn B.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó là : $R = 110 - 74 = 36$(gam).

Số phần tử của mẫu là $n = 27$.

Có $\frac{n}{4} = \frac{{27}}{4} = 6{,}75$. Nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 6,75 nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ nhất.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là:${Q_1} = 80 + \left( {\frac{{6{,}75 - 4}}{6}} \right).6 = 82{,}75$(gam).

Có $\frac{{3n}}{4} = 20{,}25$. Nhóm 6 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 20,25 nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ ba.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là: ${Q_3} = 104 + \left( {\frac{{20{,}25 - 20}}{7}} \right).6 = \frac{{1459}}{{14}} \approx 104{,}2$(gam).

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là:

${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} \approx 104{,}2 - 82{,}75 = 21{,}45$(gam). Chọn A.

a) Ta có: $R = 45 - 20 = 25$.

b)

Có $n = 6 + 5 + 7 + 8 + 2 = 28$.

Ta có $\frac{n}{4} = 7$. Nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 7 nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm $\left[ {25;30} \right)$.

$\Rightarrow {Q_1} = 25 + \frac{{\frac{{28}}{4} - 6}}{5}.(30 - 25) = 26$.

c) Ta có $\frac{{3n}}{4} = 21$. Nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 21 nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm [35; 40).

$\Rightarrow {Q_3} = 35 + \frac{{\frac{3}{4}.28 - 18}}{8}.(40 - 35) = 36{,}875$.

d) ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 36{,}875 - 26 = \frac{{87}}{8}$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) Chiều cao cao nhất của các bạn học sinh trong lớp 12D là 185(cm) là sai.

b) Khoảng biến thiên của chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp 12C là $185 - 155 = 30\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

c) Khoảng biến thiên của chiều cao các bạn học sinh nữ lớp 12D là $180 - 155 = 25\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

d) Dựa vào khoảng biến thiên chiều cao của hai lớp 12C và 12D thì chiều cao của lớp 12C có độ phân tán lớn hơn.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là $R = 40 - 10 = 30$.

b) $n = 60$.

c) Ta có $\frac{n}{4} = 15$. Nhóm 1 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 15 nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ nhất.

${Q_1} = 10 + \frac{{15 - 0}}{{15}}.5 = 15$. Do đó ${Q_1} = 15$.

d) Có $\frac{{3n}}{4} = 45$. Nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 45 nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ ba.

Ta có tứ phân vị thứ ba là ${Q_3} = 25 + \left( {\frac{{45 - 43}}{{10}}} \right).5 = 26$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 26 - 15 = 9$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Ta có bảng mẫu số liệu:

Ta có: $\frac{n}{4} = 25$. Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn $25$.

Tứ phân vị thứ nhất ${Q_1}$ của mẫu số liệu là:

${Q_1} = s + \left( {\frac{{25 - c{f_2}}}{{{n_3}}}} \right).\,h = 40 + \left( {\frac{{25 - 17}}{{23}}} \right).\,20 = \frac{{1080}}{{23}} \approx 47$.

Ta có: $\frac{{3n}}{4} = 75$. Nhóm 5 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn $75$.

Tứ phân vị thứ ba ${Q_3}$ của mẫu số liệu là:

${Q_3} = t + \left( {\frac{{75 - c{f_4}}}{{{n_5}}}} \right).\,l = 80 + \left( {\frac{{75 - 71}}{{29}}} \right).\,20 = \frac{{2400}}{{29}} \approx 82{,}8$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là:

${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{2400}}{{29}} - \frac{{1080}}{{23}} = \frac{{23880}}{{667}} \approx 35{,}8$.

Trả lời: 35,8.

$R = 21 - 6 = 15$.

Trả lời: 15.

Số phần tử của mẫu là $n = 11 + 10 + 13 + 9 + 7 = 50$.

Ta có $\frac{n}{4} = 12{,}5$. Nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 12,5 nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ nhất.

Áp dụng công thức ta có tứ phân vị thứ nhất là ${Q_1} = 10 + \left( {\frac{{12{,}5 - 11}}{{10}}} \right) \cdot 10 = 11{,}5$(phút).

Ta có $\frac{{3n}}{4} = 37{,}5$. Nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 37,5 nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ ba.

Áp dụng công thức ta có tứ phân vị thứ ba là ${Q_3} = 30 + \left( {\frac{{37{,}5 - 34}}{9}} \right) \cdot 10 = \frac{{305}}{9}$ (phút).

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là: ${{\rm{\Delta }}_Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{305}}{9} - 11{,}5 \approx 22{,}4$(phút).

Trả lời: 22,4.