Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 12 cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Bài 8. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A\left( {2; - 3;5} \right)$ lên $Oy$. Suy ra $H\left( {0; - 3;0} \right)$

Khi đó $H$ là trung điểm đoạn $AA'$.

$\left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_H} - {x_A} = - 2\\{y_{A'}} = 2{y_H} - {y_A} = - 3\\{z_{A'}} = 2{z_H} - {z_A} = - 5\end{array} \right.$$\Rightarrow A'\left( { - 2; - 3; - 5} \right)$. Chọn D.

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;\;0;\;1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {1;\;1;\;1} \right)$$\Rightarrow \left( { - 1} \right).1 + 0.1 + 1.1 = 0 \Rightarrow AB \bot AC$.

Nên diện tích tam giác $ABC$ là $S = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{{\sqrt 6 }}{2}$. Chọn C.

a) Vì $\overrightarrow a - 2\overrightarrow b = \left( {0;7; - 7} \right).$

b) Vì $\vec a = \overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 = {x_B} - 4\\1 = {y_B} - 6\\ - 3 = {z_B} + 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 2\\{y_B} = 7\\{z_B} = - 6\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {2;7; - 6} \right).$

c) Vì $\frac{{ - 2}}{{ - 1}} \ne \frac{1}{{ - 3}} \ne \frac{{ - 3}}{2}.$

d) Vì $\cos \left( {\vec a;\vec b} \right) = \frac{{ - 2.\left( { - 1} \right) + \left( { - 3} \right).1 + \left( { - 3} \right).2}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {2^2}} }} = - \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {\vec a,\vec b} \right) = 120^\circ$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) Vì nền nhà là hình chữ nhật nên tứ giác $OABC$ là hình chữ nhật, suy ra ${x_A} = {x_B} = 4$, ${y_C} = {y_B} = 5.$

Do $A$ nằm trên trục $Ox$ nên tọa độ điểm $A$ là $(4;0;0)$. Tường nhà là hình chữ nhật nên tứ giác $OCHE$ là hình chữ nhật, suy ra ${y_H} = {y_C} = 5$, ${z_H} = {z_E} = 3$.

Do $H$ nằm trên mặt phẳng $(Oyz)$ nên tọa độ điểm $H$ là $(0;5;3)$.

Tứ giác $OAFE$ là hình chữ nhật nên ${x_F} = {x_A} = 4;{z_F} = {z_E} = 3$.

Do $F$ nằm trên mặt phẳng $(Ozx)$ nên tọa độ điểm $F$ là $(4;0;3)$.

b) Nên $\overrightarrow {AH} = \left( { - 4;5;3} \right)$ và $\overrightarrow {AF} = (0;0;3)$.

c) Suy ra $\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {AF} = 0 + 0 + 9 = 9$.

d) Để tính góc dốc của mái nhà, ta đi tính số đo của góc nhị diện có cạnh là đường thẳng $FG$, hai mặt lần lượt là $(FGQP)$ và $(FGHE)$.

Do mặt phẳng $(Ozx)$ vuông góc với hai mặt phẳng $(FGQP)$ và ($FGHE)$ nên góc $PFE$ là góc phẳng nhị diện ứng với góc nhị diện đó. Ta có: $\overrightarrow {FP} = ( - 2;0;1),\overrightarrow {FE} = ( - 4;0;0)$.

Suy ra $\cos \widehat {PFE} = \cos (\overrightarrow {FP} ,\overrightarrow {FE} ) = \frac{{\overrightarrow {FP} \cdot \overrightarrow {FE} }}{{|\overrightarrow {FP} | \cdot |\overrightarrow {FE} |}}$

$= \frac{{( - 2) \cdot ( - 4) + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0}}{{\sqrt {{{( - 2)}^2} + {0^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{{( - 4)}^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}{\rm{. }}$

Do đó, $\widehat {PFE} \approx 26{,}6^\circ$. Vậy góc dốc của mái nhà khoảng $26{,}6^\circ$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

a) $\overrightarrow {OM} = \left( { - 4;3; - 1} \right)$.

b) $\overrightarrow v = \overrightarrow i + 2\overrightarrow j - 3\overrightarrow k$$\Rightarrow \overrightarrow v = \left( {1;2; - 3} \right)$. Giả sử $A\left( {x;y;z} \right)$.

Vì $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow v$ nên $\{\begin{matrix}-4-x=1 \\ 3-y=2 \\ -1-z=-3\end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=-5 \\ y=1 \\ z=2\end{matrix}\Rightarrow A(-5;1;2)$

c) Ta có $G\left( {\frac{{ - 2}}{3};\frac{2}{3}; - \frac{4}{3}} \right)$. Tọa độ hình chiếu của $G$ trên $\left( {Oxy} \right)$ là $\left( { - \frac{2}{3};\frac{2}{3};0} \right)$.

d) Vì I là trung điểm của MN nên $I\left( {\frac{{ - 4 + 2}}{2};\frac{{3 - 1}}{2};\frac{{ - 1 - 3}}{2}} \right) \Rightarrow I\left( { - 1;1; - 2} \right)$.

Theo giả thiết $\overrightarrow w = 3\overrightarrow i + 2\overrightarrow {ON} - \frac{1}{2}\overrightarrow {OI} = 3\left( {1;0;0} \right) + 2\left( {2; - 1; - 3} \right) - \frac{1}{2}\left( { - 1;1; - 2} \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow w = \left( {\frac{{15}}{2}; - \frac{5}{2}; - 5} \right)$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.

Ta có $\overrightarrow u = \left( {2;\, - 2;\,1} \right)$

Khi đó $\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} = 3$ và $\left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt {{m^2} + {2^2} + {{\left( {m + 1} \right)}^2}} = \sqrt {2{m^2} + 2m + 5}$

Do đó $\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| {\overrightarrow v } \right| \Leftrightarrow 9 = 2{m^2} + 2m + 5$$\Leftrightarrow {m^2} + m - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 2\end{array} \right.$ .

Vậy có hai giá trị của $m$.

Trả lời: 2.

Gọi điểm $M\left( {x;y;z} \right)$. Khi đó: $\overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow {MB}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 4 = 2\left( { - 2 - x} \right)\\y - 2 = 2\left( { - 1 - y} \right)\\z - 1 = 2\left( {4 - z} \right)\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = 3\end{array} \right.$.

Vậy $M\left( {0;0;3} \right)$ nên $a + b + c = 3$.

Trả lời: 3.

Ta có $\overrightarrow {OA} = \left( {1;0;0} \right),\overrightarrow {OB} = \left( { - \sqrt 3 ;1;0} \right)$.

Khi đó $\cos \widehat {AOB} = \cos \left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right) = \frac{{\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} }}{{\left| {\overrightarrow {OA} } \right|.\left| {\overrightarrow {OB} } \right|}} = \frac{{ - \sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \widehat {AOB} = 150^\circ$.

Trả lời: 150.