Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 12 cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Bài 6. Vectơ trong không gian

Do $ABCD.A'B'C'D'$ là hình lập phương nên ta có $AD = B'C'$

Ta thấy $\overrightarrow {AD}$ và $\overrightarrow {B'C'}$ cùng hướng .

Do đó $\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {B'C'}$. Chọn A.

Do $ABCD.EFGH$ là hình hộp nên $EH = AD$ và hai vecto $\overrightarrow {EH} ,\overrightarrow {AD}$ cùng hướng nên $\overrightarrow {EH} = \overrightarrow {AD}$

Ta có $\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {EH} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DB}$. Chọn C.

Ta có: $\overrightarrow {BD} \, = \,\,\overrightarrow {B'D'}$.

Do đó,$\left( {\overrightarrow {BD} \,,\,\overrightarrow {B'C} } \right)\, = \,\left( {\overrightarrow {B'D'} \,,\,\overrightarrow {B'C} } \right)\, = \widehat {\,D'B'C}$

Vì $B'C = \,CD'\, = \,D'B'$nên tam giác $B'CD'$là tam giác đều.

Suy ra $\widehat {\,D'B'C}\, = \,60^\circ$.

Vậy $\left( {\overrightarrow {BD} \,,\,\overrightarrow {B'C} } \right)\, = \,60^\circ$. Chọn C.

a) Ta có $ABCD$ là hình vuông nên $\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD}$ ( qui tắc hình bình hành)

suy ra$\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AD}$.

b) Do $G$là trọng tâm tam giác $SBD$ nên

$\overrightarrow {GS} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AS} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AB} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow 0$

$\Rightarrow \overrightarrow {AS} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} .$

c) Ta có $ABCD$ là hình vuông nên $AC \bot BD \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = 0 \Rightarrow 2\overrightarrow {{\rm{IJ}}} .\overrightarrow {BD} = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{\rm{IJ}}} .\overrightarrow {BD} = 0$ .

Mà $\overrightarrow 0 \ne 0$ nên mệnh đề sai.

d) Do $G$là trọng tâm tam giác $SBD$ nên $\overrightarrow {AS} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG}$

${\left( {3\overrightarrow {AG} } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow {AS} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)^2} \Rightarrow 9A{G^2} = A{S^2} + A{B^2} + A{D^2} + 2\overrightarrow {AS} \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AS} \overrightarrow {AD} + 2\overrightarrow {AD} \overrightarrow {AB} \;\left( 1 \right)$

Vì $SA$vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ nên$\left\{ \begin{array}{l}SA \bot AB\\SA \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {AD} = 0\\\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {AB} = 0\end{array} \right.\;\left( 2 \right)$

$ABCD$ là hình vuông nên $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 0\left( 3 \right)$ .

Từ $\left( 1 \right);\left( 2 \right);\left( 3 \right)$ ta được $9A{G^2} = A{S^2} + A{B^2} + A{D^2}.$

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai.

a) $\overrightarrow {AD'} .\overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {AD'} .\overrightarrow {{\rm{AA'}}} = \left| {\overrightarrow {AD'} } \right|.\left| {\overrightarrow {{\rm{AA'}}} } \right|{\rm{cos45}}^\circ = {a^2}$.

b) $\overrightarrow {AD'} .\overrightarrow {AB'} = \left| {\overrightarrow {AD'} } \right|.\left| {\overrightarrow {{\rm{AB'}}} } \right|{\rm{cos60}}^\circ = {a^2}$.

c) $\overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {C{\rm{D'}}} = \overrightarrow {AB'} .\overrightarrow {{\rm{BA'}}} = 0$.

d) $\left| {\overrightarrow {AC'} } \right| = AC' = \sqrt {A{C^2} + C{{C'}^2}} = \sqrt {A{B^2} + B{C^2} + C{{C'}^2}} = a\sqrt 3$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng.

a) Có $OADB$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {BO} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BA}$ (quy tắc hình bình hành).

b) Có $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OD} ;\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OE}$.

Do đó $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OE}$.

c) Vì $OADB$ là hình bình hành và $\widehat {BOA} = 120^\circ \Rightarrow \widehat {OBD} = 60^\circ$.

Xét $\Delta OBD$ có $OD = \sqrt {O{B^2} + B{D^2} - 2.OB.BD.\cos 60^\circ } = \sqrt {{{24}^2} + {{12}^2} - 2.24.12.\cos 60^\circ } = 12\sqrt 3$ N.

d) Ta có $\Delta OCE$ vuông tại $C$, ta có $OE = \sqrt {O{C^2} + C{E^2}} = \sqrt {{6^2} + {{\left( {12\sqrt 3 } \right)}^2}} = 6\sqrt {13}$ N.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

Do $E$ là trung điểm $AD$, $F$ là trung điểm $BC$nên: $\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {ED} = \overrightarrow 0$; $\overrightarrow {FB} + \overrightarrow {FC} = - \left( {\overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CF} } \right) = \overrightarrow 0$.

Có $\{\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FB} \\ \overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FC}\end{matrix}\Rightarrow \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{E\ F}$ . Suy ra $k=2$

Trả lời: 2.

Ta có $\overrightarrow {A'B} = \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AA'}$

$\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'}$

$\Rightarrow \overrightarrow {A'B} .\overrightarrow {AC'} = \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AA'} } \right).\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right) = {\overrightarrow {AB} ^2} - {\overrightarrow {AA'} ^2} = 0$.

$\Rightarrow$Góc giữa hai véc tơ $\overrightarrow {A'B}$ và $\overrightarrow {AC'}$ bằng $90^\circ$.

Trả lời: 90.

Vì $ABCD$ là tứ diện đều cạnh bằng 1 nên $BM = AM = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.Xét $\Delta ABM$ có $\cos \widehat {BAM} = \frac{{A{B^2} + A{M^2} - B{M^2}}}{{2.AB.AM}} = \frac{{{1^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}{{2.1.\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$.Có $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AM} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AM} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AM} } \right) = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AM} } \right|.\cos \widehat {BAM} = 1.\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{1}{{\sqrt 3 }} = 0{,}5$.

Trả lời: 0,5.