Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 12 cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Ta có: $S = {t^3} - 3{t^2} - 9t + 2$.

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = S' = 3{t^2} - 6t - 9\\a = S'' = 6t - 6\end{array} \right.$

Khi vận tốc bị triệt tiêu tức $v = 0 \Leftrightarrow 3{t^2} - 6t - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1 < 0\\t = 3\left( {tm} \right)\end{array} \right.$.

Khi đó gia tốc tại thời điểm vận tốc bị triệt tiêu là $a = 6.3 - 6 = 12\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)$. Chọn D.

Vì $s = \frac{1}{3}{t^3} - {t^2} + 9t \Rightarrow v = {t^2} - 2t + 9$$_{.}$

Xét hàm $f\left( t \right) = {t^2} - 2t + 9 \Rightarrow f'\left( t \right) = 2t - 2 = 0 \Rightarrow t = 1$.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;10} \right]} f\left( t \right) = f\left( {10} \right) = 89$.

Vậy vận tốc của vật đạt được lớn nhất bằng $89\left( {{\rm{m/s}}} \right).$ Chọn A.

Gọi chiều rộng, chiều dài, chiều cao của bể lần lượt là $x,\,2x,\,y\,\left( {x,\,y > 0} \right)$.

Diện tích phần lắp kính là

$2x.x + 2xy + 2.2x.y = 2{x^2} + 6xy = 8\, \Leftrightarrow \,xy = \frac{{8 - 2{x^2}}}{6} > 0$ $\Rightarrow \,x < \sqrt {\frac{8}{2}} = \sqrt 4 = 2$.

Thể tích bể cá là: $V = 2x.x.y = 2x.\frac{{8 - 2{x^2}}}{6} = \frac{{ - 4{x^3} + 16x}}{6}$ với $0 < x < 2$.

Ta có: $V' = \frac{{ - 12{x^2} + 16}}{6},\,V' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\\x = - \frac{2}{{\sqrt 3 }}\,\,\left( L \right)\end{array} \right.$

$\Rightarrow \,{V_{\max }} = V\left( {\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right) \approx \,2{,}05\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}$. Chọn A.

Tốc độ tăng trưởng của quần thể nấm $X$ tại thời điểm $t$ là: $P'\left( t \right) = 120.0{,}15.{{\rm{e}}^{0{,}15t}} = 18{{\rm{e}}^{0{,}15t}}$.

Do đó, tốc độ tăng trưởng của quần thể nấm $X$ tại thời điểm $t = 0$ là $P'\left( 0 \right) = 18$ tế bào/giờ. Chọn A.

Ta có: $x\left( p \right) = \frac{{25000}}{p} - 100$$\Rightarrow x'\left( p \right) = - \frac{{25000}}{{{p^2}}} < 0$, với mọi $p \in \left( {0;250} \right)$.

Do đó hàm số luôn nghịch biến trên khoảng $\left( {0;250} \right)$.

Vậy số lượng sản phẩm bán ra luôn giảm khi giá bán tăng. Chọn D.

a) Chi phí để $A$ sản xuất $10$ tấn sản phẩm trong một tháng là $C\left( {10} \right) = 100 + 30.10 = 400$triệu đồng.

b) Số tiền $A$ thu được khi bán $10$ tấn sản phẩm cho $B$ là

$R\left( {10} \right) = 10.P\left( {10} \right) = 10.\left( {45 - 0,{{001.10}^2}} \right) = 449$ triệu đồng.

c) Lợi nhuận mà $A$ thu được là: $H\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = xP\left( x \right) - C\left( x \right)$

$P\left( x \right) = 45x - 0{,}001{x^3} - \left( {100 + 30x} \right) = - 0{,}001{x^3} + 15x - 100$.

d) Xét hàm số $H\left( x \right) = - 0{,}001{x^3} + 15x - 100$, $\left( {0 \le x \le 100} \right)$

Ta có: $H'\left( x \right) = - 0{,}003{x^2} + 15 = 0 \Leftrightarrow - 0{,}003{x^2} + 15 = 0 \Leftrightarrow x = 50\sqrt 2$ (chọn).

Khi đó: $H\left( 0 \right) = - 100$; $H\left( {50\sqrt 2 } \right) = 500\sqrt 2 - 100$; $H\left( {100} \right) = 400$.

Vậy $A$ bán cho $B$ khoảng $50\sqrt 2 \approx 70{,}7$ tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi nhuận lớn nhất bằng $H\left( {50\sqrt 2 } \right) = 500\sqrt 2 - 100$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

a) Chi phí mỗi ngày là tổng các chi phí nên $C\left( x \right) = 0{,}0005{x^2} + 0{,}15x + 5$ (triệu đồng).

b) Khi $x = 100$, ta có $C\left( {100} \right) = 0{,}0005 \times {100^2} + 0{,}15 \times 100 + 5 = 25$.

c) Chi phí trung bình trên mỗi khối sản phẩm là:

$\overline c \left( x \right) = \frac{{0{,}0005{x^2} + 0{,}15x + 5}}{x} = 0{,}0005x + 0{,}15 + \frac{5}{x}$.

d) Xét hàm số $\overline c \left( x \right) = 0{,}0005x + 0{,}15 + \frac{5}{x}$, $0 < x \le 200$.

Ta có ${\overline c ^{\,\prime }}\left( x \right) = \frac{5}{{{{10}^4}}} - \frac{5}{{{x^2}}}$, ${\overline c ^\prime }\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} = {10^4} \Rightarrow x = 100$ (do $x \in \left( {0;200} \right]$)

Bảng biến thiên:

Vậy chi phí trung bình giảm khi hàm số $\overline c \left( x \right)$nghịch biến, tức là $x \in \left( {0;100} \right)$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

Ta có $N\left( t \right) = 1000 + \frac{{100t}}{{100 + {t^2}}}$ nên $N'\left( t \right) = \frac{{ - 100{t^2} + 10000}}{{{{\left( {{t^2} + 100} \right)}^2}}}$.

Do đó $N'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 10$.

a) Ta có $N\left( 0 \right) = 1000;N\left( {10} \right) = 1005$ và $\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } N\left( t \right) = 1000$ nên $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} N\left( t \right) = N\left( {10} \right) = 1005$.

b) Có $N'\left( t \right) < 0 \Leftrightarrow t > 10$.

c) Có $N\left( t \right) = 1003 \Leftrightarrow \frac{{100t}}{{{t^2} + 100}} = 3$ $\Leftrightarrow 3{t^2} - 100t + 300 = 0$.

Phương trình trên có hai nghiệm phân biệt ${t_1};{t_2}$ và ${t_1}{t_2} = 100$.

d) Bảng biến thiên

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

Số tiền thu về khi bán $x$ mét vải lụa là: $220x$.

Lợi nhuận thu được khi bán $x$ mét vải lụa là:

$L\left( x \right) = 220x - \left( {{x^3} - 3{x^2} - 20x + 500} \right) = - {x^3} + 3{x^2} + 240x - 500$.

Xét hàm số $L\left( x \right) = - {x^3} + 3{x^2} + 240x - 500$ với $x \in \left[ {1;18} \right]$

$L'\left( x \right) = - 3{x^2} + 6x + 240 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 10 \in [1;18]\\x = - 8 \notin [1;18]\end{array} \right.$

Bảng biến thiên:

Vậy hộ làm nghề dệt này thu được lợi nhuận tối đa trong một ngày là $1200$ nghìn đồng khi sản xuất $10$ mét vải lụa trong một ngày.

Trả lời: 1200.

Ta có $f'\left( t \right) = 500\left( {2t - m{e^{ - t}}} \right)$ và $f''\left( t \right) = 500\left( {2 + m{e^{ - t}}} \right)$

Tốc độ bán hàng luôn tăng trong khoảng thời gian 10 năm đầu phát hành sản phẩm. $\Leftrightarrow {f}^{'}(t)$ là hàm số đồng biến trên $\left[ {0\,;\,10} \right]$ $\Leftrightarrow f''\left( t \right) \ge 0$, $\forall t \in \left[ {0\,;\,10} \right]$$\Leftrightarrow$$500\left( {2 + m{e^{ - t}}} \right) \ge 0\,,\,\,\forall t \in \left[ {0\,;\,10} \right]$

$\Leftrightarrow$$2 + m{e^{ - t}} \ge 0\,,\,\,\forall t \in \left[ {0\,;\,10} \right]$$\Leftrightarrow$$m{e^{ - t}} \ge - 2\,,\,\,\forall t \in \left[ {0\,;\,10} \right]$$\Leftrightarrow m \ge - 2{e^t}\,,\,\,\forall t \in \left[ {0\,;\,10} \right]$

$\Leftrightarrow m \ge - 2{e^0} = - 2$ (do hàm số $y = - 2{e^t}$ nghịch biến trên $\left[ {0\,;\,10} \right]$).

Vậy giá trị nhỏ nhất của $m$ là $- 2$.

Trả lời: −2.

Gọi $x$ là số máy công ty sử dụng để sản xuất đơn hàng 8000 quả bóng tennis, $x \in \left( {0;38} \right],x \in \mathbb{N}$.

Số bóng mỗi máy cần sản xuất: $\frac{{8000}}{x}$.

Số giờ cần thiết để hoàn thành đơn hàng $\frac{{8000}}{{30x}} = \frac{{800}}{{3x}}$.

Chi phí hoạt động: $f\left( x \right) = 200x + 192.\frac{{800}}{{3x}} = 200x + \frac{{51200}}{x}$(nghìn đồng).

Ta có $f'\left( x \right) = 200 - \frac{{51200}}{{{x^2}}}$; $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 200 - \frac{{51200}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 256 \Leftrightarrow x = 16$ vì $x \in \left( {0;38} \right],x \in \mathbb{N}$.

Bảng biến thiên:

Suy ra $\mathop {\min }\limits_{\left( {0;38} \right]} f\left( x \right) = 6400$ khi $x = 16$.

Vậy công ty nên sử dụng 16 máy để sản xuất đơn hàng 8000 quả bóng tennis cho chi phí hoạt động là thấp nhất.

Trả lời: 16.