Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 12 cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Xét hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 2$.

Ta có: $a = 1 > 0\,;\,\,y' = 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 2\\x = 2 \Rightarrow y = - 2\end{array} \right.$. Chọn D.

Tiệm cận ngang: $y = \frac{a}{c} = - 1$; tiệm cận đứng: $x = \frac{1}{c} = 1$.

Từ đây suy ra: $\left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\c = 1\end{array} \right.$ mà đồ thị lại cắt trục hoành tại $x = 2$ nên $2a + b = 0$ hay $b = - 2a = 2.$

Vậy $S = a + b + c = - 1 + 2 + 1 = 2.$ Chọn C.

Dựa vào đồ thị hàm số ta có tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x = 2$ và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là $y = x + 1$.

+) Xét hàm số $y = \frac{{{x^2} - x - 1}}{{x - 2}} = x + 1 + \frac{1}{{x - 2}}$ nhận $y = x + 1$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Hàm số đó là $y = \frac{{{x^2} - x - 1}}{{x - 2}}$. Chọn A.

Do $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \Rightarrow a > 0$ $\Rightarrow$ phát biểu $a = - 1$ : Sai

Do $y(0) = d = 1 > 0$ $\Rightarrow$ phát biểu $d = - 1$ và phát biểu $ad < 0$ đều Sai.

Do $y( - 1) = 0 \Rightarrow - a + b - c + d = 0 \Rightarrow a + c = b + d = b + 1$ (Đúng), Phát biểu $ad > 0$ đúng

Vậy các phát biểu 1, 2, 4 sai$\Rightarrow$ có 3 phát biểu sai. Chọn B.

Đồ thị hàm số $y = \frac{{a\,x - 1}}{{c\,x + d}}$ có tiệm cận đứng $x = - \frac{d}{c}$, tiệm cận ngang $y = \frac{a}{c}$

Theo đề bài ta có $\{\begin{matrix}\frac{a}{c}=-2 \\ -\frac{d}{c}=1 \\ \frac{a.2-1}{c.2+d}=-3\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}a=-2c \\ -d=c \\ 2a-1=-6c-3d\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}a+2c=0 \\ c+d=0 \\ 2a+6c+3d=1\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}a=2 \\ c=-1 \\ d=1\end{matrix}$. Chọn B.

a) Chi phí để $A$ sản xuất $10$ tấn sản phẩm trong một tháng là $C\left( {10} \right) = 100 + 30.10 = 400$triệu đồng.

b) Số tiền $A$ thu được khi bán $10$ tấn sản phẩm cho $B$ là

$R\left( {10} \right) = 10.P\left( {10} \right) = 10.\left( {45 - 0,{{001.10}^2}} \right) = 449$ triệu đồng.

c) Lợi nhuận mà $A$ thu được là: $H\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = xP\left( x \right) - C\left( x \right)$

$P\left( x \right) = 45x - 0{,}001{x^3} - \left( {100 + 30x} \right) = - 0{,}001{x^3} + 15x - 100$.

d) Xét hàm số $H\left( x \right) = - 0{,}001{x^3} + 15x - 100$, $\left( {0 \le x \le 100} \right)$

Ta có: $H'\left( x \right) = - 0{,}003{x^2} + 15 = 0 \Leftrightarrow - 0{,}003{x^2} + 15 = 0 \Leftrightarrow x = 50\sqrt 2$ (chọn).

Khi đó: $H\left( 0 \right) = - 100$; $H\left( {50\sqrt 2 } \right) = 500\sqrt 2 - 100$; $H\left( {100} \right) = 400$.

Vậy $A$ bán cho $B$ khoảng $50\sqrt 2 \approx 70{,}7$ tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi nhuận lớn nhất bằng $H\left( {50\sqrt 2 } \right) = 500\sqrt 2 - 100$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng

a) Ta có $y = - x - 6 - \frac{{14}}{{x - 3}}$.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( { - x - 6} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{ - 14}}{{x - 3}}} \right) = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( { - x - 6} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{ - 14}}{{x - 3}}} \right) = 0$.

Suy ra tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là $y = - x - 6$.

b) Phương trình đường tiệm cận đứng là $x = 3$.

Suy ra giao điểm 2 tiệm cận là $I\left( {3, - 9} \right)$ là tâm đối xứng.

c) $y' = \frac{{ - {x^2} + 6x + 5}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 6x - 5 = 0$ $\left( * \right)$

Phương trình $\left( * \right)$ luôn có 2 nghiệm ${x_1} < 0 < {x_2}$ nên $\left( C \right)$ luôn có 2 điểm cực trị nằm 2 phía đối với $Oy$.

d) $y = 0 \Leftrightarrow - {x^2} - 3x + 4 = 0$ và phương trình luôn có 2 nghiệm suy ra $\left( C \right)$cắt $Ox$ tại hai điểm phân biệt.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; c) Sai.

a) Thay $x = 0$ suy ra $f\left( 0 \right) = 20$.

b) Ta có $y' = 3{x^2} - 12x - 15 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > 5\end{array} \right.$.

Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( {5; + \infty } \right)$.

c) ${x_I} = \frac{{ - b}}{{3a}} = \frac{{ - \left( { - 6} \right)}}{{3.1}} = \frac{6}{3} = 2 \Rightarrow {y_I} = f\left( {{x_I}} \right) = f\left( 2 \right) = - 26$ suy ra $I\left( {2\,;\, - 26} \right)$.

d) Ta có $f'\left( x \right) = 3{x^2} - 12x - 15 \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 5\end{array} \right.$

Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng $\left( {4\,;\, + \infty } \right)$:

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right)$ trên khoảng $\left( { - 4\,;\, + \infty } \right)$ bằng $- 80$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; c) Đúng.

Với $m = 0$ ta có $y = \frac{{x - 3}}{{x - 1}}$. Khi đó đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên.

Với $m = 2$ ta có $y = \frac{{2{x^2} + x - 3}}{{x - 1}} = 2x + 3$. Khi đó đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên.

Với $m \ne 0;m \ne 2$ ta có $y = mx + m + 1 + \frac{{m - 2}}{{x - 1}}$.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {y - mx - m - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{m - 2}}{{x - 1}} = 0$ nên đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là $y = mx + m + 1$. Giao điểm của tiệm cận xiên với trục $Ox$ là $\left( {\frac{{ - m - 1}}{m};0} \right)$

Giao điểm của tiệm cận xiên với trục $Oy$ là $\left( {0;m + 1} \right)$.

Đường tiệm cận xiên tạo thành một tam giác thì diện tích của tam giác:

$S = \frac{1}{2}.\left| {m + 1} \right|.\left| {\frac{{ - m - 1}}{m}} \right| = 2 \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} = 4\left| m \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} + 2m + 1 = 4m;\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,m \ge 0\\{m^2} + 2m + 1 = - 4m;\,\,\,khi\,\,m < 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} - 2m + 1 = 0;\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,m \ge 0\\{m^2} + 6m + 1 = 0;\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{1}{2}\\m = - 3 + 2\sqrt 2 \\m = - 3 - 2\sqrt 2 \end{array} \right.$.

Vậy tổng giá trị của $S$ bằng $\frac{{ - 11}}{2} = - 5{,}5$.

Trả lời: −5,5.

Đồ thị hàm số $f\left( x \right) = \frac{{ax + 1}}{{bx + c}}$ có đường tiệm cận đứng là đường thẳng $x = - \frac{c}{b}$ và đường tiệm cận ngang là đường thẳng $y = \frac{a}{b}$.

Từ bảng biến thiên ta có: $\left\{ \begin{array}{l} - \frac{c}{b} = 2\\\frac{a}{b} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = - \frac{c}{2}$ $\left( 1 \right)$

Mặt khác: $f'\left( x \right) = \frac{{ac - b}}{{{{\left( {bx + c} \right)}^2}}}$.

Vì hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;2} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$ nên

$f'\left( x \right) = \frac{{ac - b}}{{{{\left( {bx + c} \right)}^2}}} > 0 \Leftrightarrow ac - b > 0$ $\left( 2 \right)$

Thay $\left( 1 \right)$ vào $\left( 2 \right)$, ta được: $- \frac{{{c^2}}}{2} + \frac{c}{2} > 0 \Leftrightarrow - {c^2} + c > 0 \Leftrightarrow 0 < c < 1$.

Suy ra c là số dương và a, b là số âm.

Trả lời: 1.

Đồ thị hàm số đi qua các điểm $A\left( { - 1; - 1} \right),B\left( {0;3} \right),C\left( {1;1} \right),D\left( {2; - 1} \right)$ nên ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l} - a + b - c + d = - 1\\d = 3\\a + b + c + d = 1\\8a + 4b + 2c + d = - 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 3\\c = 0\\d = 3\end{array} \right.$. Do đó $S = {t^3} - 3{t^2} + 3$.

Khi đó $v = S' = 3{t^2} - 6t$; $a = S'' = 6t - 6 = 12 \Rightarrow t = 3$.

Khi đó vận tốc của chuyển động là $S'\left( 3 \right) = 27 - 18 = 9$ m/s.

Trả lời: 9.