Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 12 cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Bài 10. Phương sai và độ lệch chuẩn

Giá trị trung bình

$\overline x = \frac{{17{,}5.10 + 22{,}5.12 + 27{,}5.14 + 32{,}5.9 + 37{,}5.5}}{{50}} = 26{,}2$. Chọn A.

Ta có:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline x = \frac{{6.1 + 3.3 + 7.5 + 5.7}}{{21}} \approx 4{,}05$.

Phương sai của mẫu số liệu là:

${S^2} = \frac{1}{{21}}\left[ {6.{{\left( {1 - 4{,}05} \right)}^2} + 3.{{\left( {3 - 4{,}05} \right)}^2} + 7.{{\left( {5 - 4{,}05} \right)}^2} + 5.{{\left( {7 - 4{,}05} \right)}^2}} \right] \approx 5{,}19$. Chọn A.

Ta có bảng sau

Ta có chiều cao trung bình:

$\overline x = \frac{1}{{500}}\left( {152.25 + 156.50 + 160.200 + 164.175 + 168.50} \right) = 161{,}4$.

Phương sai của mẫu số liệu:

$${s^2} = \frac{1}{{500}}\left[ \begin{array}{l}25{\left( {152 - 161{,}4} \right)^2} + 50{\left( {156 - 161{,}4} \right)^2} + 200{\left( {160 - 161{,}4} \right)^2}\\ + 175{\left( {164 - 161{,}4} \right)^2} + 50{\left( {168 - 161{,}4} \right)^2}\end{array} \right] = 14{,}84$$

$\Rightarrow$ Độ lệch chuẩn: $s = \sqrt {{s^2}} = \sqrt {14{,}48} \approx 3{,}85$. Chọn D.

Ta có bảng sau:

a) Số trung bình cộng của mẫu số liệu trên là:

$\overline x = \frac{{35.5 + 45.8 + 55.25 + 65.20 + 75.2}}{{60}} = 56$(nghìn đồng).

b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là: $80 - 30 = 50$(nghìn đồng).

c) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là $\left[ {50;60} \right)$.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là: ${Q_1} = 50 + \frac{{\frac{{60}}{4} - 13}}{{25}}.10 = 50{,}8$(nghìn đồng).

Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là $\left[ {60;70} \right)$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là: ${Q_3} = 60 + \frac{{\frac{{3.60}}{4} - 38}}{{20}}.10 = 63{,}5$(nghìn đồng).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là: ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 63{,}5 - 50{,}8 = 12{,}7$(nghìn đồng).

d) Phương sai của mẫu số liệu trên là:

${s^2} = \frac{{5{{\left( {35 - 56} \right)}^2} + 8{{\left( {45 - 56} \right)}^2} + 25{{\left( {55 - 56} \right)}^2} + 20{{\left( {65 - 56} \right)}^2} + 2{{\left( {75 - 56} \right)}^2}}}{{60}} = \frac{{277}}{3} \approx 92{,}3$(nghìn đồng).

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; c) Sai.

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: $R = 120 - 70 = 50.$

b) Số phần tử của mẫu là $n = 30$.

Có $\frac{n}{4} = 7{,}5$. Nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 7,5 nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ nhất.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là: ${Q_1} = 80 + \left( {\frac{{7{,}5 - 3}}{6}} \right).10 = 87{,}5\left( {{\rm{gam}}} \right)$.

Có $\frac{{3n}}{4} = 22{,}5$. Nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 22,5 nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ ba.

Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là: ${Q_3} = 100 + \left( {\frac{{22{,}5 - 21}}{6}} \right).10 = 102{,}5\left( {{\rm{gam}}} \right)$.

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: $\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} = 102{,}5 - 87{,}5 = 15$.

c) Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm

$\overline x = \frac{{3.75 + 6.85 + 12.95 + 6.105 + 3.115}}{{30}} = 95\left( {{\rm{gam}}} \right)$.

d) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${s^2} = \frac{1}{{30}}\left[ {3.{{\left( {75 - 95} \right)}^2} + 6.{{\left( {85 - 95} \right)}^2} + 12.{{\left( {95 - 95} \right)}^2} + 6.{{\left( {105 - 95} \right)}^2} + 3.{{\left( {115 - 95} \right)}^2}} \right] = 120$.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; c) Đúng.

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: $R = 26 - 6 = 20.$

b) Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm

$\overline x = \frac{{5.8 + 9.12 + 3.16 + 9.20 + 4.24}}{{30}} \approx 15{,}73\,\left( {{\rm{xe}}} \right)$.

c) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$${s^2} = \frac{1}{{30}}\left[ {5.{{\left( {8 - 15{,}73} \right)}^2} + 9.{{\left( {12 - 15{,}73} \right)}^2} + 3.{{\left( {16 - 15{,}73} \right)}^2} + 9.{{\left( {20 - 15{,}73} \right)}^2} + 4.{{\left( {24 - 15{,}73} \right)}^2}} \right] \approx 28{,}73$$

d) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: $s \approx \sqrt {28{,}73} \approx 5{,}36$.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; c) Sai.

Từ biểu đồ, ta có bảng thống kê sau:

Cỡ mẫu là $n = 2 + 4 + 7 + 5 = 18.$

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline x = \frac{{2.7{,}3 + 4.7{,}5 + 7.7{,}7 + 5.7{,}9}}{{18}} = \frac{{23}}{3}$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$${S^2} = \frac{1}{{18}}\left[ {2.{{\left( {7{,}3 - \frac{{23}}{3}} \right)}^2} + 4.{{\left( {7{,}5 - \frac{{23}}{3}} \right)}^2} + 7.{{\left( {7{,}7 - \frac{{23}}{3}} \right)}^2} + 5.{{\left( {7{,}9 - \frac{{23}}{3}} \right)}^2}} \right] \approx 0{,}04.$$

Trả lời: 0,04.

Giá trị đại diệm của mỗi nhóm như sau:

Tổng số học sinh là: 40.

Vậy giá trị trung bình là

$\overline x = \frac{{4.18{,}5 + 6.23{,}5 + 8.28{,}5 + 18.33{,}5 + 4.38{,}5}}{{40}} = 30$.

Trả lời: 30.

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline x \, = \frac{{35.2 + 45.10 + 55.16 + 65.8 + 75.2 + 85.2}}{{40}} = 56$.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$$\begin{array}{l}s\, = \sqrt {\frac{1}{{40}}\left[ {2.{{\left( {35 - 56} \right)}^2} + 10.{{\left( {45 - 56} \right)}^2} + 16.{{\left( {55 - 56} \right)}^2} + 8.{{\left( {65 - 56} \right)}^2} + 2.{{\left( {75 - 56} \right)}^2} + 2.{{\left( {85 - 56} \right)}^2}} \right]} \\ \approx 11{,}4.\end{array}$$

Trả lời: 11,4.

a) Xét hàm số $f(x) = - {x^3} + 3{x^2}$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Ta có $f'(x) = - 3{x^2} + 6x;f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số $f(x) = - {x^3} + 3{x^2}$ đồng biến trên khoảng $(0;2)$, nghịch biến trên các khoảng $( - \infty ;0)$ và $(2; + \infty )$.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$ và ${y_{CT}} = 0$.

Hàm số đạt cực đại tại $x = 2$ và .

b) Xét hàm số $g(x) = x + \frac{1}{x}$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \{ 0\}$.

Ta có $g'(x) = 1 - \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}}$.

Vì ${x^2} > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}\backslash \{ 0\}$ nên $g'(x)$ cùng dấu với ${x^2} - 1$.

Ta có $g'(x) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1$ hoặc $x = 1$.

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số $g(x) = x + \frac{1}{x}$ đồng biến trên các khoảng $( - \infty ; - 1)$ và $(1; + \infty )$, nghịch biến trên các khoảng $( - 1;0)$ và $(0;1)$.

Hàm số đạt cực đại tại $x = - 1$ và .

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$ và ${y_{CT}} = 2$.

c) Xét hàm số $h(x) = {x^3}$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Ta có $h'(x) = 3{x^2};h'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$.

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số $h(x) = {x^3}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ và không có cực trị.

Ta có $y' = 6{x^2} - 6x - 6m$.

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - 1;\,1} \right)$ khi và chỉ khi $y' \le 0$ với $\forall x \in \left( { - 1;\,1} \right)$ hay $m \ge {x^2} - x$ với $\forall x \in \left( { - 1;\,1} \right)$.

Xét $f\left( x \right) = {x^2} - x$ trên khoảng $\left( { - 1;\,1} \right)$ ta có $f'\left( x \right) = 2x - 1$; $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có $m \ge f\left( x \right)$với $\forall x \in \left( { - 1;\,1} \right)$$\Leftrightarrow m \ge 2$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

$y' = 3{x^2} - 6x$, $y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$.

Do đó đồ thị hàm số đã cho luôn có hai điểm cực trị lần lượt có tọa độ là $A\left( {0;m} \right)$ và $B\left( {2; - 4 + m} \right)$.

Ta có $OA = OB \Leftrightarrow \sqrt {{0^2} + {m^2}} = \sqrt {{2^2} + {{\left( {4 - m} \right)}^2}} \Leftrightarrow {m^2} = 4 + {\left( {4 - m} \right)^2}$$\Leftrightarrow 20 - 8m = 0 \Leftrightarrow m = \frac{5}{2}$.