Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 12 Cánh diều (có tự luận) có đáp án - Bài 2. Tọa độ của vectơ

Gọi tọa độ điểm $D$ là: $D\,\left( {x;y;z} \right)$.

Để tứ giác $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$.

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {1\,;\,5\,;\, - 3} \right)$; $\overrightarrow {DC} = \left( {1 - x\,;\, - y\,;\, - z} \right)$

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}1-x=1 \\ -y=5 \\ -z=-3\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=0 \\ y=-5 \\ z=3\end{matrix}\Rightarrow D(0;\ -5;\ 3)$

Vậy điểm $D\left( {0;\, - 5;\,3} \right)$thì tứ giác $ABCD$ là hình bình hành. Chọn A.

Áp dụng quy tắc hình hộp, ta có $\overrightarrow {OB'} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OO'} = 4\vec i + 6\vec j + 3\vec k \Rightarrow B'(4;6;3)$. Chọn C.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 1;5} \right)$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} - {x_A} = 3\\{y_B} - {y_A} = - 1\\{z_B} - {z_A} = 5\end{array} \right.$.$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} - 1 = 3\\{y_B} - 3 = - 1\\{z_B} + 1 = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 4\\{y_B} = 2\\{z_B} = 4\end{array} \right.$.

Vậy $B\left( {4;2;4} \right)$ hay $\overrightarrow {OB} = \left( {4\,;\,2\,;\,4} \right)$. Chọn D.

a) Gọi tọa độ điểm $A'$ là (x;y;z) $\Rightarrow \overrightarrow {A'C'} = \left( { - 1 - x;2 - y;1 - z} \right)$.

Khi đó $\overrightarrow {AC} = \left( { - 2;2;0} \right)$. Vì $ACC'A'$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {A'C'} = \overrightarrow {AC}$

Suy ra$\left\{ \begin{array}{l} - 1 - x = - 2\\2 - y = 2\\1 - z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\\z = 1\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {1\,;\,0\,;\,1} \right)$. Làm tương tự ta có: $B'\left( {0\,;\,4\,;\,2} \right)$.

b) Gọi $B(x;y;z)$. Có $\overrightarrow{C{C}^{'}}=\overrightarrow{B{B}^{'}}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix}-x=-1 \\ 4-y=-1 \\ 2-z=1\end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=1 \\ y=5 \\ z=1\end{matrix}$ Suy ra $B\left( {1\,;\,5\,;\,1} \right)$.

Gọi $D\left( {x;y;z} \right)$. Có $\overrightarrow{D{D}^{'}}=\overrightarrow{C{C}^{'}}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix}-x=-1 \\ -2-y=-1 \\ -z=1\end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=1 \\ y=-1 \\ z=-1\end{matrix}$.Suy ra $D\left( {1\,;\, - 1\,; - \,1} \right)$.

c) $\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;4;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = - \overrightarrow i + 4\overrightarrow j + \overrightarrow k$.

d) $\overrightarrow {B'D} = \left( {1; - 5; - 3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {B'D} = \overrightarrow i - 5\overrightarrow j - 3\overrightarrow k$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

a) Ta có $\vec a = (2;2;0) \Rightarrow \vec a = 2\vec i + 2\overrightarrow j$.

b) Ta có $\vec b = 2\vec j + 2\vec k \Rightarrow \vec b = (0;2;2)$.

c) Ta có $\overrightarrow {OA} = \vec a$ thì toạ độ véc tơ $\vec a$ cũng chính là toạ độ $A$$\Rightarrow A\left( {2;2;0} \right)$.

Tương tự $B(0;2;2)$. Suy ra $\overrightarrow {AB} = ( - 2;0;2)$.

d) Có $\cos \widehat {AOB} = \frac{{\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} }}{{\left| {\overrightarrow {OA} } \right|.\left| {\overrightarrow {OB} } \right|}} = \frac{{2.0 + 2.2 + 0.2}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {2^2}} }} = \frac{1}{2}$$\Rightarrow \widehat {AOB} = 60^\circ$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

a) $A\left( {1;0;3} \right) \in \left( {Oxz} \right)$.

b) Có $\overrightarrow {BC} = \left( { - 5; - 2;6} \right)$ nên $\overrightarrow {BC} = - 5\overrightarrow i - 2\overrightarrow j + 6\overrightarrow k$.

c) $\overrightarrow {AB} = \left( {1;3; - 7} \right),\overrightarrow {CD} = \left( {x + 3;y - 1;z - 2} \right)$.

Vì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=-2 \\ y=4 \\ z=-5\end{matrix}\Rightarrow D(-2;4;-5)$

d) Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {1;3; - 7} \right),\overrightarrow {PC} = \left( { - 3 - x;1 - y;2 - z} \right)$.

Để $PABC$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{PC}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix}1=-3-x \\ 3=1-y \\ -7=2-z\end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=-4 \\ y=-2 \\ z=9\end{matrix}\Rightarrow P(-4;-2;9)$

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

Ta có $\overrightarrow {O'C'} = \overrightarrow {AB} = \left( { - 2\,;\,2\,;\,2} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{C'}} - {x_{O'}} = - 2\\{y_{C'}} - {y_{O'}} = 2\\{z_{C'}} - {z_{O'}} = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{O'}} = 4\\{y_{O'}} = - 5\\{z_{O'}} = 3\end{array} \right. \Rightarrow O'\left( {4\,;\, - 5\,;\,3} \right)$.

Suy ra $a = 4;b = - 5;c = 3$. Vậy $a + b + c = 2$.

Trả lời: 2.

Gọi $D\left( {x;y;z} \right)$ là vị trí của máy bay sau 10 phút bay tiếp theo (tính từ thời điểm máy bay ở điểm $B$).

Vì hướng của máy bay không đổi nên $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {BD}$ cùng hướng.

Do vận tốc máy bay không đổi và thời gian bay từ $A$ đến $B$ bằng thời gian bay từ $B$ đến $D$ nên $AB = BD$.

Do đó, $\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} = \left( {140;50;1} \right)$.

Mặt khác: $\overrightarrow {BD} = \left( {x - 940;y - 550;z - 8} \right)$ nên $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x - 940 = 140}\\{y - 550 = 50}\\{z - 8 = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1080}\\{y = 600}\\{z = 9}\end{array}} \right.} \right.$.

Vậy $D\left( {1080;600;9} \right)$. Vậy tọa độ của máy bay trong 10 phút tiếp theo là $\left( {1080;600;9} \right)$.

Suy ra $x + y + z = 1689$.

Trả lời: 1689.

Ta có $AM$ ngắn nhất khi và chỉ khi $M$ là hình chiếu của $A$ lên mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$.

Suy ra $M\left( {0;7;24} \right)$.

Do đó $T = a - 2b + c = 0 - 14 + 24 = 10$.

Trả lời: 10.