Chuyên đề Toán 11 KNTT Bài 7. Phép đồng dạng có đáp án

Lời giải:

Đối tượng toán học liên quan đến phép đồng dạng cho phép ta thể hiện các hình chỉ giống nhau về hình dạng còn kích thước có thể khác nhau. Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu trong bài học này.

Lời giải:

a) Qua đo đạc, ta thấy chiều dài và chiều rộng của tấm ảnh lớn tương ứng gấp 2 lần chiều dài và chiều rộng của tấm ảnh nhỏ.

b) Lấy các điểm A, B và A', B' tương ứng như hình vẽ.

Qua đo đạc ta thấy A'B' = 2AB.

Lời giải:

+ Phép dời hình cũng là phép đồng dạng với tỉ số k = 1.

Thật vậy, ta chứng minh như sau:

Cho hai điểm M, N bất kì và ảnh M', N' tương ứng của nó qua phép dời hình. Khi đó M'N' = MN (phép dời hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì). Do đó, M', N' là ảnh của hai điểm M, N bất kì qua phép đồng dạng tỉ số 1.

+ Phép vị tự với tỉ số k là phép đồng dạng với tỉ số đồng dạng |k|.

Thật vậy, ta chứng minh như sau:

Cho hai điểm M, N bất kì và ảnh M', N' tương ứng của nó qua phép vị tự tỉ số k. Khi đó $\overrightarrow {M'N'} = k\overrightarrow {MN}$$\Rightarrow M'N' = \left| k \right|MN$. Do đó, M', N' là ảnh của hai điểm M, N bất kì qua phép đồng dạng tỉ số |k| (|k| > 0).

Lời giải:

Lấy hai điểm M, N bất kì. Gọi M', N' tương ứng là ảnh của M, N qua phép đồng dạng f với tỉ số k$_{1}$ thì ta có M'N' = k$_{1}$MN.

Gọi M", N" tương ứng là ảnh của M', N' qua phép đồng dạng g với tỉ số k$_{2}$ thì ta có M"N" = k$_{2}$M'N'.

Khi đó ta có M"N" = k$_{2}$ M'N' = k$_{2}$ . (k$_{1}$MN) = (k$_{1}$.k$_{2}$)MN.

Do đó, M", N" tương ứng là ảnh của M, N qua phép đồng dạng với tỉ số k$_{1}$.k$_{2}$.

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Lời giải:

Vì N là điểm đối xứng của M qua đường thẳng AB nên ta có phép đối xứng trục AB biến điểm M thành điểm N.

Ta có P là trung điểm của BN nên $\overrightarrow {BP} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BN}$, do đó ta có phép vị tự tâm B, tỉ số $\frac{1}{2}$ biến điểm N thành điểm P.

Như vậy, phép đồng dạng có được bằng các thực hiện liên tiếp phép đối xứng trục AB và phép vị tự ${V_{\left( {B,\,\frac{1}{2}} \right)}}$ biến điểm M thành điểm P.

Mặt khác M thuộc đường thẳng d cố định, A và B cố định, do đó P thuộc đường thẳng d' cố định là ảnh của đường thẳng d qua phép đồng dạng có được bằng các thực hiện liên tiếp phép đối xứng trục AB và phép vị tự ${V_{\left( {B,\,\frac{1}{2}} \right)}}$.

Vậy P thuộc một đường thẳng cố định.

Lời giải:

Phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O, góc quay 90° và phép vị tự tâm O, tỉ số 2 biến hình Dinh Thống Nhất nhỏ thành hình Dinh Thống Nhất lớn với O là điểm trên hình vẽ.

Lời giải:

Giả sử phép đồng dạng F biến ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC tương ứng thành A', B', C'. Khi đó ta có số k khác 0 thỏa mãn: A'B' = kAB, B'C' = kBC, C'A' = kCA.

Suy ra $\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{{CA}}{{C'A'}} = \frac{1}{k}$ (đpcm).

Lời giải:

a) Ảnh của điểm O(0; 0) qua phép biến hình f là O'(3 . 0; – 3 . 0) ≡ O(0; 0).

Ảnh của điểm N(2; 1) qua phép biến hình f là N'(3 . 2; – 3 . 1) = N'(6; – 3).

b) Chọn hai điểm M(x; y), N(z; t) bất kì. Gọi M', N' tương ứng là ảnh của M, N qua phép biến hình f. Khi đó M'(3x; – 3y), N'(3z; – 3t).

Ta có: MN = $\sqrt {{{\left( {z - x} \right)}^2} + {{\left( {t - y} \right)}^2}}$

M'N' = $\sqrt {{{\left( {3z - 3x} \right)}^2} + {{\left( { - 3t - \left( { - 3y} \right)} \right)}^2}}$$= \sqrt {9{{\left( {z - x} \right)}^2} + 9{{\left( {t - y} \right)}^2}}$$= 3\sqrt {{{\left( {z - x} \right)}^2} + {{\left( {t - y} \right)}^2}}$

Suy ra M'N' = 3MN.

Vậy phép biến hình f là phép đồng dạng với tỉ số k = 3.

Lời giải:

Quan sát Hình 1.52, ta thấy phép đối xứng trục d: x = – 1 biến hình ℋ thành hình ℋ '.

Ta thấy A(3; 1) thuộc hình ℋ ' và B(6; 2) thuộc hình ℋ ''.

Ta có $\overrightarrow {OB} = \left( {6;\,2} \right)$, $\overrightarrow {OA} = \left( {3;\,1} \right)$, suy ra $\overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {OA}$, khi đó phép vị tự tâm O, tỉ số 2 biến điểm A thành điểm B, thực hiện tương tự với các điểm khác, vậy ta có phép vị tự tâm O, tỉ số 2 biến hình ℋ ' thành hình ℋ ''.

Vậy phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng trục d có phương trình x = – 1 và phép vị tự V$_{(O, 2)}$ (phép đối xứng trục trước, phép vị tự sau) biến hình ℋ thành hình ℋ ''.

Khi đó, phép đối xứng trục f là phép đối xứng trục d có phương trình x = – 1 và phép vị tự g là phép vị tự V$_{(O, 2)}$ là các phép biến hình cần tìm.