Chuyên đề Toán 11 KNTT Bài 4. Phép quay và phép đối xứng tâm có đáp án

Lời giải:

Cơ sở toán học về khái niệm phép quay cho ta thực hiện điều nêu ở phần mở đầu.

Lời giải:

Mỗi đĩa thức ăn không đặt ở chính giữa bàn nhưng đặt ở trên phần bàn xoay đều quay được một phần tư vòng tới vị trí mới.

Mỗi đĩa thức ăn không đặt ở giữa bàn và không đặt ở trên phần bàn xoay thì không quay được một phần tư vòng tới vị trí mới.

Lời giải:

Phép quay tâm O với góc quay bằng 0 biến điểm O thành điểm O và biến mỗi điểm M khác O thành chính nó.

Lời giải:

Tam giác ABC đều nên AB = AC và $\widehat {BAC} = 60^\circ$. Do đó phép quay Q$_{(A, 60°)}$ biến điểm B thành điểm C.

Vì D là ảnh của C qua phép quay Q$_{(A, 60°)}$ nên AC = AD và $\widehat {CAD} = 60^\circ$.

Khi đó tam giác ACD là tam giác đều nên AC = AD = DC.

Mà AB = AC = BC (tam giác ABC đều).

Do đó, AB = BC = CD = AD, suy ra tứ giác ABCD là hình thoi.

Khi đó hai đường cheoa AC và BD vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên AC là đường trung trực của đoạn thẳng BD.

Vậy B và D đối xứng nhau qua đường thẳng AC hay B là ảnh của D qua phép đối xứng trục AC.

Lời giải:

Khoảng cách giữa hai đĩa thức ăn không bị thay đổi khi mặt bàn ăn quay.

Lời giải:

Ta có: ABCDEF là lục giác đều nên $\widehat {AOB} = \widehat {BOC} = \widehat {COD} = \widehat {DOE} = \widehat {EOF} = \widehat {FOA} = 60^\circ = \frac{\pi }{3}$ và OA = OB = OC = OD = OE = OF.

Do đó, phép quay ${Q_{\left( {O,\frac{\pi }{3}} \right)}}$ biến các điểm A, C, E tương ứng thành các điểm B, D, F.

Vậy phép quay ${Q_{\left( {O,\frac{\pi }{3}} \right)}}$ biến tam giác ACE thành tam giác BDF.

Ta có: $\widehat {AOE} = \widehat {AOF} + \widehat {EOF} = \frac{{2\pi }}{3}$, tương tự $\widehat {COA} = \widehat {EOC} = \frac{{2\pi }}{3}$.

Vì OA = OE và góc quay $- \frac{{2\pi }}{3}$ nên phép quay ${Q_{\left( {O,\, - \frac{{2\pi }}{3}} \right)}}$ biến điểm A thành điểm E.

Vì OC = OA và góc quay $- \frac{{2\pi }}{3}$ nên phép quay ${Q_{\left( {O,\, - \frac{{2\pi }}{3}} \right)}}$ biến điểm C thành điểm A.

Vì OE = OC và góc quay $- \frac{{2\pi }}{3}$ nên phép quay ${Q_{\left( {O,\, - \frac{{2\pi }}{3}} \right)}}$ biến điểm E thành điểm C.

Vậy phép quay ${Q_{\left( {O,\, - \frac{{2\pi }}{3}} \right)}}$ biến tam giác ACE thành tam giác ECA hay biến tam giác ACE thành chính nó.

Lời giải:

Điểm O là tâm quay nên khi thực hiện phép quay tâm O với góc quay α bất kì thì điểm O biến thành điểm O, đường tròn (O; R) biến thành đường tròn (O; R).

Vậy vị trí của mặt bàn không bị dịch chuyển.

Lời giải:

Vì A, O, M thẳng hàng; B, O, N thẳng hàng và C, O, P thẳng hàng nên $\widehat {AOM} = \widehat {BON} = \widehat {COP} = \pi$.

Lại có OA = OM, OB = ON và OC = OP.

Do đó, phép quay tâm O, góc quay π biến các điểm A, B, C, M, N, P tương ứng thành các điểm M, N, P, A, B, C.

Lời giải:

Vì ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

O là trung điểm của AC nên C là ảnh của A qua Đ$_{O}$.

O là trung điểm của BD nên D là ảnh của B qua Đ$_{O}$.

Do đó, CD là ảnh của đường thẳng AB qua Đ$_{O}$.

Lời giải

Quan sát Hình 1.30 ta thấy:

- Hình vẽ nhận điểm O làm tâm đối xứng do phép Đ$_{O}$ biến Hình 1.30 thành Hình 1.30 nên phát biểu a) đúng.

- Phát biểu b) đúng.

- Không thể chia hình vẽ thành bốn phần giống nhau nên phát biểu c) sai.

Lời giải:

Tam giác BAM vuông cân tại A nên AB = AM và $\widehat {BAM} = 90^\circ$. Do đó, ta có phép quay Q$_{(A, – 90°)}$ biến điểm A thành điểm A, biến điểm B thành điểm M (1).

Tam giác ACN vuông cân tại A nên AC = AN và $\widehat {CAN} = 90^\circ$. Do đó, ta có phép quay Q$_{(A, – 90°)}$ biến điểm C thành điểm N (2).

Từ (1) và (2) suy ra phép quay Q$_{(A, – 90°)}$ biến tam giác ABC thành tam giác AMN.

Lời giải:

a) Vì ABCD là hình vuông nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại tâm O và OA = OB = OC = OD.

Khi đó, phép quay ${Q_{\left( {O,\,\frac{\pi }{2}} \right)}}$ biến các điểm A, B, C, D tương ứng thành các điểm B, C, D, A.

b) Phép quay Q$_{(O, 0)}$ biến hình vuông ABCD thành hình vuông ABCD.

Từ câu a, suy ra phép quay ${Q_{\left( {O,\,\frac{\pi }{2}} \right)}}$ biến hình vuông ABCD thành hình vuông BCDA.

Phép quay Q$_{(O, π)}$ biến các điểm A, B, C, D tương ứng thành các điểm C, D, A, B. Do đó phép quay Q$_{(O, π)}$biến hình vuông ABCD thành hình vuông CDAB.

Phép quay ${Q_{\left( {O,\,\frac{{3\pi }}{2}} \right)}}$ biến các điểm A, B, C, D tương ứng thành các điểm D, A, B, C. Do đó phép quay ${Q_{\left( {O,\,\frac{{3\pi }}{2}} \right)}}$ biến hình vuông ABCD thành hình vuông DABC.

Lời giải:

Vì ABCD là hình bình hành nên tâm O là trung điểm các đường chéo AC và BD.

O là trung điểm của AC nên C là ảnh của A qua Đ$_{O}$.

O là trung điểm của BD nên D là ảnh của B qua Đ$_{O}$.

Do đó, CD là ảnh của đường thẳng AB qua Đ$_{O}$.

Lại có A là ảnh của C qua Đ$_{O}$. Vậy tam giác CDA là ảnh của tam giác ABC qua Đ$_{O}$.

Lời giải:

Ta có (C): (x – 2)$^{2}$ + y$^{2}$ = 1. Suy ra đường tròn (C) có tâm I(2; 0) và bán kính R = 1.

Vì (C') là ảnh của đường tròn (C) qua phép quay ${Q_{\left( {O,\,\frac{\pi }{2}} \right)}}$ nên tâm I' của đường tròn (C') là ảnh của tâm I của đường tròn (C) qua phép quay ${Q_{\left( {O,\,\frac{\pi }{2}} \right)}}$.

Vì I(2; 0) nên I'(0; 2).

b) Phép quay biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính nên bán kính của đường tròn (C') là 1.

Vậy phương trình đường tròn (C') là x$^{2}$ + (y – 2)$^{2}$ = 1.

Lời giải:

Ta có thể chia Hình 1.32 thành ba phần giống nhau bằng cách cắt theo đường màu đỏ như hình vẽ trên ($\widehat {AOB} = \widehat {BOC} = \widehat {COA} = 120^\circ$).

Sử dụng phép quay Q$_{(O, 120°)}$ để thấy rõ các phần giống nhau của hình.