Chuyên đề Toán 11 KNTT Bài 2. Phép tịnh tiến có đáp án

Lời giải:

Nhắc đến hướng và độ dài (đều nhau), có nghĩa là nhắc đến khái niệm vectơ, một nội dung kiến thức trong Toán học. Vậy khi diễu hành, để đội hình được giữ vững, những người tham gia cần vận dụng một số kiến thức về Toán học.

Lời giải:

Để giữa vững đội hình, ở mỗi bước, các vectơ dịch chuyển của những người tham gia cần có cùng phương, cùng hướng và có độ dài bằng nhau hay các vectơ dịch chuyển này phải bằng nhau.

Lời giải:

Phép tịnh tiến ${T_{\overrightarrow u }}$ biến điểm M thành M' thì $\overrightarrow {MM'} = \overrightarrow u$.

Suy ra $- \overrightarrow u = - \overrightarrow {MM'} = \overrightarrow {M'M}$.

Do đó, phép tịnh tiến ${T_{ - \overrightarrow u }}$ biến điểm M' thành điểm M.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AB}$ nên ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow {AB}$ là điểm C.

$\overrightarrow {ND} = \overrightarrow {AB}$ nên ảnh của điểm N qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow {AB}$ là điểm D.

$\overrightarrow {PE} = \overrightarrow {AB}$ nên ảnh của điểm P qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow {AB}$ là điểm E.

$\overrightarrow {QF} = \overrightarrow {AB}$ nên ảnh của điểm Q qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow {AB}$ là điểm F.

$\overrightarrow {BH} = \overrightarrow {AB}$ nên ảnh của điểm B qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow {AB}$ là điểm H.

Lời giải:

Để giữ vững đội hình, sau mỗi bước, tất cả mọi người tham gia trong khối diễu hành của Hùng cần dời tới vị trí mới là ảnh của vị trí cũ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u$ với vectơ $\overrightarrow u$ có hướng theo hướng đông và có độ dài $\left| {\overrightarrow u } \right| = 30$ cm.

Lời giải:

a) Phép tịnh tiến ${T_{\overrightarrow u }}$ biến điểm M thành M' thì $\overrightarrow {MM'} = \overrightarrow u$ và biến N thành N' thì $\overrightarrow {NN'} = \overrightarrow u$.

Ta có: $\overrightarrow {MM'} + \overrightarrow {M'N} = \overrightarrow u + \overrightarrow {M'N}$ và $\overrightarrow {M'N} + \overrightarrow {NN'} = \overrightarrow {M'N} + \overrightarrow u$.

Do đó, $\overrightarrow {MM'} + \overrightarrow {M'N} = \overrightarrow {M'N} + \overrightarrow {NN'}$.

b) Theo quy tắc ba điểm ta có: $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MM'} + \overrightarrow {M'N}$ và $\overrightarrow {M'N'} = \overrightarrow {M'N} + \overrightarrow {NN'}$.

Mà theo câu a) ta có: $\overrightarrow {MM'} + \overrightarrow {M'N} = \overrightarrow {M'N} + \overrightarrow {NN'}$.

Do đó, $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {M'N'}$.

Lời giải:

Ta có: MOO'M' là hình bình hành nên $\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {O'M'}$ và $\overrightarrow {OO'} = \overrightarrow {MM'}$.

Vì OM = R nên $O'M' = \left| {\overrightarrow {O'M'} } \right| = \left| {\overrightarrow {OM} } \right| = OM = R$, R cố định nên O' luôn cách M' một khoảng không đổi bằng R.

Do O, O' cố định và $\overrightarrow {OO'} = \overrightarrow {MM'}$ nên phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow {OO'}$ biến điểm M thành điểm M'. Suy ra nếu M thay đổi trên (O; R) thì M' luôn là ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow {OO'}$.

Lại có phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow {OO'}$ biến đường tròn (O; R) thành đường tròn có bán kính là R và có tâm là ảnh của tâm O qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow {OO'}$ hay chính là điểm O'. Điều này có nghĩa là đường tròn (O'; R) là ảnh của đường tròn (O; R) qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow {OO'}$.

Mà O'M' = R không đổi nên M' luôn thuộc đường tròn (O'; R).

Vậy khi M thay đổi trên (O; R) thì M' thay đổi trên đường tròn (O'; R) là ảnh của (O; R) qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow {OO'}$.

Lời giải:

Đặt một số điểm như hình vẽ.

Ta thấy: $\overrightarrow {HE} = \overrightarrow u ,\,\overrightarrow {CD} = \overrightarrow u ,\,\overrightarrow {EF} = \overrightarrow u$ nên phép tịnh tiến ${T_{\overrightarrow u }}$ biến các điểm H, C, E tương ứng thành E, D, F. Do đó, ${T_{\overrightarrow u }}$ biến tam giác HCE thành tam giác EDF hay phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u$ biến một viên gạch màu xanh thành một viên gạch màu xanh. Đối với các viên gạch màu xanh khác, thực hiện tương tự. Vậy phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u$ biến mỗi viên gạch màu xanh thành một viên gạch màu xanh.

Ta cũng có:$\,\overrightarrow {CD} = \overrightarrow u ,\,\overrightarrow {DG} = \overrightarrow u ,\overrightarrow {EF} = \overrightarrow u$ nên phép tịnh tiến ${T_{\overrightarrow u }}$ biến các điểm C, D, E tương ứng thành D, G, F. Do đó, ${T_{\overrightarrow u }}$ biến tam giác CDE thành tam giác DGF hay phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u$ biến một viên gạch màu đỏ thành một viên gạch màu đỏ. Đối với các viên gạch màu đỏ khác, thực hiện tương tự. Vậy phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u$ biến mỗi viên gạch màu đỏ thành một viên gạch màu đỏ.

Lời giải:

Vì $\overrightarrow u$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nên giá của vectơ $\overrightarrow u$ song song hoặc trùng với đường thẳng ∆.

Lấy điểm M bất kì thuộc đường thẳng ∆, gọi M' là ảnh của M qua phép tịnh tiến ${T_{\overrightarrow u }}$. Khi đó $\overrightarrow {MM'} = \overrightarrow u$.

Do đó, vectơ $\overrightarrow {MM'}$ có giá là đường thẳng MM' phải song song hoặc trùng với đường thẳng ∆, mà M ∈ ∆ nên hai đường thẳng MM' và ∆ trùng nhau hay M' ∈ ∆.

Vậy phép tịnh tiến ${T_{\overrightarrow u }}$ biến mỗi điểm M thuộc ∆ thành điểm M' cũng thuộc ∆ hay phép tịnh tiến ${T_{\overrightarrow u }}$ biến ∆ thành chính nó.

Lời giải:

Ta có (C): (x – 1)$^{2}$ + (y + 2)$^{2}$ = 25 hay (x – 1)$^{2}$ + [y – (– 2)]$^{2}$ = 5$^{2}$.

Suy ra đường tròn (C) có tâm I(1; – 2) và bán kính R = 5.

a) Ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u = \left( {3;4} \right)$ là một đường tròn bán kính bằng 5, gọi là (C').

Gọi I' là tâm của (C'). Ta có I' là ảnh của I qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u$ nên $\overrightarrow {II'} = \overrightarrow u = \left( {3;\,4} \right)$. Suy ra I'(4; 2). Vậy ảnh của (C) là đường tròn (C') có tâm I'(4; 2) và bán kính bằng 5.

b) Ta có (C'): (x – 4)$^{2}$ + (y – 2)$^{2}$ = 25.

Lời giải:

Đặt các điểm như hình vẽ trên. Viên gạch ở hàng dọc thứ 4 từ trái sang và hàng ngang thứ 2 từ dưới lên là viên gạch GDFJ, viên gạch ở góc dưới bên trái là viên gạch HCEI.

Theo quy tắc hình bình hành, ta suy ra $\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow v + 3\overrightarrow u$. Đặt $\overrightarrow x = \overrightarrow v + 3\overrightarrow u$.

Phép tịnh tiến ${T_{\overrightarrow x }}$ biến các điểm H, C, E, I tương ứng thành các điểm G, D, F, J. Do đó, phép tịnh tiến ${T_{\overrightarrow x }}$ biến viên gạch HCEI thành viên gạch GDFJ.

Vậy trong việc lát sàn nhà như Hình 1.11, viên gạch ở hàng dọc thứ 4 từ trái sang và hàng ngang thứ 2 từ dưới lên là ảnh của viên gạch ở góc dưới bên trái qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow x$ với $\overrightarrow x = \overrightarrow v + 3\overrightarrow u$.