Chuyên đề Toán 11 KNTT Bài 11. Hình chiếu vuông góc và hình chiếu trục đo có đáp án

Lời giải:

Toán học mô tả các hình vẽ đó bằng cách chiếu các vật thể theo các hình chiếu nhất định để được hình biểu diễn của vật thể. Phụ thuộc vào các dạng chiếu mà hình biểu diễn cho ta những đặc điểm cụ thể khác nhau. Để hiểu rõ hơn về kiến thức này chúng ta sẽ cùng tìm hiểu trong bài học này.

Lời giải:

Hình 3.2a sử dụng phép chiếu song song. Phép chiếu song song là phép chiếu có các tia chiếu song song với nhau nhưng không vuông góc với mặt phẳng chiếu.

Hình 3.2b sử dụng phép chiếu vuông góc. Phép chiếu vuông góc là phép chiếu có các tia chiếu vuông góc với mặt phẳng chiếu.

Hình 3.2c sử dụng phép chiếu xuyên tâm. Phép chiếu xuyên tâm là phép chiếu có các tia chiếu xuất phát tại một điểm (điểm này gọi là tâm chiếu).

Lời giải:

Hình 3.4c có các đường thẳng AA', BB', CC', DD' đôi một song song nhưng không vuông góc với mặt phẳng chiếu nên Hình 3.4c thể hiện hình chiếu trục đo của tứ giác ABCD.

Lời giải:

Hình A là hình chiếu của ℋ qua phép chiếu vuông góc. Mặt phẳng chiếu là (P$_{1}$), phương chiếu song song với Oy.

Hình B là hình chiếu của ℋ qua phép chiếu vuông góc. Mặt phẳng chiếu là (P$_{2}$), phương chiếu song song với Oz.

Hình C là hình chiếu của ℋ qua phép chiếu vuông góc. Mặt phẳng chiếu là (P$_{3}$), phương chiếu song song với Ox.

Lời giải:

Hình 3.8b là hình chiếu đứng của hình ℋ.

Hình 3.8c là hình chiếu cạnh của hình ℋ.

Hình 3.8d không là hình chiếu vuông góc nào của hình ℋ.

Lời giải:

Vì đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng (SAC) nên cũng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng (P$_{1}$). Do đó hình chiếu đứng của ba điểm B, O, D trùng nhau.

Do vậy hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của hình chóp S.ABCD trong trường hợp này lần lượt được vẽ như hình dưới đây:

Lời giải:

Vì với hướng nhìn từ trước, điểm B trùng với điểm O của vật thể, nói cách khác điểm B' (hình chiếu đứng của B) trùng với điểm O' (hình chiếu đứng của O).

Mà điểm O là trung điểm của AC, nên O' là trung điểm của A'C' (hình chiếu đứng của AC).

Do vậy điểm B' (hình chiếu đứng của B) là trung điểm của đoạn thẳng A'C' (hình chiếu đứng của AC).

Lời giải:

Mỗi hình chiếu đứng, hình chiếu cạnh và hình chiếu bằng nhận được từ hai phương pháp chiếu đều bằng nhau vì phương chiếu và mặt phẳng chiếu của hai phương pháp là như nhau nên sẽ nhận được những hình bằng nhau.

Lời giải:

a) Điểm A$_{1}$ và điểm A$_{2}$ nằm về hai phía khác nhau đối với đường thẳng Ox. Đường thẳng A$_{1}$A$_{2}$ có vuông góc với Ox.

b) Ta có: A$_{1}$M = AA$_{2}$ (do tứ giác A$_{1}$MA$_{2}$A là hình chữ nhật).

Từ A$_{2}$ kẻ đường thẳng A$_{2}$A bằng đường thẳng A$_{1}$M (A thuộc A$_{1}$A$_{2}$). Ta xác định được điểm A.

Lời giải:

Nếu A$_{1}$ và A$_{2}$ là hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của điểm A thì đường thẳng A$_{1}$A$_{2}$ vuông góc với Ox. Do đó Hình 3.13c thể hiện đúng hai hình chiếu của điểm A.

Lời giải:

a) Đường thẳng A$_{1}$A$_{3}$ có vuông góc với đường thẳng Oz. Khoảng cách từ A$_{3}$ đến Oz bằng khoảng cách từ A$_{2}$ đến Ox.

b) Ta có A$_{1}$A$_{2}$ vuông góc với Ox nên gọi giao điểm của A$_{1}$A$_{2}$ với Ox là M.

Từ A$_{1}$ kẻ đường thẳng song song với Ox và vuông góc với Oz. Gọi giao điểm của đường thẳng kẻ từ A$_{1}$ với Oz là P.

Khoảng cách từ A$_{3}$ đến Oz bằng khoảng cách từ A$_{2}$ đến Ox hay A$_{2}$M = A$_{3}$P. Từ P kẻ A$_{3}$P sao cho A$_{1}$, P, A$_{3}$ thẳng hàng theo thứ tự và A$_{2}$M = A$_{3}$P.

Lời giải:

Hình chiếu bằng của đoạn thẳng AB có hai đầu mút là hình chiếu bằng A$_{2}$ của A và hình chiếu bằng B$_{2}$ của B.

+ Để xác định A$_{2}$ ta làm như sau:

- Qua điểm A$_{3}$ vẽ đường thẳng vuông góc với Ox tại D và trên tia đối của tia Oz lấy điểm F sao cho OD = OF.

- Vẽ đường thẳng qua A$_{1}$ vuông góc với Ox, vẽ đường thẳng qua F vuông góc với Oz, hai đường thẳng này cắt nhau tại A$_{2}$.

+ Tương tự xác định B$_{2}$.

+ Nối A$_{2}$ và B$_{2}$ ta nhận được hình chiếu bằng của đoạn thẳng AB.

Lời giải:

Đối với một số vật thể đơn giản, bản vẽ kĩ thuật chỉ thể hiện hai thay vì ba hình chiếu vì từ hai hình chiếu cho trước ta có thể xác định được hình chiếu các đoạn thẳng thuộc hình chiếu còn lại từ hình chiếu các đoạn thẳng ở hai hình chiếu cho trước.

Lời giải:

a) Hình ℋ ' không là hình chiếu đứng, hình chiếu bằng hay hình chiếu cạnh của hình ℋ vì hình chiếu đứng, hình chiếu bằng và hình chiếu cạnh là các hình chiếu vuông góc của hình ℋ lên các mặt phẳng chiếu tương ứng.

b) Phương chiếu l không song song với mặt nào của hình hộp chữ nhật ℋ .

Lời giải:

Hình chiếu trục đo thường thể hiện nhiều mặt của vật thể hơn so với hình chiếu vuông góc vì trong hình chiếu vuông góc (tia chiếu vuông góc với mặt phẳng chiếu), sẽ có các điểm, các đường thẳng trùng nhau (hay bị khuất) do hướng nhìn vuông góc, trong khi ở hình chiếu trục đo (tia chiếu song song với mặt phẳng chiếu), sẽ có nhiều điểm, đường thẳng không bị che khuất nên thể hiện nhiều mặt của vật thể hơn.

Lời giải:

Trong Hình 3.20a và 3.20b chỉ thấy được hai mặt của hình hộp chữ nhật nên không là hình chiếu trục đo của hình hộp chữ nhật. Trong Hình 3.20c có thể thấy được cả ba mặt của hình hộp chữ nhật nên hình này là hình chiếu trục đo của hình hộp chữ nhật.

Lời giải:

Các phần quan sát được của hình lập phương có tạo thành hình chiếu trục đo của nó. Vì đây là hình chiếu song song của hình lập phương lên một mặt phẳng nào đó theo phương từ mắt ta qua vật thể rồi đến mặt phẳng không song song với bề mặt nào của hình lập phương.

Lời giải:

a) Hình chiếu của các góc $\widehat {xOy},\,\widehat {yOz},\,\widehat {zOx}$ lần lượt là các góc $\widehat {x'O'y'},\,\widehat {y'O'z'},\,\widehat {z'O'x'}$ trên mặt phẳng hình chiếu.

b) Ta có: OO’ // MM' // NN'.

Suy ra $\frac{{O'M'}}{{O'N'}} = \frac{{OM}}{{ON}}$ , do đó $\frac{{O'M'}}{{OM}}$ = $\frac{{O'N'}}{{ON}}$.

Lời giải:

Gọi O, A, B, C là các đỉnh của hình hộp chữ nhật.

Ta có O' là hình chiếu trục đo của O.

Gọi A', B', C' lần lượt là hình chiếu trục đo của A, B, C trên O'x', O'y', O'z'.

Ta có: $p = \frac{{O'A'}}{{OA}} = 1$, mà O'A' = 5 cm nên OA = O'A' = 5 cm.

$q = \frac{{O'B'}}{{OB}} = 0{,}5$, mà O'B' = 3 cm nên OB = $\frac{{O'B'}}{{0{,}5}} = \frac{3}{{0{,}5}} = 6$ cm.

$r = \frac{{O'C'}}{{OC}} = 0{,}5$, mà O'C' = 2 cm nên OC = $\frac{{O'C'}}{{0{,}5}} = \frac{2}{{0{,}5}} = 4$ cm.

Lời giải:

a) Ta có: OA = OB = OC, $\widehat {AOB} = \widehat {BOC} = \widehat {COA} = 90^\circ$.

Suy ra các tam giác AOB, BOC và COA bằng nhau từng đôi một.

Từ đó suy ra AB = BC = CA nên tam giác ABC là tam giác đều.

b) Ta có: OA = OB = OC; $\widehat {AA'O} = \widehat {BB'O} = \widehat {CC'O} = 90^\circ$; $\widehat {AOA'} = \widehat {BOB'} = \widehat {COC'} = \alpha$.

Do đó, các tam giác AA'O, BB'O và CCO' bằng nhau từng đôi một.

Từ đó suy ra AA' = BB' = CC'.

Do đó, khoảng cách từ A, B, C đến (P) bằng nhau.

Ta có: AA' = BB', AA' // BB' nên ABB'A' là hình bình hành.

Suy ra: AB // A'B'.

Tương tự ta chứng minh BC // B'C'; CA // C'A'

Mà A'B', B'C', C'A' thuộc (P)

Suy ra: (ABC) song song với (P).

c) Dễ dàng chứng minh được IA = O'A' (AIO'A' là hình bình hành).

Tương tự IB = O'B', AB = A'B'.

Do đó ∆IAB = ∆O'A'B' (c.c.c).

Suy ra $\widehat {A'O'B'} = \widehat {AIB}$.

Tương tự, ta chứng minh được $\widehat {A'O'C'} = \widehat {CIA};\,\widehat {B'O'C'} = \widehat {BIC}.$

Do I là tâm tam giác đều ABC nên dễ dàng chứng minh được $\widehat {AIB} = \widehat {BIC} = \widehat {CIA} = 120^\circ$.

Nên suy ra $\widehat {AIB} = \widehat {BIC} = \widehat {CIA} = \widehat {A'O'B'} = \widehat {B'O'C'} = \widehat {A'O'C'}$.

Vậy $\widehat {A'O'B'} = \widehat {B'O'C'} = \widehat {A'O'C'} = 120^\circ$.

Lời giải:

Hình màu cam trong Hình 3.1 là hình chiếu trục đo vuông góc đều của vật thể.

Lời giải:

Chiều dài của hình hộp là: 3 . 10 = 30 (mm).

Chiều rộng của hình hộp là: 2 . 10 = 20 (mm).

Chiều cao của hình hộp là: 4 . 10 = 40 (mm).

Lời giải:

Ta vẽ được dạng nổi của chữ cái “T” như sau:

Lời giải:

- Khẳng định a) là khẳng định sai vì hình chiếu đứng của một hình ℋ là hình chiếu vuông góc của hình ℋ lên một mặt phẳng nào đó.

- Khẳng định b) là khẳng định đúng.

- Khẳng định c) là khẳng định đúng.

- Khẳng định d) là khẳng định sai vì hình chiếu bằng của hai điểm phân biệt có thể là hai điểm trùng nhau.

Lời giải:

a) Hình hộp chữ nhật có cả ba hình chiếu vuông góc đều là hình chữ nhật.

b) Hình cầu có cả ba hình chiếu vuông góc đều là hình tròn.

Lời giải:

Bổ sung các nét còn thiếu trên hình chiếu của mỗi vật thể trong Hình 3.27 như sau:

Lời giải:

Bạn Hoàng nói sai vì hình chiếu vuông góc luôn bảo toàn độ lớn của đoạn thẳng.

Lời giải:

- Khi đoạn thẳng AB vuông góc với mặt phẳng chiếu đứng thì hình chiếu đứng của một đoạn thẳng AB là một điểm.

- Khi đoạn thẳng AB vuông góc với mặt phẳng chiếu bằng thì hình chiếu bằng của một đoạn thẳng AB là một điểm.

Lời giải:

Từ A, B kẻ các đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng (P). Đường thẳng qua A và B lần lượt giao với mặt phẳng (P) tại các điểm A$_{1}$, B$_{1}$.

Ta có: AA$_{1}$ // BB$_{1}$ (vì AA$_{1}$, BB$_{1}$ cùng vuông góc với (P))

Vì AB // (P) nên khoảng cách từ A đến (P) bằng khoảng cách từ B đến (P).

Hay AA$_{1}$ = BB$_{1}$.

Do đó, tứ giác AA$_{1}$B$_{1}$B là hình bình hành.

Suy ra: AB = A$_{1}$B$_{1}$.

Lời giải:

Trong Hình 3.28a và 3.28b chỉ thấy được một mặt của hình lăng trụ tam giác nên do đó hai hình này không phải là hình chiếu trục đo của hình lăng trụ tam giác. Trong Hình 3.28c có thể thấy được hai mặt của hình lăng trụ tam giác nên hình này là hình chiếu trục đo của hình lăng trụ tam giác.

Lời giải:

Hình 3.29a là hình chiếu trục đo vuông góc đều của một hình lập phương vì đáy của hình chiếu vuông góc với phương chiếu l thẳng đứng; góc trục đo bằng 120°; hệ số biến dạng bằng 1 (chú ý đến độ dài các cạnh của hình chiếu).

Hình 3.29b và 3.29c không phải là hình chiếu trục đo vuông góc đều của hình lập phương vì góc trục đo không cùng bằng 120°; hệ số biến dạng không cùng bằng 1 (chú ý đến độ dài các cạnh của hình chiếu).

Lời giải:

Hệ số biến dạng theo mỗi trục đo O'x', O'y', O'z' lần lượt là:

$p = \frac{{O'A'}}{{OA}} = \frac{2}{2} = 1$;

$q = \frac{{O'B'}}{{OB}} = \frac{1}{3}$;

$r = \frac{{O'C'}}{{OC}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của BC.

Ta có: O.ABC là hình chóp tam giác đều nên OA = OB = OC.

Vì I là tâm tam giác đều ABC nên ${\mathop{\rm I}\nolimits} M = \frac{1}{2}IA$. (1)

Tam giác OBC vuông cân tại O nên OM vừa là đường cao, vừa là đường phân giác, vừa là đường trung tuyến.

Suy ra $OM = \frac{1}{2}BC$ hay 2OM = BC.

Tam giác vuông cân OBC có 2OB$^{2}$ = BC$^{2}$.

Do đó: 2OB$^{2}$ = 4OM$^{2}$. Suy ra OM$^{2}$ = $\frac{1}{2}$OA$^{2}$. (2)

Tam giác OIM vuông tại I có: OI$^{2}$ + IM$^{2}$ = OM$^{2}$. (3)

Mà OI$^{2}$ = OA$^{2}$ – IA$^{2}$ (tam giác OIA vuông tại I) (4)

Thay (1), (2), (4) vào (3) ta được: $O{A^2} - I{A^2} + \frac{1}{4}I{A^2} = \frac{1}{2}O{A^2}$.

Suy ra $\frac{{I{A^2}}}{{O{A^2}}} = \frac{2}{3}$ nên $\frac{{IA}}{{OA}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}$.

Mà IA = O'A' (do AIO'A' là hình bình hành).

Do đó, p = q = r = $\frac{{O'A'}}{{OA}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}$.

Lời giải:

Chia vật thể thành hai hình hộp chữ nhật A và B (hình vẽ dưới).

Hình hộp chữ nhật A có: Chiều dài đáy 50 cm, chiều rộng đáy 30 cm, chiều cao 20 cm.

Thể tích hình hộp chữ nhật A là: 50 . 30 . 20 = 30 000 (cm$^{3}$).

Hình hộp chữ nhật B có: Chiều dài đáy 30 cm, chiều rộng đáy 20 cm, chiều cao 20 cm.

Thể tích hình hộp chữ nhật B là: 30 . 20 . 20 = 12 000 (cm$^{3}$).

Do đó, thể tích vật thể là: 30 000 + 12 000 = 42 000 (cm$^{3}$).