Chuyên đề Toán 11 CTST Bài 3. Bài toán tìm đường đi ngắn nhất có đáp án

Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được bài toán trên như sau:

Người ta đã xây dựng những thuật toán giải bài toán tìm đường đi ngắn nhất trong đồ thị có trọng số một cách hiệu quả (cụ thể trong bài học này, chúng ta tìm hiểu về thuật toán Dijkstra).

Các cạnh còn thiếu trong Hình 2 là: EM, NF.

Các số biểu diễn độ dài con đường còn thiếu trong Hình 2 là:

⦁ 7 (biểu diễn độ dài AM, MD);

⦁ 9 (biểu diễn độ dài EM);

⦁ 6 (biểu diễn độ dài MN, CN);

⦁ 8 (biểu diễn độ dài DF, EN);

⦁ 4 (biểu diễn độ dài NF).

Đồ thị biểu diễn đầy đủ các thông tin trong Hình 1 là:

a) Ta có w$_{AE}$ = 5; w$_{MN}$ = 1; w$_{CN}$ = 2.

b) Ta có:

⦁ l$_{ABEN}$ = w$_{AB}$ + w$_{BE}$ + w$_{EN}$ = 3 + 2 + 9 = 14;

⦁ l$_{EMFNE}$ = w$_{EM}$ + w$_{MF}$ + w$_{FN}$ + w$_{NE}$ = 3 + 6 + 4 + 9 = 22.

c) Ba đường đi khác nhau từ A đến D là: AMD, AENFD, ABNCD.

Ta có:

⦁ l$_{AMD}$ = w$_{AM}$ + w$_{MD}$ = 4 + 5 = 9.

⦁ l$_{AENFD}$ = w$_{AE}$ + w$_{EN}$ + w$_{NF}$ + w$_{FD}$ = 5 + 9 + 4 + 7 = 25.

⦁ l$_{ABNCD}$ = w$_{AB}$ + w$_{BN}$ + w$_{NC}$ + w$_{CD}$ = 3 + 6 + 2 + 10 = 21.

Vậy ba đường đi khác nhau từ A đến D là AMD (có độ dài bằng 9), AENFD (có độ dài bằng 25), ABNCD (có độ dài bằng 21).

d) Ta có EMNF là một đường đi từ E đến F.

Mà l$_{EMNF}$ = w$_{EM}$ + w$_{MN}$ + w$_{NF}$ = 3 + 1 + 4 = 8 và l$_{EMF}$ = w$_{EM}$ + w$_{MF}$ = 3 + 6 = 9.

Vì 8 < 9 nên l$_{EMNF}$ < l$_{EMF}$.

Vậy đường đi EMF không phải là đường đi ngắn nhất từ E đến F.

a) Tất cả các đường đi từ A đến T (đi qua mỗi đỉnh nhiều nhất một lần) là: ABDT, ACDT, ACET, ACDET, ACEDT, ABDET, ABDCET.

Ta có:

⦁ l$_{ABDT}$ = w$_{AB}$ + w$_{BD}$ + w$_{DT}$ = 4 + 7 + 3 = 14;

⦁ l$_{ACDT}$ = w$_{AC}$ + w$_{CD}$ + w$_{DT}$ = 2 + 6 + 3 = 11;

⦁ l$_{ACET}$ = w$_{AC}$ + w$_{CE}$ + w$_{ET}$ = 2 + 12 + 5 = 19;

⦁ l$_{ACDET}$ = w$_{AC}$ + w$_{CD}$ + w$_{DE}$ + w$_{ET}$ = 2 + 6 + 4 + 5 = 17;

⦁ l$_{ACEDT}$ = w$_{AC}$ + w$_{CE}$ + w$_{ED}$ + w$_{DT}$ = 2 + 12 + 4 + 3 = 21;

⦁ l$_{ABDET}$ = w$_{AB}$ + w$_{BD}$ + w$_{DE}$ + w$_{ET}$ = 4 + 7 + 4 + 5 = 20;

⦁ l$_{ABDCET}$ = w$_{AB}$ + w$_{BD}$ + w$_{DC}$ + w$_{CE}$ + w$_{ET}$ = 4 + 7 + 6 + 12 + 5 = 34.

b) Vì 11 < 14 < 17 < 19 < 20 < 21 < 34.

Nên l$_{ACDT}$ < l$_{ABDT}$ < l$_{ACDET}$ < l$_{ACET}$ < l$_{ABDET}$ < l$_{ACEDT}$ < l$_{ABDCET}$.

Vậy đường đi ngắn nhất từ A đến T là ACDT (có độ dài bằng 11).

– Gán nhãn cho A bằng 0 (tức là, n$_{A}$ = 0), các đỉnh khác bằng ∞. Khoanh tròn đỉnh A.

– Tại các đỉnh kề với A, gồm B, C, D, ta có:

⦁ n$_{B}$ = n$_{A}$ + w$_{AB}$ = 0 + 3 = 3. Vì 3 < ∞ nên ta đổi nhãn của B thành 3.

⦁ n$_{C}$ = n$_{A}$ + w$_{AC}$ = 0 + 6 = 6. Vì 6 < ∞ nên ta đổi nhãn của C thành 6.

⦁ n$_{D}$ = n$_{A}$ + w$_{AD}$ = 0 + 5 = 5. Vì 5 < ∞ nên ta đổi nhãn của D thành 5.

Trong các đỉnh chưa được khoanh tròn, đỉnh có nhãn bé nhất là B nên ta khoanh tròn đỉnh B (đỉnh gần đỉnh A nhất, chỉ tính các đỉnh khác đỉnh A).

– Trong các đỉnh chưa được khoanh tròn, đỉnh kề với đỉnh B gồm C, E, ta có:

⦁ n$_{C}$ = n$_{B}$ + w$_{BC}$ = 3 + 2 = 5. Vì 5 < 6 (6 là nhãn hiện tại của C) nên ta đổi nhãn của C thành 5.

⦁ n$_{E}$ = n$_{B}$ + w$_{BE}$ = 3 + 10 = 13. Vì 13 < ∞ nên ta đổi nhãn của E thành 13.

Trong các đỉnh chưa được khoanh tròn, đỉnh có nhãn bé nhất là C, D (đều có nhãn là 5) nên ta tùy ý khoanh tròn đỉnh C (đỉnh gần đỉnh A thứ hai).

– Trong các đỉnh chưa được khoanh tròn, đỉnh kề với đỉnh C gồm E, D, F, I, ta có:

⦁ n$_{E}$ = n$_{C}$ + w$_{CE}$ = 5 + 5 = 10. Vì 10 < 13 (13 là nhãn hiện tại của E) nên ta đổi nhãn của E thành 10.

⦁ n$_{D}$ = n$_{C}$ + w$_{CD}$ = 5 + 3 = 8. Vì 8 > 5 (5 là nhãn hiện tại của D) nên ta giữ nguyên nhãn của D là 5.

⦁ n$_{F}$ = n$_{C}$ + w$_{CF}$ = 5 + 6 = 11. Vì 11 < ∞ nên ta đổi nhãn của F thành 11.

⦁ n$_{I}$ = n$_{C}$ + w$_{CI}$ = 5 + 8 = 13. Vì 13 < ∞ nên ta đổi nhãn của I thành 13.

Trong các đỉnh chưa được khoanh tròn, đỉnh có nhãn bé nhất là D nên ta khoanh tròn đỉnh D (đỉnh gần đỉnh A thứ ba).

– Trong các đỉnh chưa được khoanh tròn, đỉnh kề với đỉnh D chỉ có đỉnh F, ta có:

n$_{F}$ = n$_{D}$ + w$_{DF}$ = 5 + 7 = 12.

Vì 12 > 11 (11 là nhãn hiện tại của F) nên ta giữ nguyên nhãn của F là 11.

Trong các đỉnh chưa được khoanh tròn, đỉnh có nhãn bé nhất là E nên ta khoanh tròn đỉnh E (đỉnh gần đỉnh A thứ tư).

– Trong các đỉnh chưa được khoanh tròn, đỉnh kề với đỉnh E chỉ có đỉnh I, ta có:

n$_{I}$ = n$_{E}$ + w$_{EI}$ = 10 + 2 = 12.

Vì 12 < 13 (13 là nhãn hiện tại của I) nên ta đổi nhãn của I thành 12.

Trong các đỉnh chưa được khoanh tròn, đỉnh có nhãn bé nhất là F nên ta khoanh tròn đỉnh F (đỉnh gần A thứ năm).

– Trong các đỉnh chưa được khoanh tròn, đỉnh kề với đỉnh F chỉ còn đỉnh I, ta có:

n$_{I}$ = n$_{F}$ + w$_{FI}$ = 11 + 4 = 15.

Vì 15 > 12 (12 là nhãn hiện tại của I) nên ta giữ nguyên nhãn của I là 12.

Lúc này, ta thấy chỉ còn đỉnh I chưa được khoanh tròn nên ta khoanh tròn đỉnh I (đỉnh gần A thứ sáu).

– Nhìn ngược lại các bước trên, ta thấy:

n$_{I}$ = 12 = n$_{E}$ + w$_{EI}$

= n$_{C}$ + w$_{CE}$ + w$_{EI}$

= n$_{B}$ + w$_{BC}$ + w$_{CE}$ + w$_{EI}$

= n$_{A}$ + w$_{AB}$ + w$_{BC}$ + w$_{CE}$ + w$_{EI}$

= w$_{AB}$ + w$_{BC}$ + w$_{CE}$ + w$_{EI}$

= l$_{ABCEI}$.

Vậy ABCEI là đường đi ngắn nhất từ A đến I, với độ dài bằng 12.