Bộ 7 đề thi cuối kì 1 Toán 8 Chân trời sáng tạo (2023-2024) có đáp án - Đề 3

a) $2{x^2}{y^3} \cdot \left( {5xy - 4x} \right) - 10{x^3}{y^4} = 10{x^3}{y^4} - 8{x^3}{y^3} - 10{x^3}{y^4} = - 8{x^3}{y^3}.$

b) $4 \cdot \left( {10x - 3} \right) + {\left( {x + 5} \right)^2} = 40x - 12 + {x^2} + 10x + 25 = {x^2} + 50x + 13.$

c) $\frac{{{x^2} + 3}}{{x - 2}} - \frac{{4x}}{{x - 2}} + \frac{1}{{x - 2}} = \frac{{{x^2} + 3 - 4x + 1}}{{x - 2}} = \frac{{{x^2} - 4x + 4}}{{x - 2}} = \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{x - 2}} = x - 2.$

d) $\frac{2}{{x - 3}} + \frac{3}{{x + 3}} + \frac{4}{{{x^2} - 9}} = \frac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{3\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{4}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}$

$$= \frac{{2x + 6 + 3x - 9 + 4}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{5x + 1}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}.$$

a) ${x^2}y - x{y^2} + ax - ay = xy\left( {x - y} \right) + a\left( {x - y} \right) = \left( {x - y} \right)\left( {xy + a} \right).$

b) $9{x^2} - 12x + 4 - {y^2} = {\left( {3x - 2} \right)^2} - {y^2} = \left( {3x - 2 - y} \right)\left( {3x - 2 + y} \right).$

Diện tích mặt đáy hình vuông của kim tự tháp là: ${S}_{đáy}={240}^{2}=57\ 600$ (m$^{2}$).

Thể tích của kim tự tháp là: $V=\frac{1}{3}{S}_{đáy}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 57\ 600\cdot 140=2\ 688\ 000$ (m$^{3}$).

Giả sử $\Delta ABC$ vuông tại $A$ mô tả bài toán trên (hình vẽ).

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A,$ theo định lí Pythagore ta có:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {7^2} + 1,{8^2} = 52{,}24 = \frac{{1\,\,306}}{{25}}.$

Do đó $BC = \sqrt {\frac{{1\,\,306}}{{25}}} \approx 7{,}2{\rm{\;}}\left( {\rm{m}} \right).$

a) Xét tứ giác $ABDC$ có $M$ là trung điểm của $BC$ và $AD$ (do $AM = MD)$ nên $ABDC$ là hình bình hành.

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $AM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$ nên $AM = \frac{1}{2}BC.$

Mà $AM = \frac{1}{2}AD$ (do $M$ là trung điểm của $AD)$ nên $BC = AD.$

Hình bình hành $ABDC$ có hai đường chéo bằng nhau $BC = AD$ nên là hình chữ nhật.

b) Do $ABDC$ là hình chữ nhật nên $\widehat {ACD} = 90^\circ$ hay $AC \bot DE.$

Xét $\Delta ABN$ (vuông tại $A)$ và $\Delta CEN$ (vuông tại $C)$ có:

$AN = CN$ (do $N$ là trung điểm của $AC);$ $\widehat {ANB} = \widehat {CNE}$ (đối đỉnh)

Do đó $\Delta ABN = \Delta CEN$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra $AB = CE$ (hai cạnh tương ứng).

Xét tứ giác $ABCE$ có $AB\,{\rm{//}}\,CE$ (do $ABDC$ là hình chữ nhật) và $AB = CE$ nên $ABCE$ là hình bình hành.

c) Ta có $AN = CN$ và $AM = CM$ nên $MN$ là đường trung trực của $AC,$ do đó $MN \bot AC.$

Mà $AB \bot AC$ nên $AB\,{\rm{//}}\,MN$ hay $AB\,{\rm{//}}\,MP.$

Xét tứ giác $ABMP$ có $AB\,{\rm{//}}\,MP$ và $BM\,{\rm{//}}\,AP$ (do $ABCE$ là hình bình hành) nên $ABMP$ là hình bình hành. Do đó hai đường chéo $BP$ và $AM$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Vậy $BP$ đi qua trung điểm của $AM.$