Bộ 5 đề thi giữa kì Toán 10 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 2

Phương án A là hình minh họa cho tập hợp $\left[ {1;4} \right]$.

Phương án B là hình minh họa cho tập hợp $\left[ {1;4} \right)$.

Phương án C là hình minh họa cho tập hợp $\left( {1;4} \right]$.

Phương án D là hình minh họa cho tập hợp $\left( {1;4} \right)$. Chọn C.

Phương án A sai vì có 3 ẩn $x,y,z$.

Phương án B sai vì lũy thừa của $y$ là bậc hai.

Phương án C sai vì hệ gồm một bất phương trình và một phương trình. Chọn D.

Câu A đúng theo tính chất của hai góc bù nhau.

Câu B đúng theo hệ thức lượng giác cơ bản.

Câu D đúng vì $VT = \cos \alpha + \cos \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \cos \alpha + \left( { - \cos \alpha } \right) = 0 = VP$. Chọn C.

Các công thức A, B, C đúng theo công thức diện tích tam giác

Công thức D sai, sửa lại thành: $S = \frac{{abc}}{{{\rm{4R}}}}$. Chọn D.

- Mệnh đề A sai vì ba số tự nhiên liên tiếp $n,n + 1,n + 2$ luôn có ít nhất 1 số chẵn nên tích của chúng là số chẵn.

- Mệnh đề B đúng vì ${x^2} < 4 \Leftrightarrow \left| x \right| < 2 \Leftrightarrow - 2 < x < 2\,\,\forall x \in \mathbb{R}$.

- Mệnh đề C sai vì ${n^2}$ luôn chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 1 nên ${n^2} + 1$ hoặc chia 3 dư 1 hoặc chia 3 dư 2 hay ${n^2} + 1$ không chia hết cho 3 với mọi $n \in \mathbb{N}$.

- Mệnh đề D sai vì ${x^2} \ge 9 \Leftrightarrow \left| x \right| \ge 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 3\\x \le - 3\end{array} \right.$. Chọn B.

Ta có

$\begin{matrix}A=\cos 10^{\circ}+\cos 20^{\circ}+...+\cos 170^{\circ}+\cos 180^{\circ} \\ \ =\cos 180^{\circ}+(\cos 10^{\circ}+\cos 170^{\circ})+(\cos 20^{\circ}+\cos 160^{\circ})+...+(\cos 80^{\circ}+\cos 100^{\circ})+\cos 90^{\circ} \\ \ =-1+(\cos 10^{\circ}-\cos 10^{\circ})+(\cos 20^{\circ}-\cos 20^{\circ})+...+(\cos 80^{\circ}-\cos 80^{\circ})+0 \\ \ =-1.\end{matrix}$

Chọn D.

a) Đúng. Mệnh đề đảo của mệnh đề “$P \Rightarrow Q$” là mệnh đề “$Q \Rightarrow P$” và được phát biểu là: “Nếu $ABCD$ là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau thì tứ giác $ABCD$ là hình vuông”.

b) Sai. Hai mệnh đề $P$ và $Q$ tương đương với nhau.

c) Sai. Mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$ là mệnh đề đúng.

d) Đúng. Vì $P$ và $Q$ tương đương nên $P$ là điều kiện cần và đủ để có $Q$.

a) Đúng. Ta có $\sin \alpha = \frac{1}{3} > 0$.

Do $90^{\circ}<α<180^{\circ}$ nên $\cos α<0$. Vậy giá trị $\sin \alpha \cdot \cos \alpha < 0$.

b) Đúng. Vì $\cos \alpha < 0$, mà ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$, suy ra $\cos \alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - \frac{1}{9}} = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

c) Sai. Ta có $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{1}{3}}}{{ - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}}} = - \frac{1}{{2\sqrt 2 }} = - \frac{{\sqrt 2 }}{4}$.

d) Đúng. Ta có $\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{ - \frac{{\sqrt 2 }}{4}}} = - 2\sqrt 2 .$

Vậy $\frac{{6\sin \alpha + 3\sqrt 2 \cos \alpha }}{{2\sqrt 2 \tan \alpha + \sqrt 2 \cot \alpha }} = \frac{{6 \cdot \frac{1}{3} + 3\sqrt 2 \cdot \left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right)}}{{2\sqrt 2 \cdot \left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{4}} \right) + \sqrt 2 \cdot \left( { - 2\sqrt 2 } \right)}} = \frac{2}{5}$.

Ta có: $A = \left\{ { - 4;\, - 2;\, - 1;\,2;\,3;\,4} \right\}$, $B = \left\{ { - 4;\, - 3;\, - 2;\, - 1;\,0;\,1;\,2;\,3;\,4} \right\}$ và tập hợp $X$ gồm bốn phần tử.

Suy ra tập hợp $X$ là: $\left\{ { - 4;\, - 3;\,0;\,1} \right\}$, $\left\{ { - 3;\, - 2;\,0;\,1} \right\}$, $\left\{ { - 3;\, - 1;\,0;\,1} \right\}$, $\left\{ { - 3;\,0;\,1;\,2} \right\}$, $\left\{ { - 3;\,0;\,1;\,3} \right\}$, $\left\{ { - 3;\,0;\,1;\,4} \right\}$.

Đáp án: 6.

Gọi x là số quyển tập và y là số cây bút mà bạn Lan mua $\left( {x,y \in \mathbb{N}} \right)$.

Bất phương trình biểu diễn số tập và bút có thể mua được phụ thuộc vào số tiền mang theo là $8\,000x + 6\,000y \le 150\,000$.

Nếu bạn Lan đã mua 10 cây bút thì $8\,000x + 6\,000 \cdot 10 \le 150\,000 \Leftrightarrow x \le 11{,}25$.

Vì $x \in \mathbb{N}$ nên số quyển tập tối đa bạn Lan mua được là 11 quyển.

Đáp án: 11.

Do $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$ (tổng ba góc trong tam giác) nên ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\cos \left( {B + C} \right) = - \cos A\\\sin \left( {B + C} \right) = \sin A\end{array} \right.$.

Vậy $P = \sin A \cdot \cos \left( {B + C} \right) + \cos A \cdot \sin \left( {B + C} \right) = \sin A \cdot \left( { - \cos A} \right) + \cos A \cdot \sin A$

$= - \sin A \cdot \cos A + \cos A \cdot \sin A = 0$.

Đáp án: 0.

Áp dụng hệ quả của định lí côsin trong tam giác $ABC$, ta có:

$\cos A = \frac{{A{C^2} + A{B^2} - B{C^2}}}{{2AC \cdot AB}} = \frac{{\sqrt 3 AC \cdot AB}}{{2AC \cdot AB}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$. Suy ra $\widehat{A}=30^{\circ}$.

Vậy $\sin (B+C)=\sin 150^{\circ}=0{,}5.$

Đáp án: 0,5.

Số học sinh tham gia môn điền kinh hoặc môn bóng đá là: $40 - 16 = 24$ (học sinh).

Số học sinh chỉ tham gia môn điền kinh là $24 - 14 = 10$ (học sinh).

Số học sinh chỉ tham gia môn bóng đá là $24 - 18 = 6$ (học sinh).

Vậy số học sinh chỉ tham gia một trong hai môn là $10 + 6 = 16$ (học sinh).

Gọi số xe loại A cần thuê là $x\,\,\left( {x \ge 0} \right)$.

Số xe loại B cần thuê là $y\,\,\left( {y \ge 0} \right),x,y \in \mathbb{N}$.

Số người có thể chở tối đa là: $20x + 10y$ (người).

Số tấn hàng có thể chở tối đa là: $0{,}5x + 2y$ (tấn).

Theo đề bài, ta có:

- Cần chở ít nhất 100 người: $20x + 10y \ge 100$.

- Cần chở ít nhất 6 tấn hàng: $0{,}5x + 2y \ge 6$.

- Có 8 chiếc xe loại A và 6 chiếc xe loại B: $x \le 8$, $y \le 6$.

- Chi phí bỏ ra: $F\left( {x;y} \right) = 4x + 3y$ (triệu đồng).

Ta có hệ bất phương trình: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{20x + 10y \ge 100}\\{0{,}5x + 2y \ge 6}\\{0 \le x \le 8}\\{0 \le y \le 6}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{2x + y \ge 10}\\{x + 4y \ge 12}\\{0 \le x \le 8}\\{0 \le y \le 6}\end{array}} \right.$ (I).

Bài toán trở thành tìm x, y thoả mãn hệ bất phương trình (I) để $F\left( {x;y} \right) = 4x + 3y$ nhỏ nhất.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (I) là miền tứ giác ABCD kể cả biên.

Toạ độ 4 đỉnh của miền nghiệm là: $A\left( {4\,;\,2} \right)$, $B\left( {8\,;\,1} \right)$, $C\left( {8\,;\,6} \right)$, $D\left( {2\,;\,6} \right)$.

Suy ra $F\left( {x;y} \right) = 4x + 3y$ đạt GTNN bằng 22 tại$\left( {4;2} \right)$.

Vậy doanh nghiệp nên thuê 4 xe loại A và 2 xe loại B để chi phí thấp nhất, và chi phí thấp nhất là 22 triệu đồng.

Có $\widehat{CAH}={α}_{1}=30^{\circ},\ \widehat{CBH}={β}_{1}=70^{\circ}\Rightarrow \widehat{ACB}=\widehat{CBH}-\widehat{CAH}=40^{\circ}$.

Áp dụng định lí sin vào $\Delta ABC$, ta có: $\frac{BC}{\sin \widehat{CAH}}=\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}}\Rightarrow BC=\frac{20\sin 30^{\circ}}{\sin 40^{\circ}}$

Xét $\Delta HBC$ vuông tại H, ta có: $\sin \widehat{CBH}=\frac{CH}{BC}\Rightarrow CH=BC\sin \widehat{CBH}=\frac{20\sin 30^{\circ}}{\sin 40^{\circ}}\cdot \sin 70^{\circ}$.

Có $\widehat{OAH}={α}_{2}=50^{\circ},\ \widehat{OBH}={β}_{2}=80^{\circ}\Rightarrow \widehat{AOB}=30^{\circ}$.

Áp dụng định lí sin vào $\Delta ABO$, ta có: $\frac{BO}{\sin \widehat{OAH}}=\frac{AB}{\sin \widehat{AOB}}\Rightarrow BO=\frac{20\sin 50^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}$.

Xét $\Delta HBO$ vuông tại H, ta có: $\sin \widehat{OBH}=\frac{HO}{BO}\Rightarrow HO=BO\sin \widehat{OBH}=\frac{20\sin 50^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}\cdot \sin 80^{\circ}$.

Vậy $h=OC=HO-CH=\frac{20\sin 50^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}\cdot \sin 80^{\circ}-\frac{20\sin 30^{\circ}}{\sin 40^{\circ}}\cdot \sin 70^{\circ}\approx 15{,}56$(m).