Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức (Tự luận) có đáp án - Đề 5

a) Tốc độ trên đường cao tốc là: $r + 50\% \cdot r = 1{,}5r$ (giờ)

Thời gian gia đình ông Ba đi trên đoạn đường bình thường là: $\frac{{100}}{r}$ (giờ).

Thời gian gia đình ông Ba đi trên đoạn đường cao tốc là: $\frac{{240}}{{1{,}5r}} = \frac{{160}}{r}$ (giờ).

Thời gian gia đình ông Ba phải đi là: $\frac{{100}}{r} + \frac{{160}}{r} = \frac{{260}}{r}$ (giờ).

b) Nếu họ lái xa đúng giới hạn ghi trên biển chỉ đường thì $r = 40$ (km/giờ) và khi đó thời gian gia đình ông Ba phải đi là: $\frac{{260}}{{40}} = 6{,}5$ (giờ) = 6 giờ 30 phút.

a) Ta có $1 - {x^2} = - \left( {{x^2} - 1} \right) = - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right).$

Khi đó, điều kiện xác định của biểu thức $B$ là $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x + 1 \ne 0\\1 - {x^2} \ne 0\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x + 1 \ne 0\\ - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \ne 0\end{array} \right.,$ tức là $\left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne - 1\end{array} \right..$

Vậy để $B$ xác định thì $x \ne 1$ và $x \ne - 1.$

b) Với $x \ne 1$ và $x \ne - 1$ ta có:

$B = \frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} + \frac{4}{{1 - {x^2}}}$$= \frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} - \frac{4}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

$= \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {{\left( {x - 1} \right)}^2} - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$$= \frac{{\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) - \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

$= \frac{{4x - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$$= \frac{{4\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$$= \frac{4}{{x + 1}}$.

Vì vậy với $x \ne 1$ và $x \ne - 1$ thì $B = \frac{4}{{x + 1}}.$

Với $x = - \frac{1}{2}$ thoả mãn điều kiện xác định, thay vào biểu thức $B = \frac{4}{{x + 1}},$ ta được:

$B = \frac{4}{{ - \frac{1}{2} + 1}} = \frac{4}{{\frac{1}{2}}} = 8.$

Vậy với $x = - \frac{1}{2}$ thì $B = 8.$

c) Với $x \ne 1$ và $x \ne - 1$ thì $B = \frac{4}{{x + 1}}.$

Với $x$ là số nguyên, để $B$ nhận giá trị nguyên thì $x + 1$ là ước của $4.$

Mà Ư$\left( 4 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2;\,\,4;\,\, - 4} \right\}.$

Ta có bảng sau:

Do đó: $x \in \left\{ { - 5;\,\, - 3;\,\, - 2;\,\,0;\,\,1;\,\,3} \right\}.$

Mà $x \ne 1$ và $x \ne - 1$ nên $x \in \left\{ { - 5;\,\, - 3;\,\, - 2;\,\,0;\,\,3} \right\}.$

Vậy để $B$ nhận giá trị nguyên thì $x \in \left\{ { - 5;\,\, - 3;\,\, - 2;\,\,0;\,\,3} \right\}.$

Hướng dẫn giải

a) $11 + 5x = 3x - 2$

$5x - 3x = 11 - 2$

$2x = 9$

$x = \frac{9}{2}.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = \frac{9}{2}.$

c) $\frac{x}{{20}} - \frac{{x - 10}}{{25}} = - 2$

$\frac{{5x}}{{100}} - \frac{{4\left( {x - 10} \right)}}{{100}} = - \frac{{200}}{{100}}$

$5x - 4x + 40 = - 200$

$x = - 240$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = - 240.$

b) $3\left( {x - 2} \right) - \left( {2x - 4} \right) = x + 1$

$$3x - 6 - 2x + 4 = x + 1$$

$$3x - 2x - x = 1 + 6 - 4$$

$0x = 3$

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

d) $\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right) - 4 = {\left( {x - 2} \right)^2}$

${x^2} - 25 - 4 = {x^2} - 4x + 4$

${x^2} - {x^2} + 4x = 4 + 25 + 4$

$4x = 33$

$x = \frac{{33}}{4}.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = \frac{{33}}{4}.$

Gọi $x\,\,\left( \% \right)$ là giá bán một ly trà sữa ở tuần trước $\left( {x > 0} \right).$

Vì tổng giá một ly trà sữa và một ly trà đào là $47\,\,000$ đồng.

Khi đó giá bán một ly trà đào ở tuần trước là $47\,\,000 - x$ (đồng).

Giá bán một ly trà sữa hôm nay là: $x\left( {100\% - 20\% } \right) = 80\% x = 0{,}8x$ (đồng).

Giá bán một ly trà đào hôm nay là:

$\left( {47\,\,000 - x} \right)\left( {100\% + 10\% } \right) = 110\% x\left( {47\,\,000 - x} \right) = 51\,\,700 - 1{,}1x$ (đồng).

Do My đã trả chi phí là $172\,\,600$ đồng. Hỏi ở tuần trước nên ta có phương trình:

$5 \cdot 0{,}8x + 3\left( {51\,\,700 - 1{,}1x} \right) = 172\,\,600$

$4x + 155\,\,100 - 3{,}3x = 172\,\,600$

$4x - 3{,}3x = 172\,\,600 - 155\,\,100$

$0{,}7x = 17\,\,500$

$x = 25\,\,000$ (thỏa mãn).

Vậy giá tiền mỗi ly trà sữa ở tuần trước là $25\,\,000$ đồng;

Giá tiền mỗi ly trà đào là $47\,\,000 - 25\,\,000 = 22\,\,000$ (đồng).

Hướng dẫn giải

a) Xét $\Delta ABC$ cân tại $A$ có đường cao $AD$ nên đồng thời là đường trung tuyến, đo dó

$BD = CD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 120 = 60{\rm{\;cm}}.$

Áp dụng định lí Pythagore cho $\Delta ABD$ vuông tại $D,$ ta có:

$A{B^2} = A{D^2} + B{D^2},$ suy ra $A{D^2} = A{B^2} - B{D^2} = {100^2} - {60^2} = 6\,\,400.$

Do đó $AD = \sqrt {6\,\,400} = 80{\rm{\;cm}}.$

b) Xét $\Delta BDH$ và $\Delta ADC$ có:

$\widehat {BDH} = \widehat {ADC} = 90^\circ$ và $\widehat {HBD} = \widehat {DAC}$ (cùng phụ với $\widehat {ECB}).$

Do đó (g.g).

c) Theo câu b, suy ra $\widehat {BHD} = \widehat {ACD}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat {ABD} = \widehat {ACD}$ (do $\Delta ABC$ cân tại $A),$ nên $\widehat {BHD} = \widehat {ABD}.$

Xét $\Delta BDH$ và $\Delta ADB$ có:

$\widehat {BDH} = \widehat {ADB} = 90^\circ$ và $\widehat {BHD} = \widehat {ABD}$

Do đó (g.g).

Suy ra $\frac{{BD}}{{AD}} = \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{{DH}}{{DB}}$ (tỉ số cạnh tương ứng).

Hay $\frac{{60}}{{80}} = \frac{{BH}}{{100}} = \frac{{DH}}{{60}},$ suy ra $BH = \frac{{60 \cdot 100}}{{80}} = 75{\rm{\;cm}}$ và $DH = \frac{{60 \cdot 60}}{{80}} = 45{\rm{\;cm}}.$

d) Ta có $AH = AD - DH = 80 - 45 = 35{\rm{\;cm}}.$

Xét $\Delta BDH$ và $\Delta BEC$ có:

$\widehat {BDH} = \widehat {BEC} = 90^\circ$ và $\widehat {EBC}$ là góc chung.

Do đó (g.g).

Xét $\Delta BDH$ và $\Delta AEH$ có:

$\widehat {BDH} = \widehat {AHE} = 90^\circ$ và $\widehat {BHD} = \widehat {AHE}$ (đối đỉnh).

Do đó (g.g).

Mà nên

Do đó $\frac{{HE}}{{BD}} = \frac{{AH}}{{AB}}$ (tỉ số cạnh tương ứng), hay $\frac{{HE}}{{60}} = \frac{{35}}{{100}},$ suy ra $HE = \frac{{60 \cdot 35}}{{100}} = 21{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right).$

Từ $D$ vẽ $Dx \bot CD$ cắt tia $AB$ tại $E.$

Xét tứ giác $BCDE$ có $\widehat {BCD} = \widehat {CDE} = \widehat {CBE} = 90^\circ$ nên $BCDE$ là hình chữ nhật.

Do đó $DE = BC = 12{\rm{\;cm}},\,\,BE = CD = 6{\rm{\;cm}}.$

Có $AE = AB + BE = 10 + 6 = 16{\rm{\;cm}}.$

Áp dụng định lí Pythagore cho $\Delta ADE$ vuông tại $E,$ ta được: $A{D^2} = A{E^2} + D{E^2} = {16^2} + {12^2} = 400.$

Suy ra $AD = \sqrt {400} = 20{\rm{\;cm}}.$

Thời gian viên bi lăn theo đoạn thẳng $AD$ là $\frac{{20 \cdot 21}}{{28}} = 15$ (giây).