Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức (Tự luận) có đáp án - Đề 2

a) Diện tích hình vuông $EFGH$ là: ${x^2}\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).$

Diện tích hình chữ nhật $ABCD$ là: $2xy\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).$

Phân thức biểu thị tỉ số diện tích hình vuông và diện tích hình chữ nhật $ABCD$ là: $\frac{{{x^2}}}{{2xy}} = \frac{x}{{2y}}.$

Tử thức là $x\,;$ mẫu thức là $2y.$

b) Giá trị của phân thức đó tại $x = 2\,;{\rm{ }}y = 8$ là: $\frac{2}{{2.8}} = \frac{2}{{16}} = \frac{1}{8}$.

a) Điều kiện xác định của biểu thức $D$ là: $3x \ne 0;{\rm{ }}x + 1 \ne 0;$$\frac{{2 - 4x}}{{x + 1}} \ne 0$

• Xét $3x \ne 0$ ta có $x \ne 0.$

• Xét $x + 1 \ne 0$ ta có $x \ne --1.$

• Xét $\frac{{2 - 4x}}{{x + 1}} \ne 0$ ta có $2--4x \ne 0$ và $x + 1 \ne 0,$ hay $x \ne \frac{1}{2}$ và $x \ne --1.$

Vậy điều kiện xác định của biểu thức $D$ là $x \ne 0;\,\,x \ne - 1;\,\,x \ne \frac{1}{2}.$

b) Với $x \ne 0;\,\,x \ne - 1;\,\,x \ne \frac{1}{2},$ ta có:

$D = \left( {\frac{{x + 2}}{{3x}} + \frac{2}{{x + 1}} - 3} \right):\frac{{2 - 4x}}{{x + 1}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}$

$= \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) + 2 \cdot 3x - 3 \cdot 3x\left( {x + 1} \right)}}{{3x \cdot \left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{x + 1}}{{2 - 4x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}$

$= \frac{{{x^2} + 2x + x + 2 + 6x - 9{x^2} - 9x}}{{3x\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{x + 1}}{{2 - 4x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}$

$= \frac{{ - 8{x^2} + 2}}{{3x\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{x + 1}}{{2 - 4x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}$

$= \frac{{2\left( {1 - 4{x^2}} \right) \cdot \left( {x + 1} \right)}}{{3x\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {2 - 4x} \right)}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}$

$= \frac{{2\left( {1 - 2x} \right)\left( {1 + 2x} \right)}}{{3x \cdot 2\left( {1 - 2x} \right)}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}$

$= \frac{{1 + 2x}}{{3x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}} = \frac{{1 + 2x - 3x + {x^2} - 1}}{{3x}}$

$= \frac{{{x^2} - x}}{{3x}} = \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{3x}} = \frac{{x - 1}}{3}$.

Vậy với $x \ne 0;\,\,x \ne - 1;\,\,x \ne \frac{1}{2}$ thì $D = \frac{{x - 1}}{3}.$

c) Ta có $\left( {2x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = 0$

$2x - 1 = 0$ hoặc ${x^2} + 1 = 0$ (vô nghiệm do ${x^2} + 1 > 0$ với mọi $x)$

$x = \frac{1}{2}$

Ta thấy $x = \frac{1}{2}$ thỏa mãn điều kiện xác định.

Do đó, giá trị của biểu thức $D$ tại $x = \frac{1}{2}$ là: $D = \frac{{\frac{1}{2} - 1}}{3} = \frac{{ - \frac{1}{2}}}{3} = - \frac{1}{6}.$

Vậy $D = - \frac{1}{6}$ khi $\left( {2x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = 0.$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{2}{3}x + 2\frac{1}{2} = 0$

$\frac{2}{3}x = - 2\frac{1}{2}$

$\frac{2}{3}x = - \frac{5}{2}$

$x = - \frac{5}{3}.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = - \frac{5}{3}.$

c) $\frac{{2x - 1}}{3} - \frac{{x + 7}}{4} = \frac{{5 - 3x}}{2}$

$\frac{{4\left( {2x - 1} \right)}}{{12}} - \frac{{3\left( {x + 7} \right)}}{{12}} = \frac{{6\left( {5 - 3x} \right)}}{{12}}$

$8x - 4 - 3x - 21 = 30 - 18x$

$8x - 3x + 18x = 30 + 4 + 21$

$23x = 55$

$x = \frac{{55}}{{23}}.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = \frac{{55}}{{23}}.$

b) $x - 4x + 2x - 29 = 4x + 1$

$x - 4x + 2x - 4x = 1 + 29$

$- 5x = 30$

$x = - 6$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = - 6.$

d) $2x\left( {x--1} \right) = {x^2} - 1$

$$2{x^2} - 2x = {x^2} - 1$$

$$2{x^2} - {x^2} - 2x + 1 = 0$$

$${x^2} - 2x + 1 = 0$$

$${\left( {x - 1} \right)^2} = 0$$

$$x = 1$$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = 1.$

Gọi vận tốc của tàu hỏa thứ nhất là $x$ (km/h) $\left( {x > 0} \right).$

Vận tốc của tàu hỏa thứ hai là $x - 5$ (km/h).

Sau 4 giờ 48 phút $= 4{,}8$ giờ thì tàu thứ nhất đi được quãng đường là: $4{,}8x$ (km).

Vì tàu hỏa thứ hai khởi hành sau tàu hỏa thứ nhất 1 giờ 48 phút $= 1{,}8$ giờ nên thời gian tàu hỏa thứ hai đã đi là $4{,}8 - 1{,}8 = 3$ (giờ). Khi đó quãng đường tàu hỏa thứ hai đã đi là: $3\left( {x - 5} \right)$ (km).

Vì ga Nam Định nằm trên đường từ Hà Nội đi TP Hồ Chí Minh và cách ga Hà Nội 87 km nên ta có phương trình:

$4{,}8x = 3\left( {x - 5} \right) + 87$

$4{,}8x = 3x - 15 + 87$

$4{,}8x - 3x = 87 - 15$

$1{,}8x = 72$

$x = 40$ (thỏa mãn).

Vậy vận tốc của tàu hỏa thứ nhất là $40$ km/h, vận tốc của tàu hỏa thứ hai là $40 - 5 = 35\,\,\left( {{\rm{km/}}\,{\rm{h}}} \right).$

a) Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A,$ theo định lí Pytagore ta có: $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {8^2} + {6^2} = 64 + 36 = 100$

Suy ra $BC = \sqrt {100} = 10{\rm{\;cm}}.$

Vì $BD$ là tia phân giác của góc $ABC$ nên suy ra:

$$\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}.$$

b) Theo đề bài, $CE \bot BD$ tại $E$ nên $\widehat {BEC} = 90^\circ .$

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta EBC$ có:

$\widehat {BAD} = \widehat {BEC} = 90^\circ$ và $\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}$ (vì $BD$ là tia phân giác của góc $ABC)$

Do đó (g.g).

Suy ra: $\frac{{BD}}{{AD}} = \frac{{BC}}{{EC}}$ (tỉ số cạnh tương ứng).

Do đó $BD \cdot EC = AD \cdot BC.$

c) Từ $\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{BC}}$ suy ra $\frac{{CD}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{AB}}$$\left( 1 \right)$

Vì (câu b) nên $\frac{{AD}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{EB}},$ suy ra $\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{EC}}{{EB}}$$\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra: $\frac{{CD}}{{BC}} = \frac{{CE}}{{BE}}.$

d) Tương tự câu b ta chứng minh được:

⦁ (g.g) nên $\frac{{CH}}{{CE}} = \frac{{CE}}{{CB}}.$

Suy ra $CH \cdot CB = C{E^2}\,\,\left( 3 \right)$

⦁ (g.g) nên $\frac{{ED}}{{EC}} = \frac{{CE}}{{BE}}.$

Suy ra $ED \cdot EB = C{E^2}\left( 4 \right)$

Từ $\left( 3 \right)$ và $\left( 4 \right)$ suy ra: $CH \cdot HB = ED \cdot EB.$

Giả sử mặt cắt dọc phần nổi trên mặt nước cả tàu thủy được mô tả như hình vẽ dưới đây:

• Do tam giác $ABM$ vuông tại $B,$ nên theo định lí Pythagore ta có:

$A{M^2} = A{B^2} + B{M^2} = 5,{6^2} + 8,{4^2} = 31{,}36 + 70{,}56 = 101{,}92$.

Suy ra $AB = \sqrt {101{,}92} \,\,\left( {\rm{m}} \right).$

• Do tam giác $CDH$ vuông tại $H,$ nên theo định lí Pythagore ta có:

$$C{D^2} = C{H^2} + D{H^2} = 16,{2^2} + 10,{8^2} = 262{,}44 + 116{,}64 = 379{,}08$$

Suy ra $CD = \sqrt {379{,}08} \,\,\left( {\rm{m}} \right)$.

• Ta có $AI = BH = BM + MC + CH = 8{,}4 + 24 + 16{,}2 = 48{,}6$ (m).

$DI = DH--HI = DH--AB = 10{,}8--5{,}6 = 5{,}2$ (m).

Do tam giác $ADI$ vuông tại $I,$ nên theo định lí Pythagore ta có:

$$A{D^2} = A{I^2} + D{I^2} = 48,{6^2} + 5,{2^2} = 2{\rm{ }}361{,}96 + 27{,}04 = 2{\rm{ }}389$$

Suy ra $AD = \sqrt {2\,389} \,\,\left( {\rm{m}} \right)$.

• Chu vi tứ giác $AMCD$ là:

$AM + MC + CD + DA =$$\sqrt {101{,}92} + 24 + \sqrt {379{,}08} + \sqrt {2389} \approx 102{,}4$ (m).

Vậy chu vi mặt cắt dọc phần nổi trên mặt nước của chiếc tàu thuỷ đó khoảng $102{,}4{\rm{\;m}}{\rm{.}}$