Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 7 Kết nối tri thức (Tự luận) có đáp án - Đề 5

Hướng dẫn giải

a) $\frac{{1{,}2}}{x} = \frac{5}{2}$ nên $x = \frac{{2.1{,}2}}{5} = 0{,}48$. Vậy $x = 0{,}48$.

b) $\frac{x}{3} = \frac{y}{2}$ và $x + y = 10$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: $\frac{x}{3} = \frac{y}{2} = \frac{{x + y}}{{3 + 2}} = \frac{{10}}{5} = 2$.

Suy ra $x = 3.2 = 6;{\rm{ }}y = 2.2 = 4$.

Vậy $x = 6;y = 4.$

c) $\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{6}$ và $y + z = 80$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: $\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{6} = \frac{{y + z}}{{4 + 6}} = \frac{{80}}{{10}} = 8$.

Suy ra $x = 3.8 = 24;{\rm{ }}y = 4.8 = 32;{\rm{ }}z = 6.8 = 48$.

Vậy $x = 24;{\rm{ }}y = 32;{\rm{ }}z = 48.$

Hướng dẫn giải

2.1. Có $10$ vòi nước công suất như nhau cùng chảy vào một bể thì sau 6 giờ thì đầy bể. Vậy hỏi số vòi nước cùng công suất để sau 5 giờ thì đầy bể là bao nhiêu?

2.2.Gọi số cây mỗi lớp 7A, 7B, 7C trồng được lần lượt là $a,b,c$ cây $\left( {a,b,c \in {\mathbb{N}^*}} \right)$.

Số cây lớp 7A, 7B, 7C trồng lần lượt tỉ lệ với $6;4;5$ suy ra $\frac{a}{6} = \frac{b}{4} = \frac{c}{5}$.

Tổng số cây lớp 7B và 7C trồng được nhiều hơn của lớp 7A là $15$ cây.

Do đó, ta có: $b + c - a = 15$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: $\frac{a}{6} = \frac{b}{4} = \frac{c}{5} = \frac{{b + c - a}}{{4 + 5 - 6}} = \frac{{15}}{3} = 5$.

Ta có: $a = 6.5 = 30$ (thỏa mãn), $b = 5.4 = 20$ (thỏa mãn), $c = 5.5 = 25$ (thỏa mãn)

Vậy số cây mỗi lớp 7A, 7B, 7C trồng được lần lượt là $30$ cây, $20$ cây, $25$ cây.

Hướng dẫn giải

3.1. a) Ta có: $C\left( x \right) = {x^4} + {x^3} - 4x - {x^4} + 3x + 7 + 3{x^2} - {x^2}$

$C\left( x \right) = \left( {{x^4} - {x^4}} \right) + {x^3} + \left( { - 4x + 3x} \right) + \left( {3{x^2} - {x^2}} \right) + 7$

$C\left( x \right) = {x^3} - x + 2{x^2} + 7$ hay $C\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x + 7$.

b) Đa thức $C\left( x \right)$ có hệ số cao nhất là $1$; hệ số tự do là $7$ và bậc là $3$.

c) Ta có: $C\left( 2 \right) = {2^3} - 2 + {2.2^2} + 7 = 21$.

$C\left( 1 \right) = {1^3} - 1 + {2.1^2} + 7 = 9$

$C\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^3} - \left( { - 1} \right) + 2.{\left( { - 1} \right)^2} + 7 = 9$.

d) Ta có: $D\left( x \right) - x + 2{x^2} - 1 = C\left( x \right)$ nên $D\left( x \right) = C\left( x \right) + x - 2{x^2} + 1$

Do đó, $D\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} - x + 7 + x - 2{x^2} + 1 = {x^3} + 8$.

3.2. Ta có: $G = {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^4} - 2025$

Nhận thấy ${\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0$; ${\left( {y - 2} \right)^2} \ge 0$ và ${\left( {z + 3} \right)^4} \ge 0$.

Do đó, ${\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^4} \ge 0$ nên ${\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^4} - 2025 \ge - 2015$.

Dấu “=” xảy ra khi ${\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} = 0;{\rm{ }}{\left( {y - 2} \right)^2} = 0;{\rm{ }}{\left( {z + 3} \right)^4} = 0$ hay $x = \frac{1}{2};y = 2;z = 3$.

Vậy GTNN của $G = - 2025$ khi $x = \frac{1}{2};y = 2;z = 3$.

Hướng dẫn giải

4.1.

Xét

$\Delta ABM$ và $\Delta ACM$ có:

$AB = AC$ ($\Delta ABC$ cân tại $A$)

$\widehat B = \widehat C$($\Delta ABC$ cân tại $A$)

$BM = MC$

Suy ra $\Delta ABM = \Delta ACM$ (c.g.c)

Do đó, $\widehat {AMB} = \widehat {AMC}$ (hai góc tương ứng)

Mà hai góc $\widehat {AMB} = \widehat {AMC}$ (hai góc tương ứng) (1)

Mà hai góc $\widehat {AMB}$ và $\widehat {AMC}$ là hai góc kề bù.

Suy ra $\widehat {AMB} + \widehat {AMC} = 180^\circ$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat {AMB} = \widehat {AMC} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ$.

Do đó, $AM \bot BC$ tại $M.$

Vậy $AM$ là khoảng cách từ $A$ đến cạnh $BC$ của tam giác $ABC.$

4.2. Ta có $BC > AB,BC > AC$ nên $BC + BC + BC > AC + AB + BC$ tức là $3BC > 18$ hay $BC > 6.$

Ta có $BC < AC + AB$ nên $BC + BC < AB + AC + BC$, tức là $2BC < 18$ nên $BC < 9$.

Từ đây suy ra $6 < BC < 9$ và $BC$ là một số tự nhiên chẵn nên $BC = 8{\rm{ cm}}{\rm{.}}$

Hướng dẫn giải

a) Xét $\Delta ABC$, ta có: $O$ là trung điểm của $AC$, $M$ là trung điểm của $BC$.

Do đó, $BO,AM$ là các đường trung tuyến của $\Delta ABC$.

Mà $BO$ cắt $AM$ tại $I$ nên $I$ là trọng tâm của $\Delta ABC$.

Xét $\Delta ADC$, ta có: $O$ là trung điểm của $AC$, $N$ là trung điểm của $DC$.

Do đó, $DO,AN$ là các đường trung tuyến của $\Delta ADC$.

Mà $DO$ cắt $AN$ tại $K$ nên $K$ là trọng tâm của $\Delta ADC$.

b) Xét $\Delta ABC$ có $I$ là trọng tâm nên $IO = \frac{1}{3}BO$.

Xét $\Delta ADC$ có $K$ là trọng tâm nên $KO = \frac{1}{3}DO$.

Mà $O$ là trung điểm của $BD$ nên $BO = DO$.

Do đó, ta có: $IO + KO = \frac{1}{3}BO + \frac{1}{3}DO = \frac{2}{3}BO$ hay $IK = \frac{2}{3}BO$.

Do đó, $BI = IK = KD = \frac{2}{3}BO = \frac{2}{3}DO.$

Hướng dẫn giải

Ta có: $a\left( {y + z} \right) = b\left( {z + x} \right) = c\left( {x + y} \right)$ (1)

Vì $a,b,c \ne 0$ nên chia các vế của (1) cho $abc$ ta được: $\frac{{a\left( {y + z} \right)}}{{abc}} = \frac{{b\left( {z + x} \right)}}{{abc}} = \frac{{c\left( {x + y} \right)}}{{abc}}$.

Suy ra $\frac{{y + z}}{{bc}} = \frac{{z + x}}{{ac}} = \frac{{x + y}}{{ab}}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{{z + x}}{{ac}} = \frac{{x + y}}{{ab}} = \frac{{\left( {x + y} \right) - \left( {z + x} \right)}}{{ab - ac}} = \frac{{y - z}}{{a\left( {b - c} \right)}}$;

$\frac{{y + z}}{{bc}} = \frac{{z + x}}{{ac}} = \frac{{\left( {x + z} \right) - \left( {y + z} \right)}}{{ac - bc}} = \frac{{x - y}}{{c\left( {a - b} \right)}}$;

$\frac{{y + z}}{{bc}} = \frac{{x + y}}{{ab}} = \frac{{\left( {x + z} \right) - \left( {y + z} \right)}}{{ac - bc}} = \frac{{x - y}}{{c\left( {a - b} \right)}}$.

Do đó $\frac{{y - z}}{{a\left( {b - c} \right)}} = \frac{{z - x}}{{b\left( {c - a} \right)}} = \frac{{x - y}}{{c\left( {a - b} \right)}}$ (đpcm).