Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 7 Kết nối tri thức (Tự luận) có đáp án - Đề 3

Hướng dẫn giải

a) $\frac{{16}}{x} = \frac{x}{{25}}$ nên ${x^2} = 16.25$ hay ${x^2} = 400$.

Do đó, ${x^2} = {20^2}$ hoặc ${x^2} = {\left( { - 20} \right)^2}$.

Suy ra, $x = 20$ hoặc $x = - 20$.

Vậy giá trị cần tìm là $\left\{ {20; - 20} \right\}$.

b) $\frac{x}{5} = \frac{y}{7}$ và $x + y = 36;$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{5} = \frac{y}{7} = \frac{{x + y}}{{5 + 7}} = \frac{{36}}{{12}} = 3$.

Suy ra $x = 5.3 = 15$ và $y = 7.3 = 21$.

Vậy $x = 15$ và $y = 21$.

c) $x:y:z = 3:4:5$ và $x + y - z = 144$

Ta có $x:y:z = 3:4:5$ hay $\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5} = \frac{{x + y - z}}{{3 + 4 - 5}} = \frac{{144}}{2} = 72$.

Do đó, $x = 3.72 = 216;{\rm{ }}y = 4.72 = 288;{\rm{ }}z = 5.72 = 360$.

Vậy $x = 216,y = 288,z = 360.$

Hướng dẫn giải

2.1. Đổi 30 phút = $5$ giờ.

Giả sử Lan đi với vận tốc $10{\rm{ km/h}}$ thì hết $t$ giờ.

Ta có vận tốc và thời gian Lan đi từ nhà đến trường là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có $12.0{,}5 = 10t.$

Suy ra $t = \frac{{12.0{,}5}}{{10}} = 0{,}6$ giờ.

Ta có $0{,}6$ giờ = $36$ phút.

Vậy nếu Lan đi với vận tốc $10{\rm{ km/h}}$ thì hết 36 phút.

2.2. Gọi $x,y,z$ (đồng) theo thứ tự là số tiền điện phải trả của mỗi hộ $\left( {x,y,z > 0} \right)$.

Theo đề bài, số điện năng tiêu thụ của ba hộ sử dụng tỉ lệ với $5;7;8$ nên ta có: $\frac{x}{5} = \frac{y}{7} = \frac{z}{8}$.

Tổng số tiền điện phải trả của ba hộ sử dụng điện trong một tháng là $820$ nghìn đồng nên $x + y + z = 820$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: $\frac{x}{5} = \frac{y}{7} = \frac{z}{8} = \frac{{x + y + z}}{{5 + 7 + 8}} = \frac{{820}}{{20}} = 41$.

Suy ra $x = 5.41 = 205;{\rm{ }}y = 7.41 = 287;{\rm{ }}z = 8.41 = 328$ (thỏa mãn)

Vậy số điện ba hộ phải trả là 205 nghìn đồng, 287 nghìn đồng, 328 nghìn đồng.

Hướng dẫn giải

3.1.

a) Ta có: $A\left( x \right) = 3{x^2} - 4{x^4} - 5x + 9 + 6{x^4} + 2{x^3} - 5$

$A\left( x \right) = \left( { - 4{x^4} + 6{x^4}} \right) + 2{x^3} + 3{x^2} - 5x + 9 - 5$

$A\left( x \right) = 2{x^4} + 2{x^3} + 3{x^2} - 5x + 4$.

b) Đa thức $A\left( x \right)$ có hệ số cao nhất là $2$, hệ số tự do là $5$ và bậc là $4$.

c) Ta có: $A\left( { - 1} \right) = 2.{\left( { - 1} \right)^4} + 2.{\left( { - 1} \right)^3} + 3.{\left( { - 1} \right)^2} - 5.\left( { - 1} \right) + 4 = 12$.

$A\left( 0 \right) = {2.0^4} + {2.0^3} + {3.0^2} - 5.0 + 4 = 4$.

$A\left( 2 \right) = {2.2^4} + {2.2^3} + {3.2^2} - 5.2 + 4 = 54$.

d) Ta có: $B\left( x \right) - 3{x^2} + 2{x^4} - {x^3} = A\left( x \right)$

Suy ra $B\left( x \right) = A\left( x \right) + 3{x^2} - 2{x^4} + {x^3}$ hay $B\left( x \right) = 2{x^4} + 2{x^3} + 3{x^2} - 5x + 4 + 3{x^2} - 2{x^4} + {x^3}$

Suy ra $B\left( x \right) = \left( {2{x^4} - 2{x^4}} \right) + \left( {2{x^3} + {x^3}} \right) + \left( {3{x^2} + 3{x^2}} \right) - 5x + 4$

$B\left( x \right) = 3{x^3} + 6{x^2} - 5x + 4$.

3.2. Ta có: $13 = 12 + 1 = x + 1$.

Do đó, ta có: $R\left( x \right) = {x^{10}} - \left( {x + 1} \right){x^9} + \left( {x + 1} \right){x^8} - \left( {x + 1} \right){x^7} + ... + \left( {x + 1} \right){x^2} - \left( {x + 1} \right)x + 10$

Suy ra $R\left( x \right) = {x^{10}} - {x^{10}} - {x^9} + {x^9} + {x^8} - {x^8} - {x^7} + ... + {x^3} + {x^2} - {x^2} - x + 10$

$R\left( x \right) = - x + 10 = - 12 + 10 = - 2$.

Hướng dẫn giải

4.1.

Xét

$\Delta ABD$ và $\Delta AED$, có:

$\widehat B = \widehat E = 90^\circ$(gt)

$AD$: chung (gt)

$\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}$ (vì $AD$ là tia phân giác của $\widehat {BAC}$)

Do đó, $\Delta ABD = \Delta AED$ (g.c.g)

Suy ra $BD = ED$ (hai cạnh tương ứng)

Mà $BD = 2{\rm{ cm}}$ nên $ED = 2{\rm{ cm}}{\rm{.}}$

Vậy khoảng cách từ $D$ đến đường thẳng $AC$ là $2{\rm{ cm}}{\rm{.}}$

4.2.

Vì tam giác cân nên sẽ có các trường hợp về độ dài ba cạnh như sau.

TH1. $4{\rm{ cm, 4 cm, 8 cm}}$. Xét thấy $4{\rm{ cm + 4 cm = 8 cm}}$ nên không thể xảy ra trường hợp này.

TH2. $4{\rm{ cm, 8 cm, 8 cm}}$. Nhận thấy $4{\rm{ cm }} + {\rm{ 8 cm}} > {\rm{8 cm}}$ nên thỏa mãn điều kiện về ba cạnh của tam giác.

Do đó, chu vi của tam giác là $4 + 8 + 8 = 20{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Hướng dẫn giải

a) Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AE$.

Ta có: $BP = PQ = QE$ và $BD = DE$.

Mà $BD = BP + PD;DE = QE + DQ$.

Suy ra $PD = DQ$.

Hay $D$ là trung điểm của $PQ$.

Ta có: $PD = \frac{1}{2}PQ$ hay $PD = \frac{1}{2}BP$. Suy ra $PD = \frac{1}{3}BD$

Lại có $BD$ là trung tuyến của $\Delta ABC$.

Suy ra $P$là trọng tâm của $\Delta ABC$.

Do đó, $CP$ cắt $AB$ tại trung điểm $M.$

Tương tự ta có: $QD = \frac{1}{2}PQ = \frac{1}{2}QE$ hay $QD = \frac{1}{3}ED$.

Do đó, $Q$ là trọng tâm của tam giác $AEC$.

Suy ra $CQ$ cắt $AE$ tại trung điểm $N$.

b) Xét $\Delta ADP$ và $\Delta CDQ$ có:

$AD = DC$ (gt)

$\widehat {ADP} = \widehat {CDQ}$ (đối đỉnh)

$PD = DQ$ (cmt)

Suy ra $\Delta ADP = \Delta CDQ$ (c.g.c)

Suy ra $\widehat {DAP} = \widehat {DCQ}$ (hai góc tương ứng).

Mà hai góc ở vị trí so le trong nên $CQ\parallel AP.$

Xét $\Delta ADQ$ và $\Delta CDP$ có:

$AD = DC$ (gt)

$\widehat {ADQ} = \widehat {CDP}$ (đối đỉnh)

$PD = DQ$ (cmt)

Suy ra $\Delta ADQ = \Delta CDP$ (c.g.c)

Suy ra $\widehat {DAQ} = \widehat {DCP}$ (hai góc tương ứng).

Mà hai góc ở vị trí so le trong nên $CP\parallel AQ$.

Hướng dẫn giải

Trường hợp 1. $a,b,c \ne 0$ và $a + b + c = 0$ hay $a + b = - c;{\rm{ }}a + c = - b;{\rm{ }}b + c = - a$.

Thay vào biểu thức $S = \frac{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}{{abc}}$, ta được: $S = \frac{{ - a.\left( { - b} \right).\left( { - c} \right)}}{{abc}} = \frac{{ - abc}}{{abc}} = - 1.$

Trường hợp 2. $a,b,c \ne 0$ và $a + b + c \ne 0$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{{a + b - c}}{c} = \frac{{c + a - b}}{b} = \frac{{b + c - a}}{a} = \frac{{a + b - c + c + a - b + b + c - a}}{{c + b + a}}$$= \frac{{a + b + c}}{{a + b + c}} = 1$.

Suy ra $a + b - c = a;{\rm{ }}a + c - b = b;{\rm{ }}b + c - a = a$.

Do đó, $a + b = 2c;{\rm{ }}c + a = 2b;{\rm{ }}b + c = 2a$.

Thay $a + b = 2c;{\rm{ }}c + a = 2b;{\rm{ }}b + c = 2a$ vào biểu thức $S$, ta được:

$S = \frac{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}{{abc}} = \frac{{2a.2b.2c}}{{abc}} = 8$.

Vậy $S = - 1$ khi $\frac{{a + b - c}}{c} = \frac{{c + a - b}}{b} = \frac{{b + c - a}}{a}$, $a,b,c \ne 0$ và $a + b + c = 0$.

Và $S = 8$ khi $\frac{{a + b - c}}{c} = \frac{{c + a - b}}{b} = \frac{{b + c - a}}{a}$, $a,b,c \ne 0$ và $a + b + c \ne 0$.