Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 7 Kết nối tri thức (Tự luận) có đáp án - Đề 2

Hướng dẫn giải

a) $\frac{x}{3} = \frac{{2{,}5}}{{1{,}5}}$ suy ra $1{,}5x = 2{,}5.3$, do đó $x = \frac{{2{,}5.3}}{{1{,}5}} = 5$.

Vậy $x = 5$.

b) $\frac{x}{{15}} = \frac{y}{7}$ và $y - x = 16$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{{15}} = \frac{y}{7} = \frac{{y - x}}{{7 - 15}} = \frac{{16}}{{ - 8}} = - 2$.

Suy ra $x = 15.\left( { - 2} \right) = - 30$ và $y = 7.\left( { - 2} \right) = - 14$.

Vậy $x = - 30$ và $y = - 14$.

c) $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5}$ và $x - 2y + 3z = 38.$

Ta có $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5}$ hay $\frac{x}{2} = \frac{{2y}}{6} = \frac{{3z}}{{15}}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{2} = \frac{{2y}}{6} = \frac{{3z}}{{15}} = \frac{{x - 2y + 3z}}{{2 + 6 + 15}} = \frac{{38}}{{23}}$.

Suy ra $x = \frac{{76}}{{23}};y = \frac{{119}}{{23}};z = \frac{{190}}{{23}}$.

Hướng dẫn giải

2.1. Gọi thời gian để hoàn thành công việc của $40$ công nhân là $t$ giờ $\left( {t > 0} \right)$.

Vì khối lượng công việc là không dổi nên số công nhân và thời gian để hoàn thành công việc đó là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có: $30.8 = 40t$ suy ra $t = \frac{{30.8}}{{40}} = 6$.

Vậy thời gian để hoàn thành công việc của 40 công nhân là 6 giờ.

2.2. Gọi số viên kẹo tương ứng của An, Bình, Cầm lần lượt là $a;b;c$ (viên kẹo) $\left( {a;b;c \in \mathbb{N}} \right)$.

Vì số kẹo của An, Bình, Cầm tương ứng tỉ lệ với $2;3;4$ nên ta có: $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4}.$

Mặt khác, Cầm nhiều hơn An $8$ viên kẹo nên ta có $c - a = 8$ (viên)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} = \frac{{c - a}}{{4 - 2}} = \frac{8}{2} = 4$.

Do đó, $\frac{a}{2} = 4$, suy ra $a = 2.4 = 8$.

$\frac{b}{3} = 4$, suy ra $b = 3.4 = 12$.

$\frac{c}{4} = 4$, suy ra $c = 4.4 = 16$.

Vậy số kẹo của An, Bình, Cầm lần lượt là $8;12$ và $16$ viên.

Hướng dẫn giải

3.1. a) Ta có: $P\left( x \right) = 7{x^3} + 3{x^4} - {x^2} - 4{x^4} + 5{x^2} - 6{x^3} - 2{x^4} + 2017 - {x^3}$

$P\left( x \right) = \left( {3{x^4} - 4{x^4} - 2{x^4}} \right) + \left( {7{x^3} - {x^3} - 6{x^3}} \right) + \left( { - {x^2} + 5{x^2}} \right) + 2017$

$P\left( x \right) = - 3{x^4} + 4{x^2} + 2017$.

b) Hệ số cao nhất của đa thức là $- 3$, hệ số tự do là $2017$ và bậc của đa thức là $4.$

c) Ta có: $P\left( { - 1} \right) = - 3.{\left( { - 1} \right)^4} + 4.{\left( { - 1} \right)^2} + 2017 = - 3 + 4 + 2017 = 2018$.

$P\left( 1 \right) = - {3.1^4} + {4.1^2} + 2017 = - 3 + 4 + 2017 = 2018$;

$P\left( 0 \right) = - {3.0^4} + {4.0^2} + 2017 = 2017$.

d) Ta có: $Q\left( x \right) - 3{x^4} + 2{x^2} + 17 = P\left( x \right)$ nên $Q\left( x \right) = P\left( x \right) + 3{x^4} - 2{x^2} - 17$

Suy ra $Q\left( x \right) = - 3{x^4} + 4{x^2} + 2017 + 3{x^4} - 2{x^2} - 17$

Do đó, $Q\left( x \right) = 2{x^2} + 2000$.

3.2. Ta có: $Q\left( x \right) = {x^{14}} - 10{x^{13}} + 10{x^{12}} - 10{x^{11}} + ... + 10{x^2} - 10x + 10$

Nhận thấy $10 = 9 + 1 = x + 1.$

Do đó, $Q\left( x \right) = {x^{14}} - \left( {x + 1} \right){x^{13}} + \left( {x + 1} \right){x^{12}} - \left( {x + 1} \right){x^{11}} + ... + \left( {x + 1} \right){x^2} - \left( {x + 1} \right)x + \left( {x + 1} \right)$

$Q\left( x \right) = {x^{14}} - {x^{14}} - {x^{13}} + {x^{13}} + {x^{12}} - {x^{12}} - {x^{11}} + ... + {x^3} + {x^2} - {x^2} - x + x + 1$

$Q\left( x \right) = 1$.

Vậy $Q\left( x \right) = 1$.

Hướng dẫn giải

4.1. Ta có $E$ là hình chiếu của $B$ lên cạnh $CD$, suy ra $BE \bot CD$ tại $E$ hay $CE \bot BE$ tại $E$.

Do đó, độ dài $CE$ là khoảng cách từ $C$ đến đường thẳng $BE$ (1).

Hình vuông $ABED$ có diện tích là $7.7 = 49{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Diện tích hình thang $ABCD$ là $49.2 = 98{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Ta có công thức tính diện tích hình thang $ABCD$ là $S = \frac{{\left( {AB + CD} \right).BE}}{2}$.

Mà $AB = BE = 7{\rm{ cm; }}S = 98{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}$.

Suy ra, độ dài đáy lớn của hình thang $ABCD$ là $CD = \frac{{98.2}}{7} = 21{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Do $E \in CD$ nên $CD = CE + DE$.

Suy ra $CE = CD - DE = 21 - 7 = 14{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra khoảng cách từ $C$ đến đường thẳng $BE$ là $14{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

4.2. Giả sử tam giác $ABC$ có $AB = 6{\rm{ cm, }}AC = 2{\rm{ cm}}{\rm{.}}$

Theo bất đẳng thức tam giác, ta có $AB - AC < BC < AB + AC$. Suy ra $4 < BC < 8$.

Mà $BC$ có độ dài là một số chẵn.

Do đó, $BC = 6{\rm{ cm}}$.

Hướng dẫn giải

Vì $AD$ cắt $BF$ tại $N$ nên $FN = BN = \frac{1}{2}BF$ (1).

Chứng minh tương tự, ta được: $AM = MC = \frac{1}{2}AC$ (2)

Vì $OA$ là đường tủng tuyến của tam giác $ABC$ nên $O$ là trung điểm của $BC$ hay $OB = OC$.

Xét $\Delta OFB$ và $\Delta OAC$ có:

$OF = OA$ (gt)

$\widehat {FOB} = \widehat {AOC}$ (hai góc đối đỉnh)

$OB = OC$ (cmt)

Do đó, $\Delta OFB = \Delta OAC$ (c.g.c)

Suy ra $\widehat {OFB} = \widehat {OAC}$ (hai góc tương ứng) và $BF = AC$ (hai cạnh tương ứng) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $AM = FN$.

Xét $\Delta AOM$ và $\Delta FON$ có:

$AM = FN$ (cmt)

$\widehat {OFN} = \widehat {OAM}$ (cmt)

$OF = OA$ (gt)

Do đó, $\Delta AOM = \Delta FON$ (c.g.c)

Suy ra $\widehat {AOM} = \widehat {FON}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat {AOM} + \widehat {FOM} = 180^\circ$ (hai góc kề bù)

Suy ra $\widehat {FON} + \widehat {FOM} = 180^\circ$.

Do đó, $M,O,N$ thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

Từ tỉ lệ thức $\frac{a}{c} = \frac{c}{b}$ suy ra ${c^2} = ab$ (1)

Đặt $\frac{a}{c} = \frac{c}{b} = k$ suy ra $a = ck;c = bk$. Do đó, $\frac{{{a^2} + {c^2}}}{{{b^2} + {c^2}}} = \frac{{{{\left( {ck} \right)}^2} + {c^2}}}{{{b^2} + {{\left( {bk} \right)}^2}}} = \frac{{{c^2}\left( {{k^2} + 1} \right)}}{{{b^2}\left( {{k^2} + 1} \right)}} = \frac{{{c^2}}}{{{b^2}}}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\frac{{{a^2} + {c^2}}}{{{b^2} + {c^2}}} = \frac{{{c^2}}}{{{b^2}}} = \frac{{ab}}{{{b^2}}} = \frac{a}{b}.$

Suy ra $\frac{{{b^2} + {c^2}}}{{{a^2} + {c^2}}} = \frac{b}{a}$, suy ra $\frac{{{b^2} + {c^2}}}{{{a^2} + {c^2}}} - 1 = \frac{b}{a} - 1$ hay $\frac{{{b^2} + {c^2} - {c^2} - {a^2}}}{{{a^2} + {c^2}}} = \frac{{b - a}}{a}$.

Do đó, $\frac{{{b^2} - {a^2}}}{{{a^2} + {c^2}}} = \frac{{b - a}}{a}$ (đpcm).