Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 4

Đáp án đúng là: B

Dựa vào bảng xét dấu ta có $f\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)$.

Đáp án đúng là: B

${x^2} - 2023x + 2022 \ge 0$ là bất phương trình bậc hai một ẩn.

Đáp án đúng là: C

Thay lần lượt các giá trị của $x$ vào phương trình ta thấy $x = \frac{3}{5}$ không là nghiệm của phương trình.

Đáp án đúng là: B

Tọa độ $\overrightarrow u = \left( {\frac{1}{2}; - 5} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( { - 2;1} \right)$.

Suy ra đường thẳng $d$ nhận vectơ $\overrightarrow {{n_3}} = \left( {3;6} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng $\Delta$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {2;3} \right)$.

Ta thấy đường thẳng ở đáp án B có cùng vectơ pháp tuyến với đường thẳng $\Delta$.

Mặt khác đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M\left( { - 1;1} \right)$ mà điểm $M\left( { - 1;1} \right)$ không thuộc đường thẳng $2x + 3y + 1 = 0$.

Do đó đường thẳng $\Delta :2x + 3y - 1 = 0$ song song với đường thẳng $2x + 3y + 1 = 0$.

Đáp án đúng là: C

Đường tròn $\left( C \right)$ có $I\left( { - 1;3} \right),R = 2\sqrt 2$.

Đáp án đúng là: A

Phương trình $\frac{{{x^2}}}{3} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1$ là phương trình chính tắc của đường hypebol.

Đáp án đúng là: C

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( {1;3} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Bình phương hai vế của phương trình ta được $x - 1 = {\left( {x - 3} \right)^2}$$\Leftrightarrow x - 1 = {x^2} - 6x + 9$$\Leftrightarrow {x^2} - 7x + 10 = 0$$\Leftrightarrow x = 2$ hoặc $x = 5$.

Thay lần lượt các giá trị của $x$ vào phương trình ta thấy $x = 5$ là nghiệm của phương trình.

Vậy phương trình có 1 nghiệm nguyên dương.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {4; - m} \right)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ${\Delta _1};{\Delta _2}$.

Để ${\Delta _1} \bot {\Delta _2}$ thì $\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0$$\Leftrightarrow 2.4 + \left( { - 1} \right).\left( { - m} \right) = 0 \Leftrightarrow m = - 8$.

Đáp án đúng là: A

Có $R = IM = \sqrt {{{\left( {2 + 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - 2} \right)}^2}} = \sqrt {10}$.

Phương trình đường tròn cần lập có dạng: ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 10$$\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 2x - 4y - 5 = 0$.

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) $f\left( x \right)$ là tam thức bậc hai khi $m - 2 \ne 0$$\Leftrightarrow m \ne 2$.

b) Với $m = 3$ thì $f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 3 > 0$ $\Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$.

c) $f\left( x \right) < 0,\forall x \in \mathbb{R}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 2 < 0\\\Delta < 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 2\\\Delta < 0\end{array} \right.$.

d) Với $m = 2$ thì $f\left( x \right) = - 2x + 3 > 0 \Leftrightarrow x < \frac{3}{2}$.

a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ lần lượt là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {4; - 5} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( { - 5; - 4} \right)$.

b) Có $\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 4.\left( { - 5} \right) + \left( { - 5} \right).\left( { - 4} \right) = 0$. Do đó ${\Delta _1} \bot {\Delta _2}$.

c) Ta có $\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {4.\left( { - 5} \right) + \left( { - 5} \right).\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 0 \Rightarrow \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = 90^\circ$.

d) Ta có $M\left( { - 2;0} \right)$.

Khi đó $d\left( {M,{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {10.\left( { - 2} \right) + 8.0 - 4} \right|}}{{\sqrt {{{10}^2} + {8^2}} }} = \frac{{24}}{{2\sqrt {41} }} = \frac{{12}}{{\sqrt {41} }}$.

Suy ra $a = 12;b = 41$. Suy ra $\sqrt {12 + 41} = \sqrt {53} > 7$.

Trả lời: 5

Bình phương hai vế của phương trình ta được $2{x^2} + 7x + 1 = 3{x^2} + 4x - 9$$\Leftrightarrow {x^2} - 3x - 10 = 0$$\Leftrightarrow x = 5$ hoặc $x = - 2$.

Thay lần lượt các giá trị của $x$ vào phương trình ta thấy $x = 5$ là nghiệm của phương trình.

Do đó tổng các nghiệm của phương trình là 5.

Trả lời: 3

Vì hypebol $\left( H \right)$ đi qua điểm $M\left( {8; - 3} \right)$ nên $\frac{{64}}{{32}} - \frac{9}{{{b^2}}} = 1$$\Leftrightarrow {b^2} = 9$$\Leftrightarrow b = 3$ (do $b > 0$).

Trả lời: 58

Gọi $x$ là số lượng khách tính từ người thứ 51 trở lên của nhóm (điều kiện $x \in \mathbb{N}*$).

Khi đó số lượng khách tham quan là $50 + x$.

Thêm $x$ người thì giá vé sẽ giảm $5000x$ (đồng).

Khi đó giá vé một người phải trả là $300000 - 5000x$.

Tổng chi phí của đoàn khách tham quan là $\left( {50 + x} \right)\left( {300000 - 5000x} \right)$ đồng.

Để công ty không bị lỗ thì $\left( {50 + x} \right)\left( {300000 - 5000x} \right) \ge 15080000$

$\Leftrightarrow - 5000{x^2} + 50000x - 80000 \ge 0$$\Leftrightarrow 2 \le x \le 8$.

Do đó số người của nhóm khách nhiều nhất là 58 người thì công ty sẽ không bị lỗ.

Trả lời: 57

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {0;0} \right),R = 10$.

Phương trình tiếp tuyến tại $M$ nhận $\overrightarrow {IM} = \left( {8;6} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:

$8\left( {x - 8} \right) + 6\left( {y - 6} \right) = 0$$\Leftrightarrow 8x + 6y - 100 = 0$$\Leftrightarrow 4x + 3y - 50 = 0$.

Suy ra $a = 4;b = 3;c = 50$. Suy ra $a + b + c = 57$.

Có $\sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt {2x - 30}$$\Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + x - 42} = \sqrt {2x - 30}$.

Thay $x = 4$ vào phương trình ta được $\sqrt {{4^2} + 4 - 42} = \sqrt {2.4 - 30}$$\Leftrightarrow \sqrt { - 22} = \sqrt { - 22}$ (vô lí).

Vậy $x = 4$ không là nghiệm của phương trình $\sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt {2x - 30}$.

Ta có $\overrightarrow {BC} = \left( {15; - 60} \right)$.

Khoảng cách giữa hai tàu sau 2 giờ là $BC = \sqrt {{{15}^2} + {{\left( { - 60} \right)}^2}} \approx 61{,}85$ (km).

+ Ta có: $\Delta \cap {d_1} = A \Rightarrow A \in {d_1} \Rightarrow A\left( { - 1 - 2a;a} \right)$.

$\Delta \cap {d_2} = B \Rightarrow B \in {d_2} \Rightarrow B\left( {b; - 2 - 2b} \right)$.

+ Suy ra$\overrightarrow {MA} = ( - 2a;a - 2);\overrightarrow {MB} = (b + 1; - 2b - 4)$.

+ đường thẳng $\Delta$qua $M( - 1;2)$và cắt ${d_1},{d_2}$ lần lượt tại $A,B$ nên$M,A,B$ thẳng hàng.

Lại có $MA = 2MB$suy ra$\left[ \begin{array}{l}\overrightarrow {MA} = 2\overrightarrow {MB} \\\overrightarrow {MA} = - 2\overrightarrow {MB} \end{array} \right.$.

+ $\overrightarrow {MA} = 2\overrightarrow {MB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a = 2(b + 1)\\a - 2 = 2( - 2b - 4)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{2}{3}\\b = - \frac{5}{3}\end{array} \right.$ .

Suy ra $A\left( { - \frac{7}{3};\frac{2}{3}} \right);B\left( { - \frac{5}{3};\frac{4}{3}} \right)$. Suy ra phương trình đường thẳng $\Delta :x - y + 3 = 0$ .

+ $\overrightarrow {MA} = - 2\overrightarrow {MB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a = - 2(b + 1)\\a - 2 = - 2( - 2b - 4)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = - 3\end{array} \right.$ .

Suy ra $A\left( {3; - 2} \right);B\left( { - 3;4} \right)$. Suy ra phương trình đường thẳng $\Delta :x + y - 1 = 0$ .