Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 2

Đáp án đúng là: A

$f\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta < 0\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: B

Thay lần lượt các giá trị của $x$ vào bất phương trình ta thấy $x = 1$ là nghiệm của bất phương trình.

Đáp án đúng là: B

Thay lần lượt các giá trị của $x$ vào phương trình ta thấy $x = 1$ là nghiệm của phương trình.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow a = 3\overrightarrow i - 4\overrightarrow j$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3; - 2} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {6; - 2} \right)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của ${d_1},{d_2}$.

Vì $\overrightarrow {{n_1}}$ và $\overrightarrow {{n_2}}$ không cùng phương nên ${d_1}$ và ${d_2}$ cắt nhau.

Lại có $\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} \ne 0$ nên ${d_1}$ và ${d_2}$ không vuông góc với nhau.

Đáp án đúng là: B

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {1; - 1} \right)$ và bán kính $R = 3$.

Đáp án đúng là: B

Có $2p = 8 \Rightarrow p = 4$. Suy ra parabol có tiêu điểm là $F\left( {2;0} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $f\left( x \right) < 0$$\Leftrightarrow {x^2} - 3x - 4 < 0 \Leftrightarrow - 1 < x < 4$.

Đáp án đúng là: A

Bình phương hai vế của phương trình ta được

$x - 1 = {x^2} - 6x + 9$$\Leftrightarrow {x^2} - 7x + 10 = 0$$\Leftrightarrow x = 5$ hoặc $x = 2$.

Thay lần lượt hai giá trị của $x$ vào phương trình ta được $x = 5$ là nghiệm của phương trình.

Suy ra phương trình có 1 nghiệm nguyên dương.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\overrightarrow {MN} = \left( { - 3 - 2;4 + 2} \right) = \left( { - 5;6} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $R = d\left( {I,Ox} \right) = 2$.

Ta có phương trình đường tròn $\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4$.

Đáp án đúng là: B

Giả sử $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.

Vì $\left( E \right)$ đi qua 2 điểm ${A_1}\left( { - 3;0} \right),{B_1}\left( {0; - 2} \right)$ nên ta có $\left\{ \begin{array}{l}\frac{9}{{{a^2}}} = 1\\\frac{4}{{{b^2}}} = 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 9\\{b^2} = 4\end{array} \right.$.

Do đó $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1$.

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Dựa vào đồ thị ta có $f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 2\end{array} \right.$.

b) Dựa vào đồ thị ta có $f\left( 3 \right) > 0$.

c) Dựa vào đồ thị ta có $f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$ và $f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow - 2 < x < 2$.

Do đó

.

d) Có $f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$.

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Vì $AH \bot CB$ nên $\overrightarrow {CB}$ là một vectơ pháp tuyến của đường cao $AH$.

b) Đường cao $AH$ đi qua $A\left( {0;3} \right)$ và nhận $\overrightarrow {CB} = \left( { - 4; - 5} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là $- 4x - 5\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x + 5y - 15 = 0$.

c) Đường thẳng $BC$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {BC} = \left( {4;5} \right)$ nên nhận $\overrightarrow n = \left( {5; - 4} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là $5\left( {x - 1} \right) - 4\left( {y + 2} \right) = 0$ hay $5x - 4y - 13 = 0$.

d) Ta có $AH = d\left( {A,BC} \right) = \frac{{\left| {5.0 - 4.3 - 13} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {4^2}} }} = \frac{{25}}{{\sqrt {41} }}$.

Trả lời: 1

Ta có ${x^2} + {y^2} - 4x + 2y - 5 = 0$$\Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 10$.

Suy ra $I\left( {2; - 1} \right)$. Do đó $a + b = 1$.

Trả lời: −3

Bình phương hai vế của phương trình ta được

${x^2} + 2x + 4 = 2 - x$$\Leftrightarrow {x^2} + 3x + 2 = 0$$\Leftrightarrow x = - 1$ hoặc $x = - 2$.

Thay lần lượt hai giá trị $x$ vào phương trình trên ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.

Do đó tổng các nghiệm của phương trình là $- 3$.

Trả lời: 140

Bán hết $x$ sản phẩm thì số tiền nhà sản xuất thu được là $170x$ nghìn đồng.

Để nhà sản xuất không bị lỗ thì

$170x \ge {x^2} + 30x + 3300$$\Leftrightarrow {x^2} - 140x + 3300 \le 0$$\Leftrightarrow 30 \le x \le 110$.

Suy ra $a = 30;b = 110$. Do đó $S = 140$.

Trả lời: 60

Ta có $\left( P \right):{y^2} = 2px$.

Vì tiêu điểm cách đỉnh $5\;{\rm{cm}}$ nên $\frac{p}{2} = 5 \Rightarrow p = 10$. Do đó $\left( P \right):{y^2} = 20x$.

Vì $A\left( {45;{y_A}} \right) \in \left( P \right)$ nên $y_A^2 = 20.45 \Leftrightarrow y_A^2 = 900 \Rightarrow {y_A} = 30$.

Do đó $AB = 2.30 = 60$.

a) $\overrightarrow b = 7\overrightarrow j = \left( {0;7} \right)$.

b) $\overrightarrow d = 0{,}5\overrightarrow i - \sqrt {11} \overrightarrow j = \left( {0{,}5; - \sqrt {11} } \right)$.

Gọi chều dài đoạn dây điện kéo từ A đến B là $AB = x$ (km) ($0 < x < 5$)

Khi đó chiều dài dây điện kéo từ B đến C là $BC = \sqrt {1 + {{\left( {5 - x} \right)}^2}} = \sqrt {{x^2} - 10x + 26}$ (km)

Tổng số tiền công là $3\sqrt {{x^2} - 10x + 26} + 2x = 13$ (triệu đồng).

Theo đề ta có: $3\sqrt {{x^2} - 10x + 26} + 2x = 13$$\Leftrightarrow 3\sqrt {{x^2} - 10x + 26} = 13 - 2x$.

Bình phương hai về của phương trình ta được:

$9\left( {{x^2} - 10x + 26} \right) = 169 - 52x + 4{x^2}$$\Leftrightarrow 5{x^2} - 38x + 65 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = \frac{{13}}{5}\end{array} \right.$.

Thay các giá trị của $x$ vào phương trình ban đầu và kết hợp với điều kiện ta thấy $x = \frac{{13}}{5}$ là nghiệm.

Khi đó $AB = x = \frac{{13}}{5} \Rightarrow BC = \frac{{13}}{5}$.

Vậy tổng chiều dài dây điện đã kéo từ A đến C là $AB + BC = \frac{{26}}{5} = 5{,}2$ (km).

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 2} \right)$. Suy ra $AB = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = \sqrt {13}$.

Vì ${S_{ABCD}} = DH.AB \Rightarrow DH = \frac{2}{{\sqrt {13} }}$.

Giả sử $I\left( {a; - a} \right)$.

Mà $I$ là trung điểm của $BD$ nên $D\left( {2a - 3; - 2a} \right)$.

Đường thẳng $AB$ đi qua $A\left( {0;2} \right)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 2} \right)$ nên nhận $\overrightarrow n = \left( {2;3} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là $2x + 3\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y - 6 = 0$.

Lại có $DH = d\left( {D,AB} \right) = \frac{{\left| {2.\left( {2a - 3} \right) + 3.\left( { - 2a} \right) - 6} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2}} }} = \frac{{\left| { - 2a - 12} \right|}}{{\sqrt {13} }} = \frac{2}{{\sqrt {13} }}$.

Từ đó ta có $\left[ \begin{array}{l}a + 6 = 1\\a + 6 = - 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - 5\\a = - 7\end{array} \right.$$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}D\left( { - 13;10} \right)\\D\left( { - 17;14} \right)\end{array} \right.$.

Vì ${x_D} > - 14$ nên $D\left( { - 13;10} \right)$.