Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức (Tự luận) có đáp án - Đề 4

a) $\left( {1 - 2x} \right)\left( {x + 5} \right) = 0$

$1 - 2x = 0$ hoặc $x + 5 = 0$

$2x = 1$ hoặc $x = - 5$

$x = \frac{1}{2}$ hoặc $x = - 5$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x = \frac{1}{2};\,\,x = - 5.$

b) Điều kiện xác định: $x \ne 2$ và $x \ne - 2.$

$\frac{{x - 1}}{{x + 2}} - \frac{x}{{x - 2}} = \frac{{4 - 6x}}{{{x^2} - 4}}$

$$\frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{4 - 6x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}$$

$$\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) - x\left( {x + 2} \right) = 4 - 6x$$

$${x^2} - 3x + 2 - {x^2} + 2x = 4 - 6x$$

$$- 5x + 2 = 4 - 6x$$

$$6x - 5x = 4 - 2$$

$x = 2$ (không thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

a) $3 \cdot 5 \le \frac{{2x + 3}}{5} \cdot 5$

$15 \le 2x + 3$

$- 2x \le 3 - 15$

$- 2x \le - 12$

$x \ge 6$.

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x \ge 6.$

b) ${\left( {x - 4} \right)^2} - \left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right) \ge - 8x + 41$

$${x^2} - 8x + 16 - {x^2} + 25 \ge - 8x + 41$$

$$- 8x + 8x \ge 41 - 16 - 25$$

$0x \ge 0$.

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x \in \mathbb{R}.$

a) Với $a = 0$ và $b \ne 0$ ta có hàm số $y = b.$

Đồ thị hàm số $y = b$ với $b \ne 0$ có đồ thị là đường thẳng song song với trục hoành và vuông góc với trục tung tại điểm $b$ nằm trên trục tung.

b) Để đồ thị hàm số $y = ax + b$ đi qua điểm $A\left( {3; - 6} \right)$ thì tọa độ điểm $A$ thỏa mãn hàm số đã cho.

Thay $x = 3,\,\,y = - 6$ vào hàm số $y = ax + b,$ ta được:

$- 6 = a \cdot 3 + b$ hay $3a + b = - 6$ (1)

Để đồ thị hàm số $y = ax + b$ đi qua điểm $B\left( { - 2;4} \right)$ thì tọa độ điểm $B$ thỏa mãn hàm số đã cho.

Thay $x = - 2,\,\,y = 4$ vào hàm số $y = ax + b,$ ta được:

$4 = a \cdot \left( { - 2} \right) + b$ hay $- 2a + b = 4$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}3a + b = - 6\\ - 2a + b = 4\end{array} \right.$

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ phương trình trên, ta được:

$5a = - 10$ suy ra $a = - 2$.

Thay $a = - 2$ vào phương trình $3a + b = - 6,$ ta được:

$3 \cdot \left( { - 2} \right) + b = - 6$ suy ra $b = 0.$

Vậy $a = - 2$ và $b = 0.$

Theo bài, hiệu giữa nucleotide loại T với loại nucleotide không bổ sung với nó là $300$ nucleotide nên ta có phương trình: $T - G = 300$. (1)

Theo nguyên tắc bổ sung: “$A$ liên kết với $T$ bằng 2 liên kết hydrogen và $G$ liên kết với $C$ bằng 3 liên kết hydrogen” và theo bài, gen B có $3\,\,600$ liên kết hydrogen nên ta có phương trình $2T + 3G = 3\,\,600$. (2)

Từ phương trình (1) và phương trình (2), ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}T - G = 300\\2T + 3G = 3\,\,600\end{array} \right.$

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3, ta được hệ $\left\{ \begin{array}{l}3T - 3G = 900\\2T + 3G = 3\,\,600\end{array} \right.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ ta được: $5T = 4\,500,$ suy ra $T = 900$.

Thay $T = 900$ vào phương trình $T - G = 300$, ta được: $900 - G = 300,$ suy ra $G = 600.$

Vậy số nucleotide từng loại gen B là: $G = C = 600$ và $A = T = 900$.

a) Số tiền cô Bình phải trả trong $1$ km đầu tiên là $11\,\,000$ đồng.

Số tiền cô Bình phải trả trong $\left( {x - 1} \right)$ km tiếp theo là: $13\,\,000\left( {x - 1} \right)$ (đồng).

Số tiền cô Bình phải trả để đi quãng đường $x$ (km) là: $11\,\,000 + 13\,\,000\left( {x - 1} \right)$ (đồng).

Theo bài, số tiền cô Bình có trong ví là $450\,\,000$ đồng nên ta có bất phương trình:

$11\,\,000 + 13\,\,000\left( {x - 1} \right) \le 450\,\,000$.

Vậy từ dữ kiện đề bài, ta viết được bất phương trình: $11\,\,000 + 13\,\,000\left( {x - 1} \right) \le 450\,\,000$.

b) Giải bất phương trình:

$11\,\,000 + 13\,\,000\left( {x - 1} \right) \le 450\,\,000$

$11\,\,000 + 13\,\,000x - 13\,\,000 \le 450\,\,000$

$13\,\,000x \le 452\,\,000$

$x \le \frac{{452}}{{13}}\,\,\left( { \approx 34{,}77} \right)$.

Vậy cô Bình có thể đi được tối đa $34$ km.

Xét $\Delta BCN$ vuông tại $N,$ ta có:

$BN = BC \cdot \sin \widehat {BCN} = 60 \cdot \sin 32^\circ \approx 31{,}80{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Ta thấy $NC$ và $BM$ là các đoạn thẳng nằm trên phương ngang nên $NC\,{\rm{//}}\,BM,$ suy ra $\widehat {CBM} = \widehat {BCN} = 32^\circ$ (so le trong).

Khi đó, $\widehat {ABM} = \widehat {ABC} - \widehat {CBM} = 53^\circ - 32^\circ = 21^\circ$.

Xét $\Delta ABM$ vuông tại $M$, ta có:

$AM = AB \cdot \sin \widehat {ABM} = 60 \cdot \sin 21^\circ \approx 21{,}50$ (cm).

Vậy, độ cao của điểm $A$ trên đầu cánh tay robot so với mặt đất là:

$AM + BN + CP \approx 21{,}50 + 31{,}80 + 17 = 70{,}3$ (cm).

a) Xét $\Delta AKC$ vuông tại $K,$ ta có:

$\sin C = \frac{{AK}}{{AC}},\,\,\cos C = \frac{{KC}}{{AC}},$

$\tan C = \frac{{AK}}{{KC}},\,\,\cot C = \frac{{KC}}{{AK}}.$

b) Xét $\Delta AKB$ vuông tại $K,$ ta có: $BK = AK \cdot \cot B.$

Xét $\Delta AKC$ vuông tại $K,$ ta có: $KC = AK \cdot \cot C.$

Suy ra $BC = BK + KC = AK \cdot \cot B + AK \cdot \cot C$

Do đó $BC = AK \cdot \left( {\cot B + \cot C} \right)$ nên $AK = \frac{{BC}}{{\cot B + \cot C}}.$

c) Kẻ $DI\, \bot \,BD$ tại $D$ $(I$thuộc đường thẳng $BC)$.

Ta có $\widehat {ADN} + \widehat {CDN} = 90^\circ ,\,\,\widehat {CDI} + \widehat {CDN} = 90^\circ .$ Suy ra $\widehat {ADN} = \widehat {CDI}$.

Xét $\Delta ADN$ và $\Delta CDI$ có: $\widehat {DAN} = \widehat {DCI} = 90^\circ ,\,\,\widehat {ADN} = \widehat {CDI}$

Do đó (g.g).

Suy ra $\frac{{AD}}{{CD}} = \frac{{AN}}{{CI}} = \frac{{DN}}{{DI}}$ nên $\frac{{A{D^2}}}{{C{D^2}}} = \frac{{D{N^2}}}{{D{I^2}}}.$

Xét $\Delta ADC$ vuông tại $D,$ ta có: $\cot \widehat {DAC} = \frac{{AD}}{{DC}}.$

Vì $CKAD$ là hình chữ nhật nên $AD\,{\rm{//}}\,KC$ nên $\widehat {ACB} = \widehat {DAC}$ (so le trong).

Suy ra ${\cot ^2}\widehat {ACB} = {\cot ^2}\widehat {DAC} = {\left( {\frac{{AD}}{{DC}}} \right)^2} = \frac{{A{D^2}}}{{D{C^2}}} = \frac{{D{N^2}}}{{D{I^2}}}$.

Ta có: $\frac{{{{\cot }^2}ACB}}{{D{N^2}}} + \frac{1}{{D{B^2}}} = \frac{{\frac{{D{N^2}}}{{D{I^2}}}}}{{D{N^2}}} + \frac{1}{{D{B^2}}} = \frac{1}{{D{I^2}}} + \frac{1}{{D{B^2}}} = \frac{{D{I^2} + D{B^2}}}{{D{I^2} \cdot D{B^2}}}$.

Xét $\Delta BDI$ vuông tại $D,$ theo định lí Pythagore, ta có: $B{I^2} = D{I^2} + D{B^2}$.

Xét $\Delta BCD$ vuông tại $C,$ ta có $\sin \widehat {DBC} = \frac{{CD}}{{BD}}.$

Xét $\Delta BDI$ vuông tại $D,$ ta có $\cos \widehat {DIB} = \frac{{DI}}{{BI}}.$

Lại có $\widehat {DBC} + \widehat {DIB} = 90^\circ$ nên $\sin \widehat {DBC} = \cos \widehat {DIB}$ hay $\frac{{CD}}{{BD}} = \frac{{DI}}{{BI}}.$

Như vậy, $CD \cdot BI = DI \cdot BD.$ Hay $C{D^2} \cdot B{I^2} = D{I^2} \cdot B{D^2}.$

Suy ra $\frac{{{{\cot }^2}ACB}}{{D{N^2}}} + \frac{1}{{D{B^2}}} = \frac{{D{I^2} + D{B^2}}}{{D{I^2} \cdot D{B^2}}} = \frac{{B{I^2}}}{{D{I^2} \cdot D{B^2}}} = \frac{{B{I^2}}}{{C{D^2} \cdot B{I^2}}} = \frac{1}{{C{D^2}}}.$

Vì $CKAD$ là hình chữ nhật nên $AK = DC.$ Do đó $\frac{{{{\cot }^2}ACB}}{{D{N^2}}} + \frac{1}{{D{B^2}}} = \frac{1}{{A{K^2}}}.$

Giá thuê mỗi phòng sau khi tăng giá phòng lên $x\%$ là: $480 + 480 \cdot x\% = 480 + 4{,}8x$ (nghìn đồng).

Số phòng cho thuê lúc giá phòng tăng $x\%$ là: O10-2024-GV154..$100 - 100 \cdot \frac{{4x}}{5}\%$$= 100 - \frac{{4x}}{5}$ (phòng).

Tổng doanh thu tương ứng là:

$A\left( x \right) = \left( {100 - \frac{{4x}}{5}} \right)\left( {480 + 4{,}8x} \right)$$= 3{,}84\left( {125 - x} \right)\left( {100 + x} \right)$ (nghìn đồng).

Để nhà nghỉ đạt doanh thu cao nhất thì ta tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A\left( x \right)$.

⦁ Chứng minh bất đẳng thức: $ab \le {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}\,\,\,\,\left( * \right)$ với $a,\,\,b$ là các số không âm.

Thật vậy, xét hiệu ${\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} - ab = \frac{{{a^2} + 2ab + {b^2} - 4ab}}{4} = \frac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{4} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}$

Với mọi $a,\,\,b$ là các số không âm, ta có:

${\left( {a - b} \right)^2} \ge 0$ nên $\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2} \ge 0$ suy ra ${\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} \ge ab$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a = b.$ Như vậy bất đẳng thức $\left( * \right)$ đã được chứng minh.

⦁ Áp dụng bất đẳng thức $\left( * \right)$ cho biểu thức $A\left( x \right) = 3{,}84\left( {125 - x} \right)\left( {100 + x} \right),$ ta được:

$A\left( x \right) = 3{,}84\left( {125 - x} \right)\left( {100 + x} \right) \le 3{,}84 \cdot {\left( {\frac{{125 - x + 100 + x}}{2}} \right)^2} = 48\,\,600$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $125 - x = 100 + x$ hay $x = 12{,}5$.

Vậy giá phòng niêm yết là $480 + 4{,}8 \cdot 12{,}5 = 540$ (nghìn đồng) thì khách sạn đạt doanh thu cao nhất là $48\,\,600$ nghìn đồng $(48\,\,600\,\,000$ đồng).