Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Đề 4

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax + by = c$ với $a \ne 0$ hoặc $b \ne 0$.

Viết phương trình $2x + \frac{y}{2} = 1$ thành $2x + \frac{1}{2}y = 1$ ta được phương trình bậc nhất hai ẩn với $a = 2 \ne 0,$ $b = \frac{1}{2} \ne 0.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta viết phương trình $3x + y = 6$ về dạng $y = - 3x + 6.$

Khi đó, nghiệm tổng quát của phương trình $3x + y = 6$ là $\left( {x;\,\, - 3x + 6} \right)$ với $x \in \mathbb{R}$ tùy ý.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Để cặp số $\left( { - 2;\,\,3} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình, ta thay $x = - 2$ và $y = 3$ vào hệ phương trình, ta được: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{a \cdot \left( { - 2} \right) + 3 = 5}\\{3 \cdot \left( { - 2} \right) + b \cdot 3 = 0}\end{array}} \right.$

Giải hệ phương trình trên, ta được: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{ - 2a = 2}\\{ - 6 + 3b = 0}\end{array}} \right.$ hay $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{a = - 1}\\{b = 2.}\end{array}} \right.$

Vậy, để cặp số $\left( { - 2;\,\,3} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình thì $a = - 1$ và $b = 2$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Nhận thấy đường thẳng $d$ đi qua các điểm có tọa độ $\left( {0\,;\,\,0} \right)$ và $\left( {1\,;\,\,2} \right).$

Do đó, đường thẳng $d$ biểu diễn nghiệm của phương trình $y = 2x.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Điều kiện xác định của phương trình $\frac{1}{{x - 3}} - 3 = \frac{2}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 4} \right)}}$ là $x - 3 \ne 0$ và $x + 4 \ne 0,$ hay $x \ne 3$ và $x \ne - 4$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Điều kiện xác định: $x \ne 5$ và $x \ne - 5.$

Ta có: $\frac{3}{{4\left( {x - 5} \right)}} + \frac{{15}}{{50 - 2{x^2}}} = \frac{7}{{6x + 30}}$

$\frac{3}{{4\left( {x - 5} \right)}} - \frac{{15}}{{2\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}} = \frac{7}{{6\left( {x + 5} \right)}}$

$\frac{{9\left( {x + 5} \right)}}{{12\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}} - \frac{{15.6}}{{12\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}} = \frac{{14\left( {x - 5} \right)}}{{6\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)}}$

$$9\left( {x + 5} \right)-90 = 14\left( {x-5} \right)$$

$$9x + 45-90 = 14x-70$$

$$5x = 25$$

$x = 5$ (loại).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Bất đẳng thức $m \le - 8$ có thể được phát biểu là $m$ không lớn hơn âm 8.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Từ giả thiết $c < 0$ và điều kiện $a > b$ ở 4 đáp án, ta có:

Nếu $a > b$ và $c < 0$ thì $ac < bc$. Do đó đáp án A sai.

Nếu $a > b$ và $c < 0$ thì $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}.$ Do đó đáp án B sai.

Nếu $a > b$ và $c < 0$ thì $ac < bc$. Do đó đáp án C đúng.

Nếu $a > b$ và $c < 0$ thì $a + c > b + c.$ Do đó đáp án D sai.

Vậy chọn đáp án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta có:

$\tan B = \frac{{AC}}{{AB}}$ hay $AC = AB.\tan B$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A,$ ta có:

⦁ $B{C^2} = A{C^2} + A{B^2}$ hay ${a^2} = {b^2} + {c^2}$ (định lí Pythagore);

⦁ $AC = BC \cdot \sin B = BC \cdot \cos C$ hay $b = a \cdot \sin B = a \cdot \cos C$;

⦁ $AB = BC \cdot \sin C = BC \cdot \cos B$ hay $c = a \cdot \sin C = a \cdot \cos B$;

Như vậy các khẳng định A, C, D đều đúng.

Ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Do $\alpha ,\,\,\beta$ là số đo các góc nhọn của một tam giác vuông nên $\alpha + \beta = 90^\circ$.

Khi đó $\sin \alpha = \cos \beta ,\,\,\cos \alpha = \sin \beta ,\,\,\tan \alpha = \cot \beta ,\,\,\cot \alpha = \tan \beta$ và $\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$.

Do đó $\tan \alpha - \cot \beta = \tan \alpha - \tan \alpha = 0.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Tam giác $ABC$ có cạnh huyền $BC$ nên tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $\sin B = \frac{{AC}}{{BC}}$. Suy ra $\frac{{AC}}{{BC}} = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}.$

Vậy tỉ số giữa cạnh đối $AC$ và cạnh huyền $BC$ bằng $\frac{1}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

Giải hệ phương trình đã cho bằng phương pháp thế như sau:

• Từ phương trình (2), ta có $y = 2x + 4$.

• Thay $y = 2x + 4$ vào phương trình (1), ta được:

$6x - 3\left( {2x + 4} \right) = - 12$ hay $0x = 0$.

• Phương trình trên có vô số nghiệm nên hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

• Nghiệm tổng quát của hệ phương trình đã cho là $\left( {x;\,\,2x + 4} \right)$ với $x \in \mathbb{R}$ tùy ý.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Sai. Ta có: $m\left( {2x + 1} \right) < 8$

$2mx + m - 8 < 0$

Bất phương trình đã cho là bất phương trình bậc nhất ẩn $x$ khi $2m \ne 0$ hay $m \ne 0$.

Do đó ý a) là sai.

b) Đúng. Khi $m = 1,$ bất phương trình đã cho trở thành: $2x - 7 < 0$ hay $2x < 7$ nên $x < \frac{7}{2}$.

Như vậy, khi $m = 1,$ bất phương trình đã cho có nghiệm là $x < \frac{7}{2}$. Do đó ý b) là đúng.

c) Sai. Khi $m = - 1,$ bất phương trình đã cho trở thành: $- 2x - 9 < 0$ hay $- 2x < 9$ nên $x > - \frac{9}{2}$.

Như vậy, khi $m = - 1,$ bất phương trình đã cho có nghiệm là $x > - \frac{9}{2}$. Do đó ý c) là sai.

d) Sai. Khi $m = - 2,$ bất phương trình đã cho trở thành: $- 4x - 10 < 0$ hay $- 4x < 10$ nên $x > - \frac{5}{2}$.

Khi đó, bất phương trình có nghiệm nguyên nhỏ nhất là $- 2$. Do đó ý d) là sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 3.

a) Vì số nguyên tử của ${\rm{K,}}\,\,{\rm{N}}$ và ${\rm{O}}$ ở cả hai vế của phương trình phản ứng phải bằng nhau nên ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\x = 2\\3x = 2 \cdot 2 + 2y\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\3x = 4 + 2y.\end{array} \right.$

Thay $x = 2$ vào phương trình $3x = 4 + 2y,$ ta được:

$3 \cdot 2 = 4 + 2y,$ suy ra $2y = 2$ nên $y = 1.$

Vậy $x + y = 2 + 1 = 3.$

Hướng dẫn giải

Đáp án: 2.

Điều kiện xác định: $x \ne 4,\,\,x \ne - 4.$

$\frac{{2x - 5}}{{x + 4}} + \frac{x}{{4 - x}} = \frac{{17x - 56}}{{16 - {x^2}}}$

$\frac{{2x - 5}}{{x + 4}} - \frac{x}{{x - 4}} = \frac{{ - 17x + 56}}{{{x^2} - 16}}$

$\frac{{\left( {2x - 5} \right)\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}} - \frac{{x\left( {x + 4} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}} = \frac{{ - 17x + 56}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}}$

$\left( {2x - 5} \right)\left( {x - 4} \right) - x\left( {x + 4} \right) = - 17x + 56$

$2{x^2} - 8x - 5x + 20 - {x^2} - 4x = - 17x + 56$

${x^2} = 36$

$x = 6$ (thỏa mãn) hoặc $x = - 6$ (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x = 6;\,\,x = - 6.$

Hướng dẫn giải

Đáp số: $- {\bf{2}}$.

Giải bất phương trình: $x\left( {5x + 1} \right) + 4\left( {x + 3} \right) \ge 5{x^2}$

$5{x^2} + x + 4x + 12 \ge 5{x^2}$

$5x \ge - 12$

$x \ge \frac{{ - 12}}{5}$.

Do đó nghiệm của bất phương trình là $x \ge \frac{{ - 12}}{5}\,\,\,\left( { = - 2{,}4} \right)$.

Vậy số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình là $x = - 2$.

Hướng dẫn giải

Đáp số: 1.

Với $0^\circ < \alpha < 70^\circ$, ta có: $90^\circ - \left( {70^\circ - \alpha } \right) = \alpha + 20^\circ ;\,\,\,90^\circ - \left( {80^\circ - \alpha } \right) = \alpha + 10^\circ .$

Do đó:

$$A = \tan \alpha \cdot \tan \left( {\alpha + 10^\circ } \right) \cdot \tan \left( {\alpha + 20^\circ } \right) \cdot \tan \left( {70^\circ - \alpha } \right) \cdot \tan \left( {80^\circ - \alpha } \right) \cdot \tan \left( {90^\circ - \alpha } \right)$$

$$\,\,\,\,\, = \tan \alpha \cdot \tan \left( {\alpha + 10^\circ } \right) \cdot \tan \left( {\alpha + 20^\circ } \right) \cdot \cot \left( {\alpha + 20^\circ } \right) \cdot \cot \left( {\alpha + 10^\circ } \right) \cdot \cot \alpha$$

$$\,\,\,\,\, = \left( {\tan \alpha \cdot \cot \alpha } \right) \cdot \left[ {\tan \left( {\alpha + 10^\circ } \right) \cdot \cot \left( {\alpha + 10^\circ } \right)} \right] \cdot \left[ {\tan \left( {\alpha + 20^\circ } \right) \cdot \cot \left( {\alpha + 20^\circ } \right)} \right]$$

$$\,\,\,\,\, = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1.$$

Hướng dẫn giải

Gọi $x$ là số trận thắng – thua và $y$ là số trận hòa $\left( {x,{\rm{ }}y \in \mathbb{N}*} \right)$.

Nếu có 5 đội tham gia thi đấu, mỗi đội phải đấu với 4 đội còn lại nên với 5 đội tham gia thì có $5 \cdot 4 = 20$ (trận đấu). Nhưng mỗi trận đấy có 2 đội tham gia nên tổng số trận đấu khi có 5 đội tham gia là $\frac{{5 \cdot 4}}{2} = 10$ (trận đấu).

Vì có 10 trận đấu nên $x + y = 10$ $\left( 1 \right)$

Mặt khác, tổng số điểm các đội là $10 + 9 + 6 + 4 + 0 = 29$ (điểm).

Mỗi trận thắng – thua có tổng số điểm là 3 và mỗi trận hòa có tổng số có tổng số điểm là 2 nên ta có phương trình $3x + 2y = 29$ $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 10\\3x + 2y = 29\end{array} \right.$.

Từ phương trình thứ hai ta có $x + y = 10$ suy ra $x = 10 - y$. Thế vào phương trình thứ nhất, ta được:

$3\left( {10 - y} \right) + 2y = 29$, suy ra $30 - 3y + 2y = 29$ hay $y = 1$ (thỏa mãn).

Từ đó $x = 10 - y = 10 - 1 = 9$ (thỏa mãn).

Mỗi đội có 4 trận đấu với các đội còn lại mà đội A có 10 điểm tức đội A thắng 3 trận hòa 1 trận.

Đội B có 9 điểm tức thắng 3 trận thua 1 trận.

Đội C có 6 điểm tức thắng 2 trận thua 2 trận.

Đội D có 4 điểm thắng 1 trận hòa 1 trận.

Đội E không có điểm tức là thua hết 4 trận.

Vậy trận hòa là của đội A và đội D.

1) Xét $\Delta ABD$ vuông tại $B$, ta có:

⦁ $\sin C = \frac{{AB}}{{BC}},$ suy ra $BC = \frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{9}{{\sin 32^\circ }} \approx 16{,}98.$

⦁ $AC = AB \cdot \cot C = 9 \cdot \cot 32^\circ \approx 14{,}40.$

Vậy $AC \approx 14{,}40$ và $BC \approx 16{,}98.$

2) Xét $\Delta ACD$ vuông tại $D$, ta có: $DC = AD \cdot \tan \widehat {CAD} = AD \cdot \tan 40^\circ$.

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $D$, ta có: $DB = AD \cdot \tan \widehat {BAD} = AD \cdot \tan 50^\circ$.

Ta có: $BC = DB - DC$

Suy ra $4 = AD \cdot \tan 50^\circ - AD \cdot \tan 40^\circ$

$4 = AD \cdot \left( {\tan 50^\circ - \tan 40^\circ } \right)$

$AD = \frac{4}{{\tan 50^\circ - \tan 40^\circ }}$.

Do đó $DC = AD \cdot \tan 40^\circ = \frac{{4\tan 40^\circ }}{{\tan 50^\circ - \tan 40^\circ }} \approx 9{,}5{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Như vậy, $CH = CD + DH \approx 9{,}5 + 7 = 16{,}5{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Vậy chiều cao của tòa nhà 2 khoảng $16{,}5{\rm{\;m}}.$

Hướng dẫn giải

⦁ Gọi $x$ là số lượng khách đăng ký thêm, $x > 0,\,\,x \in \mathbb{N}.$

Khi đó, tổng số khách sẽ là $80 + x$ (khách).

Cứ thêm một người thì giá chuyến du lịch còn lại là: $5\,\,000\,\,000 - 50\,\,000 \cdot 1$ đồng/ người cho toàn bộ hành khách.

Thêm $x$ người thì giá chuyến du lịch còn lại là: $5\,\,000\,\,000 - 50\,\,000x$ đồng/người cho toàn bộ hành khách.

Doanh thu công ty du lịch thu được là:

$T = \left( {80 + x} \right)\left( {5\,\,000\,\,000 - 50\,\,000x} \right) = 50\,\,000\left( {80 + x} \right)\left( {100 - x} \right)$ (đồng).

Để doanh thu cao nhất thì ta tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T.$

⦁ Chứng minh bất đẳng thức: $ab \le {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}\,\,\,\,\left( * \right)$ với $a,\,\,b$ là các số không âm.

Thật vậy, xét hiệu ${\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} - ab = \frac{{{a^2} + 2ab + {b^2} - 4ab}}{4} = \frac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{4} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}$

Với mọi $a,\,\,b$ là các số không âm, ta có:

${\left( {a - b} \right)^2} \ge 0$ nên $\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2} \ge 0$ suy ra ${\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} \ge ab$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a = b.$ Như vậy bất đẳng thức $\left( * \right)$ đã được chứng minh.

⦁ Áp dụng bất đẳng thức $\left( * \right)$ vào biểu thức $T = 50\,\,000\left( {80 + x} \right)\left( {100 - x} \right),$ ta được:

$T = 50\,\,000\left( {80 + x} \right)\left( {100 - x} \right) \le 20\,\,000 \cdot {\left( {\frac{{80 + x + 100 - x}}{2}} \right)^2} = 648\,\,000\,\,000$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $80 + x = 100 - x$ hay $x = 10$.

Vậy nếu đoàn khách có $80 + 10 = 90$ người thì công ty du lịch đạt doanh thu cao nhất là $648\,\,000\,\,000$ đồng.