Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Đề 2

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax + by = c$ với $a \ne 0$ hoặc $b \ne 0$.

Phương trình $2x + \frac{y}{2} - 1 = 0$ viết thành $2x + \frac{1}{2}y = 1$, đây là phương trình bậc nhất hai ẩn với $a = 2$ và $b = \frac{1}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Thay $x = - 2;y = 4$ vào từng phương trình ta được:

⦁ $x - 2y = - 2 - 2 \cdot 4 = - 10 \ne 0$ nên loại A.

⦁ $2x + y = 2 \cdot \left( { - 2} \right) + 4 = 0$ nên chọn B.

⦁ $x - y = - 2 - 4 = - 6 \ne 0$ nên loại C.

⦁ $x + 2y + 1 = - 2 + 2 \cdot 4 + 1 = 7 \ne 0$ nên loại D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Cách 1. Sử dụng MTCT để tìm nghiệm của hệ hai phương trình $\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y = 42\\10x - 9y = 6.\end{array} \right.$

Với MTCT phù hợp, ta bấm lần lượt các phím:

$\boxed{\ \mathrm{MODE}\ }\ \boxed{\ 5\ }\ \boxed{\ 1\ }\ \boxed{\ 3\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ 4\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ 4\ }\ \boxed{\ 2\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ 1\ }\ \boxed{\ 0\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ -\ }\ \boxed{\ 9\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ 6\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ =\ }$

Trên màn hình cho kết quả $x = 6,$ ta bấm tiếp phím màn hình cho kết quả $y = 6.$

Vậy cặp số $\left( {6;\,\,6} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y = 42\\10x - 9y = 6.\end{array} \right.$

Cách 2. Thay $x = 6;\,\,y = - 6$ vào hệ phương trình đã cho, ta được:

$\left\{ \begin{array}{l}3 \cdot 6 + 4 \cdot \left( { - 6} \right) = - 6\,\,\left( { \ne 42} \right)\\10 \cdot 6 - 9 \cdot \left( { - 6} \right) = 114\,\,\left( { \ne 6} \right).\end{array} \right.$

Tương tự, thay giá trị của $x$ và $y$ lần lượt của các cặp số ở phương án B, C, D vào hệ phương trình đã cho, ta thấy chỉ có cặp số $\left( {6;\,\,6} \right)$ là nghiệm của cả hai phương trình trong hệ.

Vậy cặp số $\left( {6;\,\,6} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y = 42\\10x - 9y = 6.\end{array} \right.$

Cách 3. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y = 42\\10x - 9y = 6.\end{array} \right.$

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với $10$ và nhân hai vế của phương trình thứ hai với $3,$ ta được hệ phương trình mới $\left\{ \begin{array}{l}30x + 40y = 420\\30x - 27y = 18.\end{array} \right.$

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ phương trình trên, ta được:

$67y = 402$, suy ra $y = 6$.

Thay $y = 6$ vào phương trình $3x + 4y = 42,$ ta được:

$3x + 4 \cdot 6 = 42$ hay $3x = 18$ suy ra $x = 6.$

Do đó, hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $\left( {6;\,\,6} \right)$.

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Từ phương trình $0x + 7y = 14$ ta có $7y = 14$ suy ra $y = 2$.

Như vậy, phương trình đã cho có nghiệm tổng quát là $\left( {x;\,\,2} \right)$ với $x \in \mathbb{R}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Mẫu thức chung của phương trình $\frac{1}{{x - 1}} + \frac{3}{{x + 1}} = 0$ là $\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $2x\left( {3x - 1} \right) + 6x - 2 = 0$

$$2x\left( {3x - 1} \right) + 2\left( {3x - 1} \right) = 0$$

$$\left( {3x - 1} \right)\left( {2x + 2} \right) = 0$$

$$2\left( {3x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0$$

$3x - 1 = 0$ hoặc $x + 1 = 0$

$x = \frac{1}{3}$ hoặc $x = - 1$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{1}{3}$ và $x = - 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $a < b$ và $ac > bc$ nên ta có $c < 0$, tức $c$ là số âm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Do biển có hiệu lực bắt buộc các loại xe cơ giới vận hành với tốc độ không nhỏ hơn trị số ghi trên biển, nên theo hình vẽ thì tốc độ của ô tô đi trên đường đó không nhỏ hơn $60{\rm{ km/h,}}$ tức là $a \ge 60.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét $\Delta MNP$ vuông tại $M$, ta có: $\tan \widehat {MNP} = \frac{{MP}}{{MN}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta có:

$\tan B = \frac{{AC}}{{AB}}$ hay $AC = AB.\tan B$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có $\cos \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha = \frac{3}{5}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A,$ theo định lí Pythagore, ta có: $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$

Suy ra $A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} = {10^2} - {6^2} = 64.$ Do đó $AB = 8.$

Ta có: $\tan C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{8}{6} \approx 1{,}33.$

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai. Thay $x = - 2\,;{\rm{ }}y = 1$ vào phương trình $\left( * \right)$, ta được:

$$2 \cdot \left( { - 2} \right)--5 \cdot 1 = -\,4-5 = -9 \ne 1.$$

Do đó cặp số $\left( { - 2\,;\,\,1} \right)$ không phải là nghiệm của phương trình $\left( * \right)$.

b) Đúng. Phương trình $\left( * \right)$ là phương trình bậc nhất hai ẩn $x,{\rm{ }}y$ và có vô số nghiệm.

c) Đúng. Hệ số $a;\,\,b;\,\,c$ của phương trình $\left( * \right)$ là $2\,;\,\, - 5\,;\,\,1.$

d) Sai. Ta có $2x - 5y = 1$ suy ra $5y = 2x - 1$ nên $y = \frac{2}{5}x - \frac{1}{5}$.

Do đó, tập hợp các điểm có tọa độ $\left( {x\,;\,\,y} \right)$ thỏa mãn phương trình $\left( * \right)$ là đường thẳng $y = \frac{2}{5}x - \frac{1}{5}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.

Với $a \le b,$ ta có:

a) Đúng. $a + c \le b + c.$ Do đó ý a) là đúng.

b) Sai. $ac \le bc$ với $c > 0.$ Do đó ý b) là sai.

c) Sai. $\frac{a}{c} \ge \frac{b}{c}$ với $c < 0,$ nên $- \frac{a}{c} \le - \frac{b}{c}.$ Do đó ý c) là sai.

d) Sai. $a - b \le 0$

Chẳng hạn nếu $a + b \le 0$ thì $\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) \ge 0$ hay ${a^2} - {b^2} \ge 0$ nên ${a^2} \ge {b^2}.$ Do đó ý d) là sai.

Hướng dẫn giải

Đáp số: 13.

Từ phương trình $2\left( {x + y} \right) + 3\left( {x - y} \right) = 4$ ta được $2x + 2y + 3x - 3y = 4$ hay $5x - y = 4.$

Từ phương trình $\left( {x + y} \right) + 2\left( {x - y} \right) = 5$ ta được $x + y + 2x - 2y = 5$ hay $3x - y = 5$.

Ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}5x - y = 4\\3x - y = 5\end{array} \right.$. Ta tìm nghiệm của hệ phương trình trên bằng cách sử dụng máy tính cầm tay, ta bấm lần lượt các phím:

$\boxed{\ \mathrm{MODE}\ }\ \boxed{\ 5\ }\ \boxed{\ 1\ }\ \boxed{\ 5\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ -\ }\ \boxed{\ 1\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ 4\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ 3\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ -\ }\ \boxed{\ 1\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ 5\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ =\ }$

Trên màn hình cho kết quả $x = - \frac{1}{2},$ ta bấm tiếp phím màn hình cho kết quả $y = - \frac{{13}}{2}.$

Theo bài, $y = ax$ nên ta có $- \frac{{13}}{2} = a \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right)$, suy ra $a = 13.$

Hướng dẫn giải

Đáp án: 4.

Điều kiện xác định: $x \ne 2,\,\,\,x \ne - 2.$

$\frac{{x + 2}}{{x - 2}} - \frac{{x - 2}}{{2 + x}} = \frac{{{x^2} + 16}}{{{x^2} - 4}}$

$\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{{x^2} + 16}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}$

${\left( {x + 2} \right)^2} - {\left( {x - 2} \right)^2} = {x^2} + 16$

${x^2} + 4x + 4 - \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) = {x^2} + 16$

${x^2} + 4x + 4 - {x^2} + 4x - 4 = {x^2} + 16$

${x^2} - 8x + 16 = 0$

${\left( {x - 4} \right)^2} = 0$

$x - 4 = 0$

$x = 4$ (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x = 4$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 6.

Ta có $1 + \frac{{x + 4}}{5} \le x - \frac{{x + 3}}{3}$

$\frac{{5 + x + 4}}{5} \le \frac{{3x - x - 3}}{3}$

$\frac{{x + 9}}{5} \le \frac{{2x - 3}}{3}$

$$3\left( {x + 9} \right) \le 5\left( {2x - 3} \right)$$

$$3x + 27 \le 10x - 15$$

$$10x - 3x \le 27 + 15$$

$$7x \ge 42$$

$$x \ge 6$$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \ge 6.$

Hướng dẫn giải

Đáp án: $1{,}4$.

Theo định lí Pythagore, ta có: $A{B^2} = A{C^2} + B{C^2}$

Suy ra $AB = \sqrt {0,{9^2} + 1,{2^2}} = 1{,}5\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $C$ có:

$\sin B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{0{,}9}}{{1{,}5}} = \frac{3}{5} = 0{,}6$;

$\cos B = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{1{,}2}}{{1{,}5}} = \frac{4}{5} = 0{,}8.$

Do đó $\sin B + \cos B = 0{,}6 + 0{,}8 = 1{,}4.$

Hướng dẫn giải

Theo bài, hiệu giữa nucleotide loại T với loại nucleotide không bổ sung với nó là $300$ nucleotide nên ta có phương trình: $T - G = 300$. (1)

Theo nguyên tắc bổ sung: “$A$ liên kết với $T$ bằng 2 liên kết hydrogen và $G$ liên kết với $C$ bằng 3 liên kết hydrogen” và theo bài, gen B có $3\,\,600$ liên kết hydrogen nên ta có phương trình $2T + 3G = 3\,\,600$. (2)

Từ phương trình (1) và phương trình (2), ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}T - G = 300\\2T + 3G = 3\,\,600\end{array} \right.$

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3, ta được hệ $\left\{ \begin{array}{l}3T - 3G = 900\\2T + 3G = 3\,\,600\end{array} \right.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ ta được: $5T = 4\,500,$ suy ra $T = 900$.

Thay $T = 900$ vào phương trình $T - G = 300$, ta được: $900 - G = 300,$ suy ra $G = 600.$

Vậy số nucleotide từng loại gen B là: $G = C = 600$ và $A = T = 900$.

Hướng dẫn giải

1) Từ $B$ kẻ $BK \bot AC$ tại $K.$

Xét tam giác $BCK$ vuông tại $K$ nên

$BK = BC \cdot \sin C = 16 \cdot \sin 30^\circ = 8\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$

Xét tam giác $ABC$ có $\widehat {BAK}$ là góc ngoài nên

$\widehat {BAK} = \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 45^\circ + 30^\circ = 75^\circ .$

Tam giác $ABK$ vuông tại $K$ nên $\widehat {BAK} + \widehat {ABK} = 90^\circ$.

Do đó $\widehat {ABK} = 90^\circ - \widehat {BAK} = 90^\circ - 75^\circ = 15^\circ .$

Ta có $\cos \widehat {ABK} = \frac{{BK}}{{AB}}$ suy ra $AB = \frac{{BK}}{{\cos \widehat {ABK}}} = \frac{8}{{\cos 15^\circ }} \approx 8{,}28\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$

Tam giác $ANB$ vuông cân tại $N$ nên $\widehat {ABN} = \widehat {BAN} = 45^\circ$; $\sin \widehat {ABN} = \frac{{AN}}{{AB}}$.

Suy ra $AN = AB \cdot \sin \widehat {ABK} \approx 8{,}28 \cdot \sin 45^\circ \approx 5{,}85\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Vậy $AN \approx 5{,}85\,\,{\rm{cm}}\,.$

2) Xét $\Delta ABC$ vuông tại $B$, ta có

$\tan \widehat {BAC} = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{2}{{2{,}5}} = 0{,}8$ nên $\widehat {BAC} \approx 38{,}7^\circ .$

Ta có $\widehat {BAD} = \widehat {BAC} + \widehat {CAD} \approx 38{,}7^\circ + 20^\circ = 58{,}7^\circ .$

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $B$, ta có

$BD = AB \cdot \tan \widehat {BAD} \approx 2{,}5 \cdot \tan 58{,}7^\circ \approx 4{,}1\,\,\left( {\rm{m}} \right).$

Do đó $CD = BD - BC \approx 4{,}1 - 2 = 2{,}1\,\,\left( {\rm{m}} \right).$

Vậy độ dài vùng được chiếu sáng trên mặt đất khoảng $2{,}1$ mét.

Hướng dẫn giải

⦁ Vì $ABC$ là tam giác đều cạnh $20{\rm{\;cm}}$ nên $BC = 20{\rm{\;cm}}$ và $\widehat {B\,} = 60^\circ .$

Giả sử $MB = x\,\,\left( {x > 0} \right){\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$ Khi đó $QC = x{\rm{\;(cm)}}$ và $MQ = BC - BM - QC = 20 - 2x{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Xét $\Delta MNB$ vuông tại $M,$ ta có: $MN = MB \cdot \tan B = x\tan 60^\circ = x\sqrt 3 {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Diện tích hình chữ nhật $MNPQ$ là: $S\left( x \right) = \left( {20 - 2x} \right) \cdot x\sqrt 3 = 2\sqrt 3 \cdot x\left( {10 - x} \right){\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Để diện tích hình chữ nhật $MNPQ$ lớn nhất thì ta tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $S\left( x \right)$.

⦁ Chứng minh bất đẳng thức: $ab \le {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}\,\,\,\,\left( * \right)$ với $a,\,\,b$ là các số không âm.

Thật vậy, xét hiệu ${\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} - ab = \frac{{{a^2} + 2ab + {b^2} - 4ab}}{4} = \frac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{4} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}$

Với mọi $a,\,\,b$ là các số không âm, ta có:

${\left( {a - b} \right)^2} \ge 0$ nên $\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2} \ge 0$ suy ra ${\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} \ge ab$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a = b.$ Như vậy bất đẳng thức $\left( * \right)$ đã được chứng minh.

⦁ Áp dụng bất đẳng thức $\left( * \right)$ cho biểu thức $S\left( x \right) = 2\sqrt 3 \cdot x\left( {10 - x} \right),$ ta được:

$S\left( x \right) = 2\sqrt 3 \cdot x\left( {10 - x} \right) \le 2\sqrt 3 \cdot {\left( {\frac{{x + 10 - x}}{2}} \right)^2} = 50\sqrt 3$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x = 10 - x$ hay $x = 5$.

Vậy $MB = 5{\rm{\;cm}}$ thì hình chữ nhật $MNPQ$ có diện tích lớn nhất.