Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Chân trời sáng tạo (Tự luận) có đáp án - Đề 3

a) Để phương trình đã cho là phương trình bậc nhất hai ẩn thì $2a \ne 0$ hoặc $- \left( {3b + 1} \right) \ne 0,$ tức là $a \ne 0$ hoặc $b \ne - \frac{1}{3}.$

b) Để đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left( { - 7;6} \right)$ thì tọa độ điểm $M$ thỏa mãn phương trình đã cho.

Thay $x = - 7;\,\,y = 6$ vào phương trình $2ax - \left( {3b + 1} \right)y = a - 1,$ ta được:

$$2a \cdot \left( { - 7} \right) - \left( {3b + 1} \right) \cdot 6 = a - 1$$

$- 14a - 18b - 6 = a - 1$

$- 15a - 18b = 5$ (1)

Để đường thẳng $d$ đi qua điểm $N\left( {4; - 3} \right)$ thì tọa độ điểm $N$ thỏa mãn phương trình đã cho.

Thay $x = 4;y = - 3$ vào phương trình $2ax - \left( {3b + 1} \right)y = a - 1,$ ta được:

$$2a \cdot 4 - \left( {3b + 1} \right) \cdot \left( { - 3} \right) = a - 1$$

$8a + 9b + 3 = a - 1$

$7a + 9b = - 4$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 15a - 18b = 5}\\{7a + 9b = - 4}\end{array}} \right.$

Nhân hai vế phương trình thứ hai với 2 ta có hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 15a - 18b = 5}\\{14a + 18b = - 8}\end{array}} \right.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được:

$\left( { - 15a - 18b} \right) + \left( {14a + 18b} \right) = 5 + \left( { - 8} \right)$

$- a = - 3$

$a = 3$.

Thay $a = 3$ vào phương trình $7a + 9b = - 4,$ ta có:

$7 \cdot 3 + 9b = - 4$ hay $9b = - 25$ nên $b = - \frac{{25}}{9}.$

Vậy $a = 3$ và $b = - \frac{{25}}{9}.$

a) $2x\left( {3x - 1} \right) = \left( {3x - 1} \right)$

$2x\left( {3x - 1} \right) - \left( {3x - 1} \right) = 0$

$\left( {3x - 1} \right)\left( {2x - 1} \right) = 0$

$3x - 1 = 0$ hoặc $2x - 1 = 0$

$x = \frac{1}{3}$ hoặc $x = \frac{1}{2}$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{1}{3}$ và $x = \frac{1}{2}$.

b) Điều kiện xác định $x \ne 0;\,\,x \ne 3.$

$\frac{{x + 3}}{{x - 3}} = \frac{3}{{{x^2} - 3x}} + \frac{1}{x}$

$\frac{{\left( {x + 3} \right)x}}{{x\left( {x - 3} \right)}} = \frac{3}{{x\left( {x - 3} \right)}} + \frac{{x - 3}}{{x\left( {x - 3} \right)}}$

$\left( {x + 3} \right)x = 3 + x - 3$

${x^2} + 3x = 3 + x - 3$

${x^2} + 2x = 0$

$x\left( {x + 2} \right) = 0$

$x = 0$ hoặc $x + 2 = 0$

$x = 0$ hoặc $x = - 2$.

Đối chiếu ĐKXĐ suy ra nghiệm phương trình đã cho là $x = - 2$.

a) $4x + 1 < 2x - 9$

$$4x - 2x < - 9 - 1$$

$$2x < \; - 10$$

$x < - 5$.

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x < - 5.$

b) $3\left( {x - 2} \right) + 7x \le 4\left( {x + 1} \right) + 14$

$3x - 6 + 7x \le 4x + 4 + 14$

$10x - 6 \le 4x + 18$

$10x - 4x \le 18 + 6$

$6x \le 24$

$x \le 4$.

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \le 4$.

Gọi $x,\,\,y$ lần lượt là số sản phẩm mà tổ I và tổ II làm được trong tháng 2 $\left( {0 < x,{\rm{ }}y < 700} \right)$.

Tháng 2 hai tổ làm được 700 sản phẩm nên ta có: $x + y = 700$ (sản phẩm) $\left( 1 \right)$

Số sản phẩm tổ I làm được trong tháng 3 là: $x + 20\% \cdot x = 1{,}2x$ (sản phẩm).

Số sản phẩm tổ II làm được trong tháng 3 là: $y + 15\% \cdot y = 1{,}15y$ (sản phẩm).

Tháng 3 hai tổ làm được 830 sản phẩm nên ta có: $1{,}2x + 1{,}15y = 830$ (sản phẩm) $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 700\\1{,}2x + 1{,}15y = 830\end{array} \right.$.

Từ phương trình thứ nhất ta có $x + y = 700$ suy ra $x = 700 - y$. Thế vào phương trình thứ hai, ta được:

$1{,}2\left( {700 - y} \right) + 1{,}15y = 830$, suy ra $0{,}05y = 10$ hay $y = 200$ (thỏa mãn).

Từ đó $x = 700 - y = 700 - 200 = 500$ (thỏa mãn).

Vậy trong tháng 2 tổ I làm được 500 sản phẩm, tổ II làm được 200 sản phẩm.

a) Hình tam giác có kích thước ba cạnh lần lượt là $x + 2\,;\,\,x + 4\,;\,\,x + 5$ (đvđd).

Khi đó, chu vi hình tam giác là $x + 2 + x + 4 + x + 5 = 3x + 11$ (đvđd).

Hình chữ nhật có chiều dài $x + 3$ (đvđd) và chiều rộng $x + 1$ (đvđd).

Khi đó, chu vi hình chữ nhật là $2\left( {x + 3 + x + 1} \right) = 4x + 8$ (đvđd).

Vì chu vi của hình tam giác luôn lớn hơn chu vi của hình chữ nhật nên ta có $3x + 11 > 4x + 8$.

Vậy bất phương trình cần tìm là: $3x + 11 > 4x + 8$.

b) Giải bất phương trình:

$3x + 11 > 4x + 8$

$4x - 3x < 11 - 8$

$x < 3.$

Mà $x$ là giá trị nguyên lớn nhất có thể nên $x = 2.$

Giả sử trong hình vẽ $BC$ là độ cao của ngọn hải đăng so với mực nước biển thì $AB$ là khoảng cách từ tàu đến chân ngọn hải đăng, góc nghiêng xuống $\widehat {ACx} = 27^\circ$ nên $\widehat {CAB} = 27^\circ .$

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $B$ có $AB = BC \cdot \cot \widehat {CAB}$.

Suy ra $AB = 149 \cdot \cot 27^\circ \approx 292\,\,\left( {\rm{m}} \right)$.

a) Xét $\Delta AKC$ vuông tại $K,$ ta có:

$\sin C = \frac{{AK}}{{AC}},\,\,\cos C = \frac{{KC}}{{AC}},$

$\tan C = \frac{{AK}}{{KC}},\,\,\cot C = \frac{{KC}}{{AK}}.$

b) Xét $\Delta AKB$ vuông tại $K,$ ta có: $BK = AK \cdot \cot B.$

Xét $\Delta AKC$ vuông tại $K,$ ta có: $KC = AK \cdot \cot C.$

Suy ra $BC = BK + KC = AK \cdot \cot B + AK \cdot \cot C$

Do đó $BC = AK \cdot \left( {\cot B + \cot C} \right)$ nên $AK = \frac{{BC}}{{\cot B + \cot C}}.$

c) Kẻ $DI\, \bot \,BD$ tại $D$ $(I$thuộc đường thẳng $BC)$.

Ta có $\widehat {ADN} + \widehat {CDN} = 90^\circ ,\,\,\widehat {CDI} + \widehat {CDN} = 90^\circ .$ Suy ra $\widehat {ADN} = \widehat {CDI}$.

Xét $\Delta ADN$ và $\Delta CDI$ có: $\widehat {DAN} = \widehat {DCI} = 90^\circ ,\,\,\widehat {ADN} = \widehat {CDI}$

Do đó (g.g).

Suy ra $\frac{{AD}}{{CD}} = \frac{{AN}}{{CI}} = \frac{{DN}}{{DI}}$ nên $\frac{{A{D^2}}}{{C{D^2}}} = \frac{{D{N^2}}}{{D{I^2}}}.$

Xét $\Delta ADC$ vuông tại $D,$ ta có: $\cot \widehat {DAC} = \frac{{AD}}{{DC}}.$

Vì $CKAD$ là hình chữ nhật nên $AD\,{\rm{//}}\,KC$ nên $\widehat {ACB} = \widehat {DAC}$ (so le trong).

Suy ra ${\cot ^2}\widehat {ACB} = {\cot ^2}\widehat {DAC} = {\left( {\frac{{AD}}{{DC}}} \right)^2} = \frac{{A{D^2}}}{{D{C^2}}} = \frac{{D{N^2}}}{{D{I^2}}}$.

Ta có: $\frac{{{{\cot }^2}ACB}}{{D{N^2}}} + \frac{1}{{D{B^2}}} = \frac{{\frac{{D{N^2}}}{{D{I^2}}}}}{{D{N^2}}} + \frac{1}{{D{B^2}}} = \frac{1}{{D{I^2}}} + \frac{1}{{D{B^2}}} = \frac{{D{I^2} + D{B^2}}}{{D{I^2} \cdot D{B^2}}}$.

Xét $\Delta BDI$ vuông tại $D,$ theo định lí Pythagore, ta có: $B{I^2} = D{I^2} + D{B^2}$.

Xét $\Delta BCD$ vuông tại $C,$ ta có $\sin \widehat {DBC} = \frac{{CD}}{{BD}}.$

Xét $\Delta BDI$ vuông tại $D,$ ta có $\cos \widehat {DIB} = \frac{{DI}}{{BI}}.$

Lại có $\widehat {DBC} + \widehat {DIB} = 90^\circ$ nên $\sin \widehat {DBC} = \cos \widehat {DIB}$ hay $\frac{{CD}}{{BD}} = \frac{{DI}}{{BI}}.$

Như vậy, $CD \cdot BI = DI \cdot BD.$ Hay $C{D^2} \cdot B{I^2} = D{I^2} \cdot B{D^2}.$

Suy ra $\frac{{{{\cot }^2}ACB}}{{D{N^2}}} + \frac{1}{{D{B^2}}} = \frac{{D{I^2} + D{B^2}}}{{D{I^2} \cdot D{B^2}}} = \frac{{B{I^2}}}{{D{I^2} \cdot D{B^2}}} = \frac{{B{I^2}}}{{C{D^2} \cdot B{I^2}}} = \frac{1}{{C{D^2}}}.$

Vì $CKAD$ là hình chữ nhật nên $AK = DC.$ Do đó $\frac{{{{\cot }^2}ACB}}{{D{N^2}}} + \frac{1}{{D{B^2}}} = \frac{1}{{A{K^2}}}.$

Gọi $x$ là số lượng khách đăng ký thêm, $x > 0,\,\,x \in \mathbb{N}.$

Khi đó, tổng số khách sẽ là $80 + x$ (khách).

Cứ thêm một người thì giá chuyến du lịch còn lại là: $5\,\,000\,\,000 - 50\,\,000 \cdot 1$ đồng/ người cho toàn bộ hành khách.

Thêm $x$ người thì giá chuyến du lịch còn lại là: $5\,\,000\,\,000 - 50\,\,000x$ đồng/người cho toàn bộ hành khách.

Doanh thu công ty du lịch thu được là:

$T = \left( {80 + x} \right)\left( {5\,\,000\,\,000 - 50\,\,000x} \right) = 50\,\,000\left( {80 + x} \right)\left( {100 - x} \right)$ (đồng).

Để doanh thu cao nhất thì ta tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T.$

⦁ Chứng minh bất đẳng thức: $ab \le {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}\,\,\,\,\left( * \right)$ với $a,\,\,b$ là các số không âm.

Thật vậy, xét hiệu ${\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} - ab = \frac{{{a^2} + 2ab + {b^2} - 4ab}}{4} = \frac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{4} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}$

Với mọi $a,\,\,b$ là các số không âm, ta có:

${\left( {a - b} \right)^2} \ge 0$ nên $\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2} \ge 0$ suy ra ${\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} \ge ab$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a = b.$ Như vậy bất đẳng thức $\left( * \right)$ đã được chứng minh.

⦁ Áp dụng bất đẳng thức $\left( * \right)$ vào biểu thức $T = 50\,\,000\left( {80 + x} \right)\left( {100 - x} \right),$ ta được:

$T = 50\,\,000\left( {80 + x} \right)\left( {100 - x} \right) \le 20\,\,000 \cdot {\left( {\frac{{80 + x + 100 - x}}{2}} \right)^2} = 648\,\,000\,\,000$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $80 + x = 100 - x$ hay $x = 10$.

Vậy nếu đoàn khách có $80 + 10 = 90$ người thì công ty du lịch đạt doanh thu cao nhất là $648\,\,000\,\,000$ đồng.