Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Chân trời sáng tạo (Tự luận) có đáp án - Đề 2

a) Với $a = 1,$ $b = 0$, ta có phương trình $2x = - 4$ hay $x = - 2.$

Như vậy với $a = 1\,,\,\,b = 0,$ tất cả các nghiệm của phương trình $2ax + by = - 4$ được biểu diễn bởi đồ thị của hàm số $x = - 2.$

Đồ thị hàm số $x = - 2$ là đường thẳng song song với trục tung và vuông góc với trục hoành tại điểm $- 2.$

b) Để hệ phương trình đã cho có nghiệm là $\left( {1; - 2} \right)$ thì $x = 1,\,\,y = - 2$ thỏa mãn hệ phương trình đó.

Thay $x = 1,\,\,y = - 2$ vào hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{2ax + by = - 4}\\{bx - ay = 4}\end{array}} \right.$ ta được:

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{2a \cdot 1 + b \cdot \left( { - 2} \right) = - 4}\\{b \cdot 1 - a \cdot \left( { - 2} \right) = 4}\end{array}} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}2a - 2b = - 4\\2a + b = 4\end{array} \right.$

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ phương trình trên, ta được:

$- 3b = - 8$ suy ra $b = \frac{8}{3}.$

Thay $b = \frac{8}{3}$ vào phương trình $2a + b = 4,$ ta được: $2a + \frac{8}{3} = 4,$ suy ra $a = \frac{2}{3}.$

Vậy cặp số $\left( {a;\,\,b} \right)$ cần tìm là $\left( {\frac{2}{3};\,\,\frac{8}{3}} \right).$

a) $2x(3x - 1) + 6x - 2 = 0$

$$2x\left( {3x - 1} \right) + 2\left( {3x - 1} \right) = 0$$

$$\left( {3x - 1} \right)\left( {2x + 2} \right) = 0$$

$$2\left( {3x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0$$

$3x - 1 = 0$ hoặc $x + 1 = 0$

$x = \frac{1}{3}$ hoặc $x = - 1$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{1}{3}$ và $x = - 1.$

b) Điều kiện xác định: $x \ne 0,\,\,x \ne 2,\,\,x \ne - 2.$

$\frac{2}{{{x^2} - 4}} - \frac{{x - 1}}{{x\left( {x - 2} \right)}} + \frac{{x - 4}}{{x\left( {x + 2} \right)}} = 0$

$\frac{{2x}}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{\left( {x - 4} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = 0$

$2x - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) + \left( {x - 4} \right)\left( {x - 2} \right) = 0$

$2x - \left( {{x^2} + 2x - x - 2} \right) + \left( {{x^2} - 2x - 4x + 8} \right) = 0$

$2x - \left( {{x^2} + x - 2} \right) + \left( {{x^2} - 6x + 8} \right) = 0$

$2x - {x^2} - x + 2 + {x^2} - 6x + 8 = 0$

$- 5x + 10 = 0$

$- 5x = - 10$

$x = 2$ (không thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

a) $9x + 7 \ge - 12x - 1$

$9x + 12x \ge - 1 - 7$

$21x \ge - 8$

$x \ge \frac{{ - 8}}{{21}}$

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là $x \ge \frac{{ - 8}}{{21}}.$

b) $\frac{{2x + 1}}{3} - \frac{{x - 4}}{4} \le \frac{{3x + 1}}{6} - \frac{{x - 4}}{{12}}$

$$\frac{{4\left( {2x + 1} \right)}}{{12}} - \frac{{3\left( {x - 4} \right)}}{{12}} \le \frac{{2\left( {3x + 1} \right)}}{{12}} - \frac{{x - 4}}{{12}}$$

$$4\left( {2x + 1} \right) - 3\left( {x - 4} \right) \le 2\left( {3x + 1} \right) - \left( {x - 4} \right)$$

$$8x + 4 - 3x + 12 \le 6x + 2 - x + 4$$

$$5x + 16 \le 5x + 6$$

$$5x - 5x \le 6 - 16$$

$0x \le - 10$.

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.

Gọi $x{\rm{\;(kg)}}$ là khối lượng axit $X$ có trong dung dịch $A$ và $y{\rm{\;(kg)}}$ là khối lượng dung dịch chất $A$ $\left( {y > x > 0} \right)$.

Khi thêm $1$ kg nước vào dung dịch $A$ thì được dung dịch $B$ có khối lượng là: $y + 1{\rm{\;(kg)}}$.

Theo bài, nồng độ của dung dịch $B$ là $20\%$ nên ta có phương trình:

$\frac{x}{{y + 1}} \cdot 100\% = 20\%$ hay $5x = y + 1$ suy ra $5x - y = 1$ (1)

Khi thêm $1$ kg axit vào dung dịch $B$ thì được dung dịch $C$ có khối lượng là: $y + 1 + 1 = y + 2{\rm{\;(kg)}}$ và khối lượng axit $X$ có trong dung dịch lúc này là $x + 1{\rm{\;(kg)}}$

Theo bài, nồng độ của dung dịch $C$ là $33\frac{1}{3}\%$ nên ta có phương trình:

$\frac{{x + 1}}{{y + 2}} \cdot 100\% = 33\frac{1}{3}\%$ hay $3\left( {x + 1} \right) = y + 2$ suy ra $3x - y = - 1$. (2)

Từ phương trình (1) và phương trình (2), ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}5x - y = 1\\3x - y = - 1\end{array} \right.$

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

$2x = 2,$ suy ra $x = 1$ (thỏa mãn).

Thay $x = 1$ vào phương trình $5x = y + 1$ ta được:

$5 \cdot 1 = y + 1$, suy ra $y = 4$ (thỏa mãn).

Vậy nồng độ axit của dung dịch $A$ là: $\frac{x}{y} \cdot 100\% = \frac{1}{4} \cdot 100\% = 25\% .$

a) Đổi $5{,}25$ tấn $= 5\,\,250\,\,{\rm{kg}}$.

Gọi $x$ (thùng) là số sữa mà xe có thể chở $\left( {x \in \mathbb{N}*} \right)$.

Khi đó, khối lượng sữa mà xe chở là: $10x\,\,\left( {{\rm{kg}}} \right).$

Tổng khối lượng sữa và bác tài xế là: $65 + 10x\,\,\left( {{\rm{kg}}} \right).$

Do trọng tải của xe (tức là tổng khối lượng tối đa cho phép mà xe có thể chở) là $5\,\,250\,\,{\rm{kg}}$ nên ta có

$65 + 10x \le 5\,\,250$

Vậy bất phương trình cần tìm là: $65 + 10x \le 5\,\,250$.

b) Giải bất phương trình:

$65 + 10x \le 5\,\,250$

$10x \le 5\,\,185$

$x \le 518{,}5$

Mà $x \in \mathbb{N}*$ nên xe tải đó có thể chở tối đa 518 thùng sữa.

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $B$, ta có

$\tan \widehat {BAC} = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{2}{{2{,}5}} = 0{,}8$ nên $\widehat {BAC} \approx 38{,}7^\circ .$

Ta có $\widehat {BAD} = \widehat {BAC} + \widehat {CAD} \approx 38{,}7^\circ + 20^\circ = 58{,}7^\circ .$

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $B$, ta có

$BD = AB \cdot \tan \widehat {BAD} \approx 2{,}5 \cdot \tan 58{,}7^\circ \approx 4{,}1\,\,\left( {\rm{m}} \right).$

Do đó $CD = BD - BC \approx 4{,}1 - 2 = 2{,}1\,\,\left( {\rm{m}} \right).$

Vậy độ dài vùng được chiếu sáng trên mặt đất khoảng $2{,}1$ mét.

a) Xét $\Delta KEB$ vuông tại $K$ , ta có:

$\sin \widehat {EBK} = \frac{{EK}}{{EB}}$; $\cos \widehat {EBK} = \frac{{KB}}{{EB}}$

$\tan \widehat {EBK} = \frac{{EK}}{{KB}};\,\,\cos \widehat {EBK} = \frac{{KB}}{{EK}}$.

b) Xét $\Delta KEC$ vuông tại $K$, ta có:

$EK = EC \cdot \sin C = 16 \cdot \sin 30^\circ = 8{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Xét $\Delta ABE$ vuông tại $A$ có $AE = AB$ nên $\Delta ABE$ vuông cân tại $A.$ Do đó $\widehat {AEB} = 45^\circ .$

Xét $\Delta EBC$ có $\widehat {EBK}$ là góc ngoài nên $\widehat {EBK} = \widehat {AEB} + \widehat {C\,} = 45^\circ + 30^\circ = 75^\circ .$

Theo câu a, ta có $\sin \widehat {EBK} = \frac{{EK}}{{EB}}$.

Suy ra $EB = \frac{{EK}}{{\sin \widehat {EBK}}} = \frac{8}{{\sin 75^\circ }} \approx 8{,}3{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Xét $\Delta ABE$ vuông tại $A$ ta có $AB = EB \cdot \sin \widehat {AEB} \approx 8{,}3 \cdot \sin 45^\circ \approx 5{,}9{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

c) Xét $\Delta AEQ$ vuông tại $A$ ta có: $AQ = QE \cdot \sin \widehat {CEQ}.$

Xét $\Delta ACQ$ vuông tại $A$ ta có: $AQ = CQ \cdot \sin \widehat {QCE}$.

Suy ra $QE \cdot \sin \widehat {CEQ} = CQ \cdot \sin \widehat {QCE}$

Do đó $\frac{{QE}}{{\sin \widehat {QCE}}} = \frac{{CQ}}{{\sin \widehat {CEQ}}}.$ (1)

Chứng minh tương tự ta có:

$CK = CQ \cdot \sin \widehat {EQC} = EC \cdot \sin \widehat {CEQ}$

Suy ra $\frac{{EC}}{{\sin \widehat {EQC}}} = \frac{{CQ}}{{\sin \widehat {CEQ}}}.$ (2)

Từ (1) và (2) ta có $\frac{{QE}}{{\sin \widehat {QCE}}} = \frac{{EC}}{{\sin \widehat {EQC}}} = \frac{{CQ}}{{\sin \widehat {CEQ}}}.$

Gọi $x,\,\,y$ lần lượt là chiều dài và chiều rộng của bể nước hình chữ nhật $\left( {x > 0,\,\,y > 0} \right).$

Tổng chiều dài và chiều rộng của bể là 60 m nên ta có $x + y = 60\,\,\left( {\rm{m}} \right).$

Diện tích bể nước là: $xy\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right){\rm{.}}$

⦁ Chứng minh bất đẳng thức: $ab \le {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}\,\,\,\,\left( * \right)$ với $a,\,\,b$ là các số không âm.

Thật vậy, xét hiệu ${\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} - ab = \frac{{{a^2} + 2ab + {b^2} - 4ab}}{4} = \frac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{4} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}$

Với mọi $a,\,\,b$ là các số không âm, ta có:

${\left( {a - b} \right)^2} \ge 0$ nên $\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2} \ge 0$ suy ra ${\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} \ge ab$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a = b.$ Như vậy bất đẳng thức $\left( * \right)$ đã được chứng minh.

⦁ Áp dụng bất đẳng thức $\left( * \right)$ ta được:

$$xy \le {\left( {\frac{{x + y}}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{{80}}{2}} \right)^2} = 1\,\,600.$$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x = y$ và $x + y = 60$ hay ${x^2} = 1\,\,600$ tức là $x = y = 40.$

Vậy diện tích lớn nhất của mảnh vườn là $1\,\,600{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}.$