Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 5

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Mẫu thức chung của phương trình $\frac{1}{{x - 1}} + \frac{3}{{x + 1}} = 0$ là $\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $2x\left( {3x - 1} \right) + 6x - 2 = 0$

$$2x\left( {3x - 1} \right) + 2\left( {3x - 1} \right) = 0$$

$$\left( {3x - 1} \right)\left( {2x + 2} \right) = 0$$

$$2\left( {3x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0$$

$3x - 1 = 0$ hoặc $x + 1 = 0$

$x = \frac{1}{3}$ hoặc $x = - 1$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{1}{3}$ và $x = - 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax + by = c$ với $a \ne 0$ hoặc $b \ne 0$.

Phương trình $2x + \frac{y}{2} - 1 = 0$ viết thành $2x + \frac{1}{2}y = 1$, đây là phương trình bậc nhất hai ẩn với $a = 2$ và $b = \frac{1}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Thay $x = - 2;y = 4$ vào từng phương trình ta được:

⦁ $x - 2y = - 2 - 2 \cdot 4 = - 10 \ne 0$ nên loại A.

⦁ $2x + y = 2 \cdot \left( { - 2} \right) + 4 = 0$ nên chọn B.

⦁ $x - y = - 2 - 4 = - 6 \ne 0$ nên loại C.

⦁ $x + 2y + 1 = - 2 + 2 \cdot 4 + 1 = 7 \ne 0$ nên loại D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Cách 1. Sử dụng MTCT để tìm nghiệm của hệ hai phương trình $\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y = 42\\10x - 9y = 6.\end{array} \right.$

Với MTCT phù hợp, ta bấm lần lượt các phím:

Trên màn hình cho kết quả $x = 6,$ ta bấm tiếp phím màn hình cho kết quả $y = 6.$

Vậy cặp số $\left( {6;\,\,6} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y = 42\\10x - 9y = 6.\end{array} \right.$

Cách 2. Thay $x = 6;\,\,y = - 6$ vào hệ phương trình đã cho, ta được:

$\left\{ \begin{array}{l}3 \cdot 6 + 4 \cdot \left( { - 6} \right) = - 6\,\,\left( { \ne 42} \right)\\10 \cdot 6 - 9 \cdot \left( { - 6} \right) = 114\,\,\left( { \ne 6} \right).\end{array} \right.$

Tương tự, thay giá trị của $x$ và $y$ lần lượt của các cặp số ở phương án B, C, D vào hệ phương trình đã cho, ta thấy chỉ có cặp số $\left( {6;\,\,6} \right)$ là nghiệm của cả hai phương trình trong hệ.

Vậy cặp số $\left( {6;\,\,6} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y = 42\\10x - 9y = 6.\end{array} \right.$

Cách 3. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y = 42\\10x - 9y = 6.\end{array} \right.$

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với $10$ và nhân hai vế của phương trình thứ hai với $3,$ ta được hệ phương trình mới $\left\{ \begin{array}{l}30x + 40y = 420\\30x - 27y = 18.\end{array} \right.$

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ phương trình trên, ta được:

$67y = 402$, suy ra $y = 6$.

Thay $y = 6$ vào phương trình $3x + 4y = 42,$ ta được:

$3x + 4 \cdot 6 = 42$ hay $3x = 18$ suy ra $x = 6.$

Do đó, hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $\left( {6;\,\,6} \right)$.

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $2x-3y = 5$ suy ra $y = \frac{2}{3}x - \frac{5}{3}.$

Do đó, tất cả các nghiệm của phương trình $2x-3y = 5$ được biểu diễn trên đường thẳng $y = \frac{2}{3}x - \frac{5}{3}.$

• Cho $x = 1$ thì $y = - 1,$ do đó đường thẳng đi qua điểm có tọa độ $\left( {1\,;\,\, - 1} \right).$

• Cho $x = 4$ thì $y = 1,$ do đó đường thẳng đi qua điểm có tọa độ $\left( {4\,;\,\,1} \right).$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Bất phương trình có dạng $ax + b < 0$ (hoặc $ax + b > 0\,;\,\,ax + b \le 0\,;\,\,ax + b \ge 0\,)$ trong đó $a\,,\,\,b$ là hai số đã cho, $a \ne 0$ được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn $x.$

Bất phương trình $x + y > 8$ có hai ẩn $x\,,\,\,y$ nên không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Bất phương trình $0x + 5 \ge 0$ có dạng $ax + b \ge 0$ và $a = 0$ nên không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Ta có $2x-3 > 4\;$ hay $2x-7 > 0\;$. Bất phương trình $2x-7 > 0\;$ có dạng $ax + b > 0$ và $a = 2$ nên là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Bất phương trình ${x^2} - 6x + 1 \le 0$ có vế trái là đa thức bậc hai, vế phải là 0 nên không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Vậy chọn đán án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Theo đề bài, nếu xe có chiều rộng lớn hơn $3{,}2\,\,{\rm{m}}$ thì không được phép lưu thông nghĩa là xe đó (không phải xe cơ giới và thô sơ) có chiều rộng nhỏ hơn hoặc bằng $3{,}2\,\,{\rm{m}}$ được phép lưu thông.

Do đó, nếu một xe tải đi trên đường đó thì $a \le 3{,}2.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét $\Delta MPH$ vuông tại $H,$ ta có:

$\cos P = \frac{{PH}}{{MP}}$ hay $\cos \alpha = \frac{{PH}}{{MP}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta có:

$\tan B = \frac{{AC}}{{AB}}$ hay $AC = AB.\tan B$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có $\cos \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha = \frac{3}{5}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A,$ theo định lí Pythagore, ta có: $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$

Suy ra $A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} = {10^2} - {6^2} = 64.$ Do đó $AB = 8.$

Ta có: $\tan C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{8}{6} \approx 1{,}33.$

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai. Thay $x = - 2\,;{\rm{ }}y = 1$ vào phương trình $\left( * \right)$, ta được:

$$2 \cdot \left( { - 2} \right)-5 \cdot 1 = -\,4-5 = -9 \ne 1.$$

Do đó cặp số $\left( { - 2\,;\,\,1} \right)$ không phải là nghiệm của phương trình $\left( * \right)$.

b) Đúng. Phương trình $\left( * \right)$ là phương trình bậc nhất hai ẩn $x,{\rm{ }}y$ và có vô số nghiệm.

c) Đúng. Hệ số $a;\,\,b;\,\,c$ của phương trình $\left( * \right)$ là $2\,;\,\, - 5\,;\,\,1.$

d) Sai. Ta có $2x - 5y = 1$ suy ra $5y = 2x - 1$ nên $y = \frac{2}{5}x - \frac{1}{5}$.

Do đó, tập hợp các điểm có tọa độ $\left( {x\,;\,\,y} \right)$ thỏa mãn phương trình $\left( * \right)$ là đường thẳng $y = \frac{2}{5}x - \frac{1}{5}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.

Với $a \le b,$ ta có:

a) Đúng. $a + c \le b + c.$ Do đó ý a) là đúng.

b) Sai. $ac \le bc$ với $c > 0.$ Do đó ý b) là sai.

c) Sai. $\frac{a}{c} \ge \frac{b}{c}$ với $c < 0,$ nên $- \frac{a}{c} \le - \frac{b}{c}.$ Do đó ý c) là sai.

d) Sai. $a - b \le 0$

Chẳng hạn nếu $a + b \le 0$ thì $\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) \ge 0$ hay ${a^2} - {b^2} \ge 0$ nên ${a^2} \ge {b^2}.$ Do đó ý d) là sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 4.

Điều kiện xác định: $x \ne 2,\,\,\,x \ne - 2.$

$\frac{{x + 2}}{{x - 2}} - \frac{{x - 2}}{{2 + x}} = \frac{{{x^2} + 16}}{{{x^2} - 4}}$

$\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{{x^2} + 16}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}$

${\left( {x + 2} \right)^2} - {\left( {x - 2} \right)^2} = {x^2} + 16$

${x^2} + 4x + 4 - \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) = {x^2} + 16$

${x^2} + 4x + 4 - {x^2} + 4x - 4 = {x^2} + 16$

${x^2} - 8x + 16 = 0$

${\left( {x - 4} \right)^2} = 0$

$x - 4 = 0$

$x = 4$ (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x = 4$.

Hướng dẫn giải

Đáp số: 13.

Từ phương trình $2\left( {x + y} \right) + 3\left( {x - y} \right) = 4$ ta được $2x + 2y + 3x - 3y = 4$ hay $5x - y = 4.$

Từ phương trình $\left( {x + y} \right) + 2\left( {x - y} \right) = 5$ ta được $x + y + 2x - 2y = 5$ hay $3x - y = 5$.

Ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}5x - y = 4\\3x - y = 5\end{array} \right.$. Ta tìm nghiệm của hệ phương trình trên bằng cách sử dụng máy tính cầm tay, ta bấm lần lượt các phím:

$\boxed{\text{MODE}}\ \boxed{\ 5\ }\ \boxed{\ 1\ }\ \boxed{\ 5\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ -\ }\ \boxed{\ 1\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ 4\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ 3\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ -\ }\ \boxed{\ 1\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ 5\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ =\ }$

Trên màn hình cho kết quả $x = - \frac{1}{2},$ ta bấm tiếp phím màn hình cho kết quả $y = - \frac{{13}}{2}.$

Theo bài, $y = ax$ nên ta có $- \frac{{13}}{2} = a \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right)$, suy ra $a = 13.$

Hướng dẫn giải

Đáp án: 6.

Ta có $1 + \frac{{x + 4}}{5} \le x - \frac{{x + 3}}{3}$

$\frac{{5 + x + 4}}{5} \le \frac{{3x - x - 3}}{3}$

$\frac{{x + 9}}{5} \le \frac{{2x - 3}}{3}$

$$3\left( {x + 9} \right) \le 5\left( {2x - 3} \right)$$

$$3x + 27 \le 10x - 15$$

$$10x - 3x \le 27 + 15$$

$$7x \ge 42$$

$$x \ge 6$$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \ge 6.$

Hướng dẫn giải

Đáp án: ${\bf{1}},{\bf{4}}$.

Theo định lí Pythagore, ta có: $A{B^2} = A{C^2} + B{C^2}$

Suy ra $AB = \sqrt {0,{9^2} + 1,{2^2}} = 1{,}5\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $C$ có:

$\sin B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{0{,}9}}{{1{,}5}} = \frac{3}{5} = 0{,}6$;

$\cos B = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{1{,}2}}{{1{,}5}} = \frac{4}{5} = 0{,}8.$

Do đó $\sin B + \cos B = 0{,}6 + 0{,}8 = 1{,}4.$

Hướng dẫn giải

Theo bài, hiệu giữa nucleotide loại T với loại nucleotide không bổ sung với nó là $300$ nucleotide nên ta có phương trình: $T - G = 300$. (1)

Theo nguyên tắc bổ sung: “$A$ liên kết với $T$ bằng 2 liên kết hydrogen và $G$ liên kết với $C$ bằng 3 liên kết hydrogen” và theo bài, gen B có $3\,\,600$ liên kết hydrogen nên ta có phương trình $2T + 3G = 3\,\,600$. (2)

Từ phương trình (1) và phương trình (2), ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}T - G = 300\\2T + 3G = 3\,\,600\end{array} \right.$

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3, ta được hệ $\left\{ \begin{array}{l}3T - 3G = 900\\2T + 3G = 3\,\,600\end{array} \right.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ ta được: $5T = 4\,500,$ suy ra $T = 900$.

Thay $T = 900$ vào phương trình $T - G = 300$, ta được: $900 - G = 300,$ suy ra $G = 600.$

Vậy số nucleotide từng loại gen B là: $G = C = 600$ và $A = T = 900$.

Hướng dẫn giải

1) Từ $B$ kẻ $BK \bot AC$ tại $K.$

Xét tam giác $BCK$ vuông tại $K$ nên

$BK = BC \cdot \sin C = 16 \cdot \sin 30^\circ = 8\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$

Xét tam giác $ABC$ có $\widehat {BAK}$ là góc ngoài nên

$\widehat {BAK} = \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 45^\circ + 30^\circ = 75^\circ .$

Tam giác $ABK$ vuông tại $K$ nên $\widehat {BAK} + \widehat {ABK} = 90^\circ$.

Do đó $\widehat {ABK} = 90^\circ - \widehat {BAK} = 90^\circ - 75^\circ = 15^\circ .$

Ta có $\cos \widehat {ABK} = \frac{{BK}}{{AB}}$ suy ra $AB = \frac{{BK}}{{\cos \widehat {ABK}}} = \frac{8}{{\cos 15^\circ }} \approx 8{,}28\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$

Tam giác $ANB$ vuông cân tại $N$ nên $\widehat {ABN} = \widehat {BAN} = 45^\circ$; $\sin \widehat {ABN} = \frac{{AN}}{{AB}}$.

Suy ra $AN = AB \cdot \sin \widehat {ABK} \approx 8{,}28 \cdot \sin 45^\circ \approx 5{,}85\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Vậy $AN \approx 5{,}85\,\,{\rm{cm}}\,.$

2) Xét $\Delta ABC$ vuông tại $B$, ta có

$\tan \widehat {BAC} = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{2}{{2{,}5}} = 0{,}8$ nên $\widehat {BAC} \approx 38{,}7^\circ .$

Ta có $\widehat {BAD} = \widehat {BAC} + \widehat {CAD} \approx 38{,}7^\circ + 20^\circ = 58{,}7^\circ .$

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $B$, ta có

$BD = AB \cdot \tan \widehat {BAD} \approx 2{,}5 \cdot \tan 58{,}7^\circ \approx 4{,}1\,\,\left( {\rm{m}} \right).$

Do đó $CD = BD - BC \approx 4{,}1 - 2 = 2{,}1\,\,\left( {\rm{m}} \right).$

Vậy độ dài vùng được chiếu sáng trên mặt đất khoảng $2{,}1$ mét.

Hướng dẫn giải

⦁ Gọi $x$ là số lượng khách đăng ký thêm, $x > 0,\,\,x \in \mathbb{N}.$

Khi đó, tổng số khách sẽ là $80 + x$ (khách).

Cứ thêm một người thì giá chuyến du lịch còn lại là: $5\,\,000\,\,000 - 50\,\,000 \cdot 1$ đồng/ người cho toàn bộ hành khách.

Thêm $x$ người thì giá chuyến du lịch còn lại là: $5\,\,000\,\,000 - 50\,\,000x$ đồng/người cho toàn bộ hành khách.

Doanh thu công ty du lịch thu được là:

$T = \left( {80 + x} \right)\left( {5\,\,000\,\,000 - 50\,\,000x} \right) = 50\,\,000\left( {80 + x} \right)\left( {100 - x} \right)$ (đồng).

Để doanh thu cao nhất thì ta tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T.$

⦁ Chứng minh bất đẳng thức: $ab \le {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}\,\,\,\,\left( * \right)$ với $a,\,\,b$ là các số không âm.

Thật vậy, xét hiệu ${\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} - ab = \frac{{{a^2} + 2ab + {b^2} - 4ab}}{4} = \frac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{4} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}$

Với mọi $a,\,\,b$ là các số không âm, ta có:

${\left( {a - b} \right)^2} \ge 0$ nên $\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2} \ge 0$ suy ra ${\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} \ge ab$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a = b.$ Như vậy bất đẳng thức $\left( * \right)$ đã được chứng minh.

⦁ Áp dụng bất đẳng thức $\left( * \right)$ vào biểu thức $T = 50\,\,000\left( {80 + x} \right)\left( {100 - x} \right),$ ta được:

$T = 50\,\,000\left( {80 + x} \right)\left( {100 - x} \right) \le 20\,\,000 \cdot {\left( {\frac{{80 + x + 100 - x}}{2}} \right)^2} = 648\,\,000\,\,000$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $80 + x = 100 - x$ hay $x = 10$.

Vậy nếu đoàn khách có $80 + 10 = 90$ người thì công ty du lịch đạt doanh thu cao nhất là $648\,\,000\,\,000$ đồng.